第4章 电路定理

1、第第4 4章章 电路定理电路定理 4.14.1叠加定理叠加定理4.24.2替代定理替代定理4.34.3戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理4.44.4最大功率传输定理最大功率传输定理 教学要求教学要求: :3.3.了解对偶原理。了解对偶原理。1.1.熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理；熟练掌握叠加定理、戴维南定理和诺顿定理； 2.2.掌握最大功率掌握最大功率传输传输定理；定理；叠加定理叠加定理: :在线性电阻电路中，任一支路电流在线性电阻电路中，任一支路电流( (或支路电压或支路电压) )都都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的

2、电流流( (或电压或电压) )的叠加的叠加。4.14.1叠加定理叠加定理( (Superposition Theorem) ) 叠加定理在线性电路的分析中起着重要的作用，它叠加定理在线性电路的分析中起着重要的作用，它是分析线性电路的基础。线性电路中很多定理都与叠加是分析线性电路的基础。线性电路中很多定理都与叠加定理有关。定理有关。如图电路，计算各支路电流。如图电路，计算各支路电流。利用回路法：利用回路法：(R1+R2)ia- -R2ib=us1- -us2- -R2ia+(R2+R3)ib=us2- -us3R11ia+R12ib=us11R21ia+R22ib=us22其中其中R11=R1+

3、R2, R12= - -R2, us11=us1- -us2 R21= - -R2, R22=R2+R3, us22=us2- -us3用行列式法解：用行列式法解：R1us1R2us2R3us3i1i2i3+iaib定理的证明：定理的证明：s1112s22222212s11s221112212222122212s1s2s3auRuRR-Ri =u+uRRRRRR + RR =u -u +us311s221111s2122s2111s11buRuRRuRuRuRi 则各支路电流为：则各支路电流为：其中其中2112221122211211RRRRRRRR R1us1R2us2R3us3i1i2i3

4、+iaib iiiuRuRRuRii111s312s22212s122a1 21221112212211122s1s2s3222abR + RR + R + R + RR + Ri = i -i =u -u +u = i + i + i iiiuRuRRuRii333s311s22111s121b3 由上式可见，由上式可见，各支路电流均为各电压源的一次函数，所以各支路电流均为各电压源的一次函数，所以各支路电流（例如各支路电流（例如 i1 1）均可看成各电压源单独作用时，产生的）均可看成各电压源单独作用时，产生的电流（如电流（如i1 1/ /，i1 1/ ，i1 1/ ）之叠加）之叠加。 + +

5、 +R1us1R2us2R3us3i1i2i3+iaibR1us1R2R3i1i2i3+R1R2us2R3i1i2i3+R1R2R3us3i1i2i3+ 当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。即如下图即如下图：因此因此i1=i1+i1+i1i3=i3+i3+i3i2=i2+i2+i2上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这个方法也上述以一个具体例子来说明叠加的概念，这个方法也可推广到多个电源的电路中去。可推广到多个电源的电路中去。对于具有对于具有b

6、条支路条支路、l个独立回路的线性电阻电路，利个独立回路的线性电阻电路，利用回路电流法，可得电路各回路电流的解答式为：用回路电流法，可得电路各回路电流的解答式为：) , 2, 1,( SlSl2Sl21Sl1llkuuuuillkkkkkkk 由此可推得电路中任一支路电流由此可推得电路中任一支路电流 ij ，即可表示为即可表示为：ij=gj1uS1+ gj2uS2+ + gjkuSk+ + gjbuSb (j=1, 2, , b)同样同样可以证明可以证明：线性电阻电路中任意两点间的电：线性电阻电路中任意两点间的电压等于各个电源在此两点间产生的电压的代数和压等于各个电源在此两点间产生的电压的代数和

