现代设计方法-优化设计部分

1、现代设计方法优化设计部分优化设计部分黄正东，吴义忠黄正东，吴义忠2015 2015 年年自然现象 蚂蚁搬家 鸟群觅食 人类进化本章主要内容本章主要内容 优化设计概述优化设计概述 优化设计的数学基础优化设计的数学基础 一维探索优化方法一维探索优化方法 无约束优化方法无约束优化方法 约束问题优化方法约束问题优化方法 优化设计若干问题优化设计若干问题本章重难点本章重难点 优化设计数学模型的构建方法优化设计数学模型的构建方法（模型的组成与设计要求的定量表述）（模型的组成与设计要求的定量表述） 最优化数学理论最优化数学理论 （模型的性质与最优解的表征）（模型的性质与最优解的表征） 优化模型的优化模型的求

2、解求解方法方法 ( (一维搜索、无约束方法、有约束方法一维搜索、无约束方法、有约束方法) ) Matlab Matlab工具的使用工具的使用本章主要内容本章主要内容 优化设计概述优化设计概述 优化设计的数学基础优化设计的数学基础 一维探索优化方法一维探索优化方法 无约束优化方法无约束优化方法 约束问题优化方法约束问题优化方法 优化设计若干问题优化设计若干问题 优化设计的作用优化设计的作用 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 求解方法分类求解方法分类 优化设计的软件实现优化设计的软件实现 优化设计概述优化设计概述优化设计的作用优化设计的作用 逆向确定设计方案中的待定参数逆向确定设计方案中的待定

3、参数 所确定的设计参数能保证实现预定的设计要求所确定的设计参数能保证实现预定的设计要求 参数确定过程的自动化参数确定过程的自动化 基于设计方案定量化的产品性能优化基于设计方案定量化的产品性能优化 例例 1 1：篱笆围墙设计篱笆围墙设计 优化设计的数学模型例例 2 2：阶梯型悬臂粱设计阶梯型悬臂粱设计 优化设计的数学模型截面尺寸截面尺寸弹性模量弹性模量最大容许应力最大容许应力总长总长工作载荷工作载荷确定尺寸确定尺寸b, h, l使端部偏转最小、使端部偏转最小、用材最少，同时不用材最少，同时不会断裂！会断裂！例例 3 3：压缩弹簧设计：压缩弹簧设计有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹

4、性模量为G，能承受的剪切应力上限为 ，弹簧的非工作圈数为n2，轴向变形量为。试设计这个弹簧使其体积最小。弹簧钢丝直径弹簧钢丝直径 d；弹簧的平均直径弹簧的平均直径 D2；弹簧的工作圈数弹簧的工作圈数 n1.其它参数：旋绕比 C= D2/d ，取值58曲度系数p 设计变量设计变量： （1）弹簧钢丝直径 d； （2）弹簧的平均直径 D2； （3）弹簧的工作圈数 n1.强度条件强度条件：832maxKdFD稳定性条件稳定性条件： 5.31 ,2bbDHbmmGdnFD 1084132变形条件：变形条件：min)(412122dnnDVp 目标函数目标函数p 约束条件约束条件 性能约束性能约束几何约束

5、几何约束d0 mm；D20 mm；n10.p=(0.280.5)D2, H=pn1+(1.52)d人生规划也是一个优化问题人生规划也是一个优化问题目标：财富、学术？目标：财富、学术？要求：健康、家庭？要求：健康、家庭？怎么做：哪些能力、身体锻炼、学什么、找对象，怎么做：哪些能力、身体锻炼、学什么、找对象，优化模型的一般形式工程优化问题模型工程优化问题模型Find: x=(x1,x2,xn) RnMinimize: F(x)=Subject to: hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0, i=1,2, q min F(x)s. t. hi(x)=0, i=1,2, p gi(x)0,

6、 i=1,2, q )(),.,(),(21xfxfxfmFind xMinimize F(x)Subject to h(x)=0 and g(x) 0 优化模型三要素1. 设计变量设计变量 x=(x1,x2,xn)2. 目标函数目标函数 F(x)=(f1(x), f2(x), , fm(x)3. 约束条件约束条件 等式约束等式约束 hi(x)=0, i=1,2, p不等式约束不等式约束 gi(x) 0, i=1,2, q优化问题分类优化问题分类1. 单目标优化问题单目标优化问题2. 多目标优化问题多目标优化问题设计变量1.1.设计变量设计变量 设计过程中，进行选择和调整，最终必须确定的独设计

