时等腰三角形的判定定理及推论

1、15.3 等腰三角形第15章 轴对称图形与等腰三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 等腰三角形的判定定理及推论1.理解等腰三角形的判定方法的证明过程; (重点）2.掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；（重点、难点）3.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力（难点）学习目标导入新课导入新课情境引入 在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABCA讲授新课讲授新课ABC 如图，位于海上B、C两处的两艘救生

2、船接到A处遇险船只的报警，当时测B=C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？互动探究已知：如图，在ABC中, B=C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?建立数学模型：CAB做一做：画一个ABC，其中B=C=30，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？AB=AC你能验证你的结论吗？在ABD与ACD，1=2， ABD ACD. B=C，AD=AD，AB=AC.过A作AD平分BAC交BC于点D.证明：CAB21D（ABC是等腰三角形. AC=AB. ( )即ABC为等腰三角形.B=C， ( )知识要点等腰三角形的判定

3、方法如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.已知等角对等边 在ABC中， u应用格式：BCA(这又是一个判定两条线段相等的根据之一.ABCD211=2 , BD=DC（等角对等边）.1=2, DC=BCABCD21（等角对等边）. .错，因为都不是在同一个三角形中. 辨一辨：如图,下列推理正确吗? 典例精析例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 已知： 如图，CAE是ABC的外角，1=2，ADBC 求证：AB=AC 证明：ADBC， 1=B（两直线平行，同位角相等），）， 2=C（两直线平行，内错角相等） 又

4、又1=2， B=C， AB=AC（等角对等边） ABCE（12D例2 已知：如图，ADBC，BD平分ABC.求证：AB=ADBADC证明： ADBC， ADB=DBC. BD平分ABC， ABD=DBC， ABD=ADB， AB=AD.总结：平分+平行=等腰三角形如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？BCADE变式训练 是由折叠可知，EBD=CBD，ADBC，EDB=CBD，EDB=EBD，BE=DE，EBD是等腰三角形.练一练：1.在ABC中，A和B的度数如下，能判定 ABC是等腰三角形的是（ ）A. A50，B70 B. A70，B40C. A30，B9

5、0D. A80，B60B2.如图，已知OC平分AOB，CDOB，若OD3cm，则CD等于_.3cm例3 如图，在ABC中，ACB90，CD是AB边上的高，AE是BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：CEF是等腰三角形证明：在ABC中，ACB90，BBAC90.CD是AB边上的高，ACDBAC90，BACD.AE是BAC的角平分线，BAEEAC，BBAEACDEAC，即CEFCFE，CECF，CEF是等腰三角形方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立例4 如图，在ABC中，AB=AC，ABC

6、和ACB的平分线交于点O.过O作EFBC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之间的关系.解：EF=BE+CF.理由如下： EFBC,EOB=CBO，FOC=BCO. BO、CO分别平分ABC、ACB， CBOABO，BCOACO，EOBABO ，FOCACO，BEOE，CF=OF， EF=EO+FOBE+CF.ABCOEF若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？等腰三角形的判定定理推论二推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.由等腰三角形的判定定理可以直接得到：辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）

7、（2）（6）（5）不不是是是是是是是是是是（4）（3）不不一一定定是是例5 如图,在等边三角形ABC中，DEBC, 求证：ADE是等边三角形.ACBDE典例精析证明： ABC是等边三角形， A= B= C. DE/BC, ADE= B, AED= C. A= ADE= AED. ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？证明：ABC 是等边三角形， A =ABC =ACB =60 DEBC， ABC =ADE， ACB =AED. A =ADE =AED. ADE 是等边三角形.变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？ ADEBC变式2若点D、E 在边A

8、B、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？ 证明： ABC 是等边三角形， BAC =B =C =60 DEBC， B =D，C =E EAD =D =E ADE 是等边三角形ADEBC变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE例6 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论解：APQ为等边三角形证明：ABC为等边三角形， ABAC.BPCQ，ABPACQ， ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，AP

9、Q是等边三角形方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一、证明三角形三条边相等； 二、证明三角形三个内角相等； 三、先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.针对训练： 如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CFAF=BD=CE.又A=B=C=60，ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=FE，DEF是一个等边三角形当堂练习当堂练习1.如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A5个 B4个 C3个 D2个2.一个三角形的

10、一个外角为130，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形CA13.如图，直线a、b相交于点O，1=50，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）A1个 B2个 C3个 D4个 OabDA4.如图，已知A=36，DBC=36，C=72，则DBC=_，BDC=_，图中的等腰三角形有_.3672ABC、DBA、BCDABCD5.如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BMCN9，则线段MN的长为_.9第4题图第5题图6.在等边

11、ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是_. 7.如图, ,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC =2cm,则ADE的周长是 cm.ACBDE12158.已知：如图，四边形ABCD中，ABAD，BD. 求证：BCCD.证明：连接BD.AB=AD，ABD=ADB.ABC=ADC，ABC-ABD=ADC-ADB，即DBC=BDC，BC=CD.9.如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，ABC=ACB=60DBC=30（等腰三角形三线合一）又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）10.在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ABC3种“补出”方法