7、。 独立电源既可是独立电压源，也可是独立电流源。独立电源既可是独立电压源，也可是独立电流源。受控受控源的作用反映在回路电流或结点电压方程中的自阻和互阻源的作用反映在回路电流或结点电压方程中的自阻和互阻或自导和互导中，所以任一处的电流或电压仍可按照各独或自导和互导中，所以任一处的电流或电压仍可按照各独立电源单独作用时在该处产生的电流或电压的叠加计算立电源单独作用时在该处产生的电流或电压的叠加计算。在对含有受控源的电路应用叠加定理进行各分电路计算时，在对含有受控源的电路应用叠加定理进行各分电路计算时，应把受控源保留在各分电路之中应把受控源保留在各分电路之中。使用叠加定理应注意以下几点使用叠加定理应

8、注意以下几点: :1.1.叠加定理只适用于线性电路。叠加定理只适用于线性电路。2.2.一个电源作用，一个电源作用，其余电源为零其余电源为零电压源为零电压源为零用短路替代用短路替代电流源为零电流源为零用开路替代用开路替代3.3.计算计算功率不能应用叠加定理功率不能应用叠加定理( (因为功率为电压和电流的乘积因为功率为电压和电流的乘积) )。4.4.计算电压计算电压u、电流、电流 i 在在叠加时要注意各分量的方向叠加时要注意各分量的方向。5.5.含受控源含受控源( (线性线性) )电路亦可用叠加定理，在应用叠加定理时只电路亦可用叠加定理，在应用叠加定理时只适用于独立源作用，适用于独立源作用，受控源

9、以及电路中所有电阻应始终保受控源以及电路中所有电阻应始终保留在各分电路中都不予更动留在各分电路中都不予更动。例例1.1.求图中电压求图中电压u。解解: :(1) 10(1) 10V电压源单独作用，电压源单独作用，4 4A电流源开路电流源开路u=4V(2) 4(2) 4A电流源单独作用，电流源单独作用，1010V电压源短路电压源短路u= - -4 2.4= - -9.6V共同作用共同作用：u=u+u= 4+(- - 9.6)= - - 5.6V+10V6 +4 u6 +10V4A+4 u6 4A+4 u例例2.2. 求电压求电压Us。(1)10(1)10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2)4

10、(2)4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解: :Us= - -10 I1+4 I1 = - -10 1+41= - -6VUs= - -10I1+2.4 4 = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用： Us= Us +Us= - -6+25.6=19.6V+10V6 I1+Us+10 I14 10V+6 I14A+Us+10 I14 6 I14A+Us+10 I14 线性电路中，当所有激励线性电路中，当所有激励( (独立源独立源) )都增大都增大( (或减小或减小) )同样同样的的K倍数，则电路中响应倍数，则电路中响应( (电压或电流电压或电流) )也将增大也

11、将增大( (或减小或减小) )同同样的样的K倍数（倍数（K为实常数）。为实常数）。当激励只有一个时，则响应与激励成正比当激励只有一个时，则响应与激励成正比。上例中电压源由上例中电压源由10V增至增至2020V（K2 2），电流源由），电流源由4 4A增至增至8 8A（K2 2），则根据齐性定理，电流源两端电压），则根据齐性定理，电流源两端电压Us变为：变为：US19.6239.2V齐性定理齐性定理（homogeneity property):例例3.3.解解: :采用倒推法：设采用倒推法：设i=1A，推出此时推出此时us=34V。则则用齐性定理分析梯形电路特别有效。用齐性定理分析梯形电路特别有

12、效。求电流求电流 i 。已知已知：RL=2 ，R1=1 ，R2=1 ，us=51V。+2V2A+3V+8V+21V+us=34V3A8A21A5A13AR1R1R1R2R2RL+usiR2i=1A511=1.534即即ssssuui= i =i =Aiuu本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，本例计算是先从梯形电路最远离电源的一段开始，倒退至激励处。这种计算方法称为倒退至激励处。这种计算方法称为“倒退法倒退法”。解：由线性定理，解：由线性定理，I3可表示为可表示为 31=+=1=1SiSijSjnmIGUGUk Iij式中式中I0 0为为A内所有电源产生的分量，由给出的条件得内所有电源产