7、过程中，进行选择和调整，最终必须确定的独立参数称为立参数称为设计变量设计变量；固定不变，需要事先给定的参数；固定不变，需要事先给定的参数称为称为设计常量设计常量。（1 1）维数：）维数：设计变量的个数称为设计问题的维数。设计设计变量的个数称为设计问题的维数。设计变量愈多，设计自由度愈大，可供选择方案愈多，设计变量愈多，设计自由度愈大，可供选择方案愈多，设计愈灵活，难度愈大，求解愈复杂。愈灵活，难度愈大，求解愈复杂。设计变量（2 2）设计空间）设计空间: : n n 个设计变量的坐标轴所形成的个设计变量的坐标轴所形成的n n维实维实空间称为设计空间，用空间称为设计空间，用R Rn n表示。设计空

8、间中，表示。设计空间中，n n 个设计个设计变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，可采用如下向量表示：可采用如下向量表示： 其中，最优设计方案用 表示，称为最优点或优化点。nTnnRXxxxxxxX ,2121*X设计变量二维设计空间三维设计空间x2x1X =x1 x2Tx1x2x3X= x1 x2 x3 T目标函数目标函数 优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所追求的某些特点的目标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数。目标函数可用来评价设计方案的好坏，又称为评价函数。常

9、表示为：目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征。优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值。目标函数总可以转化成求最小值的统一形式。),()(21nxxxfXf目标函数等值曲线（面）等值曲线（面）: : 目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等函数的等值曲面。二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等超越面。超越面。z等值线族（等值线族（投影投影）形象地）形象地反映了目标函数值的变化反映了目标函数值的变化规律，越靠近极值点的等规律，越靠近极值点的等值线，表示的目标函数值值线，表示的目标函

10、数值越小，其分布也越密集。越小，其分布也越密集。xyo等高线x*（中心极值点）等值线族 二维设计变量下的等值线投影二维设计变量下的等值线投影约束条件（函数）对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数，并写成一系要求和限制表示成设计变量的函数，并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条约束条件件简称简称约束约束。其作用是对设计变量的取值加以限。其作用是对设计变量的取值加以限制。制。约束条件（函数） 根据对设计变量取值的限制形式：根据对设计变量取值的限制形式：显约束（直接限制）显约

11、束（直接限制）: : 如如 axbaxb隐约束（间接限制）隐约束（间接限制）: : 如如 g(x)0g(x)0 根据性质的不同：根据性质的不同：边界约束边界约束: : 直接限制每个设计变量的取值范围或彼此相互直接限制每个设计变量的取值范围或彼此相互关系的一些辅助的区域约束。关系的一些辅助的区域约束。性能约束性能约束: : 由产品性能或设计者要求推导出来的用以间接由产品性能或设计者要求推导出来的用以间接限制设计变量取值范围的一种约束。限制设计变量取值范围的一种约束。 约束条件（函数）0)(Xgi（2）可行域 任何一个不等式约束都把设计空间分为两部分，一部分是满足约束条件的称为可行域，另一部分是不

12、满足约束条件的称为非可行域，这两部分的分界是 (约束方程)。 在约束边界上的点称为边界点 两个以上约束边界的交点称为角点0)(Xg0)(Xg0)(Xg0)(Xh0)(Xh0)(Xh例1：作出下列约束条件构成的可行域1009080706050403020101009080706050403020100)(1Xg0)(4Xg0)(3Xg0)(2Xg0)(5Xg1x2x0),(0),(20054),(300103),(36049),(22151214212132121221211xxxgxxxgxxxxgxxxxgxxxxg约束条件（函数）0)(01)(02)(132212211xXgxxXgxxX

13、g543210-2-1212x1x0)(3Xg0)(1Xg0)(2Xg可行域在约束边界的哪可行域在约束边界的哪一边怎么确定？一边怎么确定？例2：作出下列约束条件构成的可行域约束条件（函数） 起作用约束起作用约束 （Active constraints）设X为设计空间中的一个点： 满足所有约束条件的点称为可行点（内点和边界点）; 不满足所有约束条件的点称为非可行点（外点）; X 在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的起作用约束; X 不在某个约束边界上，则这个约束条件称为X的不起作用约束.约束条件（函数）1x2x)3(X0)(3Xg) 1 (X)2(X0)(2Xg0)(1Xg0)(4Xg起作用

