第二章点线面投影

1、 第二章第二章 点、线、面的投影点、线、面的投影v本章内容本章内容:2-1投影法的基本知识投影法的基本知识2-2点的投影点的投影2-3直线的投影直线的投影2-4平面平面的投影的投影 2-5直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 2-6换面法换面法PSABCac投影条件及标注：投影条件及标注： 投射线投射线（s） 空间几何元素空间几何元素（大写大写 A、B、C） 投影面投影面（大写大写 P、V、H、W） 投影投影（小写小写a、b 、c ）sb投影面投影面空间几何元素空间几何元素投射线投射线投影投影投射中心投射中心一一. . 基本概念基本概念2-1投影法的基本知识投影法的基本知识

2、 投射线交于一点的投影方法，投射线交于一点的投影方法，称做中心投影法。称做中心投影法。 2 2缺点缺点一般情况下，投影不反映物体的真一般情况下，投影不反映物体的真 实大小，度量性不好，无等比性，无平行性。实大小，度量性不好，无等比性，无平行性。DEdePSABCacsb 1 1优点优点实体感强、逼真；实体感强、逼真；二中心投影二中心投影deacbSs若将投射中心若将投射中心“S”向左移至无穷远处向左移至无穷远处s三平行投影法平行投影法投射线相互平行的投影方法称做平行投影法。投射线相互平行的投影方法称做平行投影法。优点：具有平行性、等比性、优点：具有平行性、等比性、实形性（当空间的面、线与实形性

3、（当空间的面、线与投影面平行时）。投影面平行时）。abcde 空间空间ABDE,ABDE,投投影影abdeabde AD/DC = ad/dcAD/DC = ad/dcPDEABC按投射线与投影面的相对位置，平行投影可分为：按投射线与投影面的相对位置，平行投影可分为：斜角投影斜角投影投射线投射线不垂直于不垂直于投影面投影面直角投影直角投影投射线投射线垂直于垂直于投影面投影面v在本书中，我们只介绍平行投影法，其中正在本书中，我们只介绍平行投影法，其中正投影法被广泛用于绘制各种工程图样，如无投影法被广泛用于绘制各种工程图样，如无特别说明，书中所称的特别说明，书中所称的“投影投影”，均指正投，均指正

4、投影。影。v斜投影法仅用于画轴测图。斜投影法仅用于画轴测图。1.1.点在一个投影面的投影点在一个投影面的投影A AaAaA1A2 反过来，就无法实现反过来，就无法实现 aAaA ！P 因此，工程上一般需采用多个相互正交的投影因此，工程上一般需采用多个相互正交的投影面组成投影面体系，用多个投影来表示空间几何元面组成投影面体系，用多个投影来表示空间几何元素的位置和形状。素的位置和形状。一点的投影图一点的投影图 2.2 点的投影点的投影2.2.点的三面投影点的三面投影V H X Z Y W O A a”aaax aY az .水平投影面水平投影面正立投影正立投影面面侧立投影面侧立投影面OZOZ轴轴O

5、YOY轴轴空间空间“点点”侧面投影侧面投影正面投影正面投影 细实线细实线 字号：字号：3.5 圆点：圆点：直径直径1 mm注意：注意： V V 或或V V 的长度均按的长度均按1 1：1 1 度量度量OXOX轴轴水平投影水平投影H H绕绕OXOX旋转旋转W W绕绕OZOZ旋转旋转直观图展平方式直观图展平方式直观图直观图V H W X Z O a”aaax aY az YH YW 最后擦去边框，最后擦去边框，这样的图就是投影图这样的图就是投影图。直观图展平直观图展平 V V面与画面重合面与画面重合 H H面绕面绕OXOX轴向下轴向下旋转旋转9090 W W面绕面绕OZOZ轴向右轴向右旋转旋转90

6、90aYWH3 3投影特性：投影特性： aax = Aa ( (点与点与H的距离的距离) ) aax = Aa ( (点与点与V的距离的距离) ) aaz = Aa” ( (点与点与W的距离的距离) ) aax=a”azX Z O a”aaax aYW az YH YW aa OX，aa” OZ aYH 4.4.点的二求三点的二求三 已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性已知点的两个投影，可利用点的三面投影特性求其第三个投影。求其第三个投影。 a”O X Z aa YH YW a”二二. .点的坐标与投影的关系点的坐标与投影的关系 如果将投影轴当作坐标如果将投影轴当作坐标轴，将投影面当作坐标