13、生的分量，由给出的条件得AI3Us例例4 4：如图电路，：如图电路，A为有源电路，当为有源电路，当US= =4V时，时，I3= =4A；当；当US=6=6V时，时，I3= =5A；求当；求当US=2V时，时，I3为多少？为多少？由于由于A内电源不变，上式又可写为内电源不变，上式又可写为I3 = G1US+I0当当US=2V时，时，I3=3A4=4G+I05=6G+ I0解得解得 G= =0.5S，I0 0= =2A即即 I3=0.5US+24. 2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem)对于给定的任意一个电路，其中第对于给定的任意一个电路，其中第k条支路电压条支路电压u

14、k和电流和电流ik已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于uk的独立电压的独立电压源，或者用一个电流等于源，或者用一个电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路中的独立电流源来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值全部电压和电流均保持原有值(解答唯一解答唯一)。A+uk=ikA=Aik+uk支支路路 k 定理内容定理内容: : 替代定理所提到的第替代定理所提到的第K条支路可以是电阻、电压源和电阻的条支路可以是电阻、电压源和电阻的串联组合或电流源和电阻的并联组合。串联组合或电流源和电阻的并联组合。证明：证明：ARUI IARI IU=RIU=RI

15、abc用电压源替代用电压源替代a、b为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。为自然等位点，短路后不影响其余电路的数值。AIUARIU=RIU=RIabc用电流源替代用电流源替代SII证明：证明：电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。电流为零的支路断开后不影响其余支路的电压和电流。ARUIARUIII支路电流为零支路电流为零ARIIIAIS注意：注意：1.1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。无电压源回路；无电压源回路；无电流源节点无电流源节点( (含广义节点含广义节点) )。3.3.替代后其余支路及参数不能改变替代后其余支路

16、及参数不能改变( (一点等效一点等效) )。2. 2. 替代后电路必须有唯一解替代后电路必须有唯一解证明：证明：因第因第K条支路替代前后条支路替代前后KCL、KVL关系相同，所以其余支关系相同，所以其余支路的路的u、i关系不变。若用关系不变。若用uk电压源替代电压源替代K支路后，其余各支路电支路后，其余各支路电压不变压不变(KVL)，那么其余各支路电流不变，故第那么其余各支路电流不变，故第k条支路条支路ik也不也不变变(KCL)。用用ik电流源替代电流源替代k支路后，其余支路电流不变支路后，其余支路电流不变(KCL)，那么其余支路电压不变，故第那么其余支路电压不变，故第k条支路条支路uk也不变

17、也不变(KVL)。4.4.第第K条支路中的电压或电流为条支路中的电压或电流为A中受控源的控制量，而替代后中受控源的控制量，而替代后该电压或电流不复存在，则该支路不能被替代。该电压或电流不复存在，则该支路不能被替代。解：解：用替代定理用替代定理, , 把把Rx支路用电流源替代。支路用电流源替代。U=U+U=(0.8- -0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2 xIIIIU801050521505251. xI.I.I. U6007501815251 +0.5 0.5 1 +UI0.5 0.5 0.5 1 +U0.5 I810.5 0.5 +10V3 1 RxIx+UI0

18、.5 例例1 1：若要使若要使,IIx81 试求试求Rx。0.5 0.5 1 +UI0.5 I81 例例2：试求图示电路在：试求图示电路在I=2A时，时，20V电压源发出的功率。电压源发出的功率。 解：用解：用2A电流源替代上图电流源替代上图电路中的电阻电路中的电阻Rx和单口网和单口网 络络 N2，得到右图所示电路。，得到右图所示电路。202241I 求得求得 A41I 20V电压源发出的功率为电压源发出的功率为 : 列出网孔方程列出网孔方程 例例3：图示电路中，已知电容电流：图示电路中，已知电容电流iC(t)=2.5e-tA，用替代定，用替代定理求理求i1(t)和和i2(t) 。解：图解：图