14、约束起作用约束设计点X(k)的所有起作用约束的函数序号下标集合用Ik表示，即 ), 2 , 1( 0)()(maXgaIkak，321 2 , 1 1 III约束条件（函数）优化模型的几何解释0)( 0)( 20054)( 300103)( 36049)( . .12060)( min251421321221121xXgxXgxxXgxxXgxxXgtsxxXf优化模型的几何解释1009080706050403020101009080706050403020100)(1xg0)(4xg0)(3xg0)(2xg0)(5xg1x2x4080)(xf0)(xf最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域

15、的最后一个交点。0)(0)(020054)(0300103)(036049)(2514213212211约束方程：xXgxXgxxXgxxXgxxXgX*=(20,24)22121112221231min( )44( )20. .( )10( )0f xxxxg xxxstgxxxgxx 优化模型的几何解释12-1-20123453452x1x0)(3Xg0)(2Xg0)(1Xg1)(Xf8 . 3)(Xf9)(XfTX34. 1 58. 0*，最优解是等值线在最优解是等值线在函数值下降方向上函数值下降方向上与可行域的最后一与可行域的最后一个交点。个交点。优化模型的几何解释注意！注意！ 非线性

16、问题的最优解要么是一个内点，要么是一个边界点； 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点； 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点；一般情况下：一般情况下：优化问题分类单目标多目标无约束优化约束优化线性规划非线性规划确定性非确定性 线性规划 二次规划 动态规划 几何规划 整数规划 随机规划 凸规划按模型特征的二分类：常见特殊优化问题：优化问题求解方法1.1. 基于一维搜索基于一维搜索2.2. 基于区域搜索基于区域搜索3.3. 基于方程求解基于方程求解4.4. 基于直接采样基于直接采样 f(x)=0基

17、于一维搜索的优化过程开始给定 x x、d d 的初始值计算a*使f(x+ad)极小x x x x + a*d满足收敛条件？形成新的d结束迭代法的基本思想：迭代法的基本思想：从一个初始点 出发，按照一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，到达 ，再从 出发，选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到 ，并保证每一步函数值都是下降的，即必须满足 （这称为新点的适用性） ，这样一步一步地重复进行数值计算，直至达到目标函数的极小点。)0(X)1(X)1(X)2(X)()()1()(iiXfXf 无约束优化问题2x1x*X)0(X)0(S)1(X)1 (S)2(X)2(S)3(X)3(S)4(X初始点初

18、始点 )0(X用某种优化方法确定用某种优化方法确定 )0(S确定前进步长确定前进步长 计算计算 检查检查 若不满足则改变步长，若不满足则改变步长，满足则进入下一步满足则进入下一步)0()0()0()0()1(SXX?)()()0()1(XfXf从从 出发出发 )1(X用某种优化方法确定用某种优化方法确定 )1(S确定前进步长确定前进步长 计算计算 检查检查 若不满足则改变步长，若不满足则改变步长，满足则进入下一步满足则进入下一步?)()()1()2(XfXf从从 出发出发 )2(X用某种优化方法确定用某种优化方法确定 )2(S确定前进步长确定前进步长 计算计算 检查检查 若不满足则改变步长，若

19、不满足则改变步长，满足则进入下一步满足则进入下一步)2()2()2()2()3(SXX?)()()2()3(XfXf从从 出发出发 )3(X用某种优化方法确定用某种优化方法确定 )3(S确定前进步长确定前进步长 计算计算 检查检查 若不满足则改变步长，若不满足则改变步长，满足则进入下一步满足则进入下一步)3()3()3()3()4(SXX?)()()3()4(XfXf)(kX)(kS)(k)()()()1(kkkkSXX第k个迭代点从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向沿 前进的步长)(kS基本迭代公式基本迭代公式由于每次迭代求得的新点均为使函数值有所下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得各点必将逐步向该函数的极小值点逼近，最后总可求得非常接近该函数理论最优点的近似最优点 。*X 约束优化问题 对于约束优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足 的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点