7、面轴，将投影面当作坐标面, ,点的坐标与投影的关系为：点的坐标与投影的关系为：aa X O Z YH YWa”axazaYH aYW 点的点的X X坐标值坐标值= =点与点与 面的距离面的距离 点的点的Y Y坐标值坐标值= =点与点与 面的距离面的距离 点的点的Z Z坐标值坐标值= =点与点与 面的距离面的距离 W W H H V V三两点间的相对位置三两点间的相对位置X X、Y Y、Z Z值大者值大者: : 为左、前、上方为左、前、上方点点B B在点在点A A的左、前、下方。的左、前、下方。aa X O Z YH YWa”bbb”x xy yz zaa X O Z YH YWa”axazaY

8、H aYW例：例：已知点已知点 A A（1212，8 8，1010），），点点 B B在点在点 A A 的下方的下方 5 mm5 mm、左左 0 mm0 mm、前、前 0 mm0 mm，试完，试完成成点点 B B 的投影。的投影。bb b”5 分析：分析： 点点 B B在点在点 A A 的正下方的正下方 5 mm5 mm， 即即点点 B B（1212，8 8，5 5）。）。四重影点及可见性四重影点及可见性 b aa X O Z YH YWa”axazaYHaYWbb” 在投影图中，在投影图中， H H面的重影点的面的重影点的H H面投影，上者为可见点；面投影，上者为可见点； V V面的重影点的

9、面的重影点的V V面投影，前者为可见点；面投影，前者为可见点； W W面的重影点的面的重影点的W W面投影，左者为可见点。面投影，左者为可见点。表示方法表示方法 不可见点的重合投影加圆括号表示。不可见点的重合投影加圆括号表示。 若两个点的同名投若两个点的同名投影重合，则称这两个点影重合，则称这两个点为该投影面的重影点。为该投影面的重影点。点点A A、B B为为H H面的重影点。面的重影点。(b)可见性可见性两点确定一条直线，将两点的两点确定一条直线，将两点的同名投影同名投影用直线连接，就得到用直线连接，就得到直线的同名投影。直线的同名投影。一、直线的投影特性一、直线的投影特性 直线对一个投影面

10、的投影特性直线对一个投影面的投影特性1.直线垂直于投影面：投影重合为一点直线垂直于投影面：投影重合为一点（积聚性积聚性）2.2.直线平行于投影面：投影反映线段实长直线平行于投影面：投影反映线段实长ab=ABAB3.3.直线倾斜于投影面：投影比空间线段短直线倾斜于投影面：投影比空间线段短 ab=ABAB cos 。 2.3 直线的投影（重点）直线的投影（重点） 投影面平行线投影面平行线 直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法： 与与H面的夹角面的夹角: : 与与V面的夹角面的夹角: 与与W面的夹角面的夹角:1.1.在其平行的那个投影面的投影反映实长，并反映在其平行的那个投影面的投影反

11、映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。直线与另两投影面倾角的实大。2.2.另两个投影面上的投影另两个投影面上的投影, ,平行于相应的投影轴，其平行于相应的投影轴，其到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之到相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间的距离。间的距离。投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性： 投影面垂直线投影面垂直线投影特性投影特性: :在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上，投影有积聚性。投影有积聚性。 另外两个投影，另外两个投影，反映反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。线段实长，且垂直于相应的投影轴。1. 在所垂直的投影面上的投影积聚成一点；在所垂直的投影

12、面上的投影积聚成一点； 其余投影反映实长，且分别垂直构成该投其余投影反映实长，且分别垂直构成该投2. 影面的两根投影轴影面的两根投影轴投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：（3）一般位置直线的投影：）一般位置直线的投影：投影特性：投影特性： 一般位置直线，其三面投影均小于实长，一般位置直线，其三面投影均小于实长，且倾斜于投影轴。且倾斜于投影轴。一般位置线段的实长求法一般位置线段的实长求法二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影同名投影上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同的比点的投影将线段

13、的同名投影分割成与空间线段相同的比例。即：例。即： AK:KB=ak:kb=a k :k b =a k k :k b （定比定理定比定理）属于直线的点，其投影必在该直线的同名投影上，属于直线的点，其投影必在该直线的同名投影上，且分割该直线的各投影成比例。（用图解法）且分割该直线的各投影成比例。（用图解法）X O YWZ YH X O a”b”c”对于侧平线，有两种判断方法：对于侧平线，有两种判断方法：利用侧投影；利用比例法。利用侧投影；利用比例法。abab llaabbcck k例：判断例：判断ABAB与与CDCD是否平行。是否平行。dZ YH YW cab方法二方法二： 若若 ABCDABC