19、(a)电路中包含一个电容，它不是一个电阻电路。用电路中包含一个电容，它不是一个电阻电路。用 电流为电流为iC(t)=2.5e-tA的电流源替代电容，得到图的电流源替代电容，得到图(b)所示所示 线性电阻电路，用叠加定理求得：线性电阻电路，用叠加定理求得： )A1.25(2.52.52222210)A1.25(2.52.52222210tttteetieeti)()(21例例4： 图图(a)电路中电路中g=2S。试求电流。试求电流I。 解：先用分压公式求受控源控制变量解：先用分压公式求受控源控制变量U VU68626 用电流为用电流为gU=12A的电流源替代受控电流源，得到图的电流源替代受控电流

20、源，得到图(b)电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为电路，该电路不含受控电源，可以用叠加定理求得电流为7A44812444I4. .3 戴维南定理和诺顿定理戴维南定理和诺顿定理(Thevenin- -Norton Theorem)工程实际中，常常碰到只需研究某一支工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路路外的其余部分的电路( (通常为二端网络或通常为二端网络或称一端口网络称一端口网络) )，等效变换为较简单的含源等效变换为较简单的含源支路支路( (电压源与电阻串联电压源与电阻串联或或电流源与

21、电阻并电流源与电阻并联支路联支路) )，可大大方便我们的分析和计算。，可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了这样的等戴维南定理和诺顿定理正是给出了这样的等效含源支路及其计算方法。效含源支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+us1.1.几个名词几个名词(1) 端口端口( port )端口指电路引出的一对端钮，其中从一端口指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮个端钮( (如如a)流入的电流一定等于从另流入的电流一定等于从另一端钮一端钮( (如如b)流出的电流。流出的电流。NSabii(2) 一端口网络一端口网络 (network) (亦称二端网络亦称二端网络)网络与外

22、部电路只有一对端钮网络与外部电路只有一对端钮( (或一个端口或一个端口) )联接。联接。(3) 含源含源(active)与无源与无源(passive)一端口网络一端口网络网络内部网络内部含有独立电源含有独立电源的一端口网络称为的一端口网络称为含源一端口网络含源一端口网络(NS)。网络内部网络内部没有独立电源没有独立电源的一端口网络称为的一端口网络称为无源一端口网络无源一端口网络(N0)。2. 戴维南定理戴维南定理任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的线性一端口网络，对外电路来说，线性一端口网络，对外电路来说，都可以用一个都可以用一个电压源电压源

23、和和电阻电阻的的串联组合串联组合来等效置换；来等效置换；此此电压源电压源的电压等于一的电压等于一端口的开路电压端口的开路电压Uoc，而，而电阻电阻等于一端口中全部独立电源等于一端口中全部独立电源置零后的输入电阻置零后的输入电阻Ri 。NSabiiabRiUoc+- -证明证明: :(a)(b)(对图对图a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u和和 i值不变。计算值不变。计算u值值。=+根据叠加定理，可得：根据叠加定理，可得：电流源电流源i为零为零网络网络NS中独立源全部置零中独立源全部置零abNSi+uNiUoc+uNab+RiabNSi+ua

24、bNS+uu= Uoc (外电路开路时外电路开路时a 、b间开路电压间开路电压) u= Ri i则则 u = u + u = Uoc - - Ri i 此关系式恰与图此关系式恰与图(b)电路相同电路相同。abN0i+uRi3.3.小结小结(1)(1)戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。，电压源方向与所求开路电压方向有关。(2)(2)其串联电阻为其串联电阻为一端口网络内部独立电源全部置零一端口网络内部独立电源全部置零( (电压源电压源短路短路, ,电流源开路电流源开路) )后，后，所

25、得无源一端口网络的等效电阻所得无源一端口网络的等效电阻。求解等效电阻的方法：求解等效电阻的方法： (a)(a)当网络内部不含受控源时可用电阻串并联的方法直接计算；当网络内部不含受控源时可用电阻串并联的方法直接计算； (b) 含有受控源时可用含有受控源时可用加电压源求电流法或加电流源求电压法；加电压源求电流法或加电流源求电压法；(3) 串联电阻也可用串联电阻也可用开路电压、短路电流法（注意方法）开路电压、短路电流法（注意方法）(4)(4)外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变( (伏伏- -安特性等效安特性等效) )。(5)(5)当一端口内部

26、含有受控源时，其控制电路也必须包含在当一端口内部含有受控源时，其控制电路也必须包含在被化简的一端口中。被化简的一端口中。将原有的含源一端口网络将原有的含源一端口网络NS内所有独立电源均内所有独立电源均置零置零，化为无化为无源一端口网络源一端口网络N0后后（2 2） Ns网络网络-开路电压开路电压、短路电流法：、短路电流法：分别求出分别求出含源一端口网络含源一端口网络的开路电压的开路电压Uoc和短路电流和短路电流Isc，则含源一端口网络则含源一端口网络等效电阻等效电阻为为：（1 1） No网络网络 - 加压求流法或加流求压法：加压求流法或加流求压法：ScociIURN0UIRiabbNSaISC

27、注意这两种计算式子中的注意这两种计算式子中的电流的正方向是不同的。电流的正方向是不同的。等效电阻等效电阻两种计算方法区别：两种计算方法区别：例例1.1.计算计算Rx分别为分别为1.2 、5.2 时的时的I。IRxab+10V4 6 6 4 解：解：去掉去掉 Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路： 再加入再加入Rx支路支路ab+10V4 6 6 +U24 +U1IRxIabUoc+RxRi(1)(1)求开路电压求开路电压Uoc = U1 + U2 = - -10 4/(4+6)+10 6/(4+6) = - -4+6=2Vab+10V4 6 6 +

28、U24 +U1+- -Uoc(2)(2)求等效电阻求等效电阻RiRi=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2 时，时，I= Uoc /(Ri + Rx) =2/6=0.333ARx =5.2 时，时，I= Uoc /(Ri + Rx) =2/10=0.2ARiab4 6 6 4 含受控源电路戴维南定理的应用含受控源电路戴维南定理的应用求求U0 。3 3 6 I+9V+U0ab+6I例例2 2.abUoc+Ri3 U0- -+解：解：(1) 求开路电压求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V3 6 I+9V+Uocab+6I(2) 求等效电阻求等效电阻Ri方法方法1

29、：加压求流法加压求流法U=6I+3I=9II=Ia 6/(6+3)=(2/3)IaU=9 (2/3)Ia=6IaRi = U /Ia=6 3 6 I+Uab+6IIa方法方法2：开路电压开路电压、短路电流法短路电流法(Uoc=9V)6 I1 +3I=9I=- -6I/3=- -2II=0Isc=I1 9/6=1.5ARi = Uoc / Isc =9/1.5=6 3 6 I+9VIscab+6II1不除源不除源除源除源除源除源不除源不除源不除源不除源(3) 等效电路等效电路abUoc+Ri3 U0- -+6 9VV393630 U例例3.3.解：解：(1) a、b开路开路，I=0，Uoc= 1

30、0V(2)求求Ri ：加压求流法加压求流法U0 =(I0- -0.5 I0) 103+ I0 103 =1500I0Ri = U0 / I0 =1.5k abUoc+U R0.5k Ri用戴维南定理求用戴维南定理求U . .+10V1k 1k 0.5Iab R0.5k +UI1k 1k 0.5Iab+U0II0U=Uoc 500/(1500+500)=2.5VIsc = - -I，(I- -0.5I) 103 +I 103+10=01500I= - -10I= - -1/150 A即即 Isc=1/150 A Ri = Uoc / Isc =10 150=1500 ab10V+U R0.5k

31、1.5k (3) 等效电路等效电路：A.利用开路电压利用开路电压Uoc 、短路电流短路电流Isc法求法求Ri：Ri = Uoc / IscUoc =10V（已求已求出出）求短路电流求短路电流Isc (将将a、b短路短路)：另外方法：另外方法：+10V1k 1k 0.5IabIIscB .加流求压法求加流求压法求RiI= I0U0 =0.5I0 103 +I0 103 =1500I0 Ri = U0 /I0=1500 1k 1k 0.5Iab+U0II0解毕！解毕！任何一个含独立电源任何一个含独立电源，线性电阻和线性受控源的一端口网线性电阻和线性受控源的一端口网络络，对外电路来说对外电路来说，可