14、D，则有：则有：abcd，abcd，图中图中：abcd，abdc，所以所以 ABAB与与CDCD是不平行。是不平行。ccXOadbabd方法一方法一： 利用侧投影判断利用侧投影判断求得结果：求得结果： a”b” 不平行于不平行于c”d” ，所以所以ABAB与与CDCD不平行。不平行。例：例：判断两直线是否相交。判断两直线是否相交。abcdabcdX O X O abcd不相交不相交相交相交kkabcdkk1k24、两直线垂直相交、两直线垂直相交若直角有一边平行于投影面，则它在该面上的投影仍为直角。若直角有一边平行于投影面，则它在该面上的投影仍为直角。例：例：已知已知CDCD及及A A，求做，求

15、做ABAB与与CDCD垂直相交。垂直相交。cdc d b.b aa分析：分析：CDV CDV ： abab与与cdcd 垂直相垂直相交。交。解题步骤：解题步骤： 过过a a 做做abcdabcd，交，交cd cd 于于bb 求线求线 CDCD上点上点 B B 的水平投影的水平投影 b b 连连ab ab ，则则 AB AB 为所求为所求2-4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法：一、平面的表示法：二、平面的投影特性二、平面的投影特性投影面平行面的投影投影面平行面的投影正平面的投影特性：正平面的投影特性： 平行于平行于V V：在：在V V上投影反映实形；上投影反映实形； 垂直于垂直于H H、W

16、 W：在：在H H、W W上投影积聚成直线，且平上投影积聚成直线，且平行于投影轴。行于投影轴。 XZYH YW Oabcabca”b”c”例：例： 平面平行于平面平行于VV正平面正平面 平面平行于平面平行于HH水平面水平面 平面平行于平面平行于WW侧平面侧平面平行于某一个投影面的平面平行于某一个投影面的平面 投影面平行面。投影面平行面。投影面平行面：投影面平行面：投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的平面平面 投影面垂直面：投影面垂直面： XZYH YWOabcabca”b”c”铅垂面的投影特性：铅垂面的投影特性：

17、垂直于垂直于H H ：在：在H H上投影投影积聚成直线，且与投上投影投影积聚成直线，且与投影轴倾斜；影轴倾斜； 倾斜于倾斜于V V、W W：在：在 V V 、W W上投影类似于空间的面。上投影类似于空间的面。例：例： 平面垂直于平面垂直于VV正垂面正垂面 平面垂直于平面垂直于HH铅垂面铅垂面 平面垂直于平面垂直于WW侧垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面：一般位置平面的投影一般位置平面的投影 与三个投影面均倾斜的平面与三个投影面均倾斜的平面一般位置平面。一般位置平面。 XZYH YWOaabba”b”c”cc一般位置面的投影特性：一般位置面的投影特性： 与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具类似性

18、。与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具类似性。例：例： 完成完成ABCABC的侧面投影。的侧面投影。直线直线DIDI在面上！在面上！d1d1ee距距H H面面2020de=10 DEDE为所求为所求 20XOacbabc定理定理：若直线通过属于平面的两个点，则直线必在面上。若直线通过属于平面的两个点，则直线必在面上。例：例： 在已知面上作在已知面上作一水平线，距一水平线，距H H面面2020，长度，长度1010。20201010三三. . 平面上的直线和点平面上的直线和点1.1.属于平面的直线属于平面的直线XO定理定理：若直线通过属于平面的一个点，且平行于属于该若直线通过属于平面的一个点，且平

19、行于属于该平面的一条已知直线，则该直线必在面上。平面的一条已知直线，则该直线必在面上。adbabd例：例： 试完成平行四试完成平行四边形边形ABCDABCD的投影。的投影。ccDC ABDC AB，且过面上点，且过面上点D,D,DCDC在在AB AB AD AD平面上平面上BC ADBC AD，且过面上点，且过面上点B,B,BCBC在在(AB (AB AD) AD)平面上平面上四边形四边形ABCDABCD即为所求即为所求2.2.属于平面的点属于平面的点定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。定理：若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。XOacbabckk11例：例：求属于求属于的点的点

20、K K的水平投影；的水平投影；求属于的距求属于的距V V面面10,10,距距H H面面 15 15的点的点L L。1015XOacbabc15 10 ll121234例：例：试完成四边形试完成四边形ABCDABCD的投影。的投影。XOacbabcd11d线上找点线上找点面上画线面上画线 相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直一、平行问题一、平行问题 包括：包括：直线与平面平行直线与平面平行 、平面与平面平行平面与平面平行 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行直线与该平面平行mnad

21、, mn ad,则则MN平行与平面平行与平面2.5 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置ee 过点过点K K作一水平线平行于面（作一水平线平行于面（ABABCD)CD)。 解题步骤：解题步骤： 作作 KEAB,KEAB, 即即KE(ABKE(ABCD)CD)。 11X O abcdkkabcdff 解题步骤：解题步骤： 先作面上任一水平线先作面上任一水平线 BIBI 再作再作 KFIB, KFIB, 则水平线则水平线 KF (AB KF (ABCD)CD)。例：例： 过点过点K K作一直线平行于面（作一直线平行于面（ABABCD)CD)。例：判断图中的直线与例：判断图中的直

22、线与平面（平面（a a）平行否。）平行否。(a) (b) (c) (d) (e)(a) (b) (c) (d) (e)答：答：bb、c c、d d、e e例例:(KE:(KEKF)(ABKF)(ABCD) ?CD) ?11O eeX abcdkk ab c dff 又又KEBAKEBA作作 k k f f 11 b b (KE(KEKF)(ABKF)(ABCD)CD) kfkf1b1b KFIBKFIB例：判断下列直线、平面与平面例：判断下列直线、平面与平面 P P 平行否。平行否。PVPH(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)(a) (b) (c) (d) (

23、e) (f) (g) (h) (i) QVQHRVRHPbPb、c c、e e、f f、g g、i iacbab c X O DEV: DEV: d d e e k k 判断可见性判断可见性( (利用重点利用重点) )， 交点交点是可见点。是可见点。d edekk1212 33( ) 面上找点面上找点X O dedeacbabck k1 212( )H H: : 水平投影的交点水平投影的交点 即交点即交点 线上找点线上找点 判断可见性判断可见性例：例：例：例：1 1直线与平面相交直线与平面相交二二. . 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交（有一个几何元素垂直于投影面的情况）（

24、有一个几何元素垂直于投影面的情况）相交的核相交的核心问题是心问题是求求公有点公有点2 2平面与平面相交平面与平面相交X O klklabcabc XOacbacb 小结：小结：例：例：例：例： 从有积聚性的投影出发从有积聚性的投影出发 利用利用面上找点或线上找点的方法面上找点或线上找点的方法 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性三、垂直问题三、垂直问题包括：直线与平面垂直包括：直线与平面垂直 平面与平面垂直平面与平面垂直 直线与平面垂直直线与平面垂直定理：若一直线垂直于平面，则该直线的水平投影一定垂直于定理：若一直线垂直于平面，则该直线的水平

25、投影一定垂直于该平面上水平线的水平投影；而直线的正面投影一定垂直于该该平面上水平线的水平投影；而直线的正面投影一定垂直于该平面上正平线的正面投影。平面上正平线的正面投影。 若平面是特殊位置，则直线一定垂直于平面有积聚性的投影。若平面是特殊位置，则直线一定垂直于平面有积聚性的投影。 .作线作线线线作面作面线线作线作线面面作面作面面面多解，多解，水平投影垂直水平投影垂直于已知线投影于已知线投影的所有线的所有线多解，多解，通过铅垂线通过铅垂线的所有平面的所有平面铅垂面铅垂面铅垂线铅垂线 一几何元素处于平行位置一几何元素处于平行位置 作线作线 线线多解，多解，水平线水平线作面作面 线线作线作线 面面

26、作线作线 面面作线作线 面面作面作面 面面 均平行于该投影面均平行于该投影面 多解，多解，过垂直于面过垂直于面的正平线的的正平线的所有面所有面水平面水平面垂直于面垂直于面的水平线的水平线垂直于面垂直于面的水平线的水平线垂直于面垂直于面的正平线的正平线 直线垂直于平面直线垂直于平面 直线的投影垂直于平面的积聚线直线的投影垂直于平面的积聚线 结论结论: : 投影面垂直线的垂线投影面垂直线的垂线 投影面垂直线的垂面投影面垂直线的垂面 投影面垂直面的垂线投影面垂直面的垂线一几何元素处于垂直位置一几何元素处于垂直位置定理：定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与 该平面垂直。该平面垂直。推论：推论：若直线垂直于平面若直线垂直于平面, ,则：则： 该直线的水平投