32、以用一个可以用一个电流源电流源和和电导电导（电阻）的（电阻）的并联并联组合组合来等效置换来等效置换；电流源的电流等于该含源一端口网络的短路电流源的电流等于该含源一端口网络的短路电流电流ISC，而电导（电阻）等于把该一端口网络中的全部独立电而电导（电阻）等于把该一端口网络中的全部独立电源置零后的输入电导源置零后的输入电导Gi （电阻电阻Ri ）。4.4.诺顿定理诺顿定理诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。NSababGi(Ri)I

33、sc例例. . 求电流求电流I 。12V2 10 +24Vab4 I+4 IabGi(Ri)Is(1)求求IscI1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6AIsc=- -I1- -I2=- - 3.6- -6=- -9.6A解：解：2 10 +24VabIsc+I1I212V(2) 求求Ri：串并联串并联Ri =10 2/(10+2)=1.67 (3) 诺顿等效电路诺顿等效电路:I = - - Isc 1.67/(4+1.67) =9.6 1.67/5.67 =2.83ARi2 10 abb4 Ia1.67 - -9.6A解毕！解毕！4.44.4 最大功率传输定理最大功率传输定

34、理 由于任何一个复杂的含源一端口网络都可以用一个戴维南由于任何一个复杂的含源一端口网络都可以用一个戴维南等效电路来替代，下图可看成任何一个复杂的含源一端口网络等效电路来替代，下图可看成任何一个复杂的含源一端口网络向负载向负载RL供电的电路。设供电的电路。设UOC和和Ri 为定值，若为定值，若RL 的值可变，则的值可变，则RL等于何值时，它得到的功率最大，最大功率为多大？下面就等于何值时，它得到的功率最大，最大功率为多大？下面就这些问题进行讨论。这些问题进行讨论。 可见，对于给定的可见，对于给定的UOC和和Ri，负载功率负载功率PL的大小完全由负载的大小完全由负载RL本身决定，当负载本身决定，当

35、负载 RL=0时时，显然电流显然电流IL为最大，但由于为最大，但由于RL=0 所所以以PL=0；而当负载而当负载RL 时，由于时，由于IL 0所以所以PL 仍为零，这样，仍为零，这样，只有当负载只有当负载RL为某值时，必能获得最大功率，即为某值时，必能获得最大功率，即 PL Plmax。从图中可知，负载从图中可知，负载RL消耗的功率消耗的功率PL为：为： 22= = OCL L L L i LUPI R =RR +RRiUOCRLILUL令上式方括号内的式子为零，得令上式方括号内的式子为零，得 RL Ri，这时负载才能获得这时负载才能获得最大功率。这也是负载最大功率。这也是负载RL获得最大功率

36、的条件。习惯上，把获得最大功率的条件。习惯上，把这种工作状态称为这种工作状态称为负载与电源匹配负载与电源匹配。在这条件下，负载电阻。在这条件下，负载电阻RL所获得的最大功率值为：所获得的最大功率值为：归纳以上结果可得结论，归纳以上结果可得结论，用实际电压源向负载用实际电压源向负载RL供电，只供电，只有有当当R RL L R Ri i时，负载时，负载R RL L才能获得最大功率，其最大功率为才能获得最大功率，其最大功率为iOCLRUP42 max这个结论称为最大功率传输定理。这个结论称为最大功率传输定理。iOCLRUP42 max或或241SCiLIRP max0RRRRRURRRUdRddRd

37、PLLiLiOCLLiOCLLL2322由高等数学可知，欲使负载由高等数学可知，欲使负载RL获得最大功率，只要满足获得最大功率，只要满足dPL/dRL=0的条件。将负载的条件。将负载RL消耗的功率表达式代入得消耗的功率表达式代入得：例：例：电路如下图所示，已知电路如下图所示，已知US124V，US25V，电流源电流源IS1A，R13 ，R24 ，R36 ，计算：计算：（1）当负载电阻当负载电阻RL12 时，时，RL中的电流和功率。中的电流和功率。（2）设设RL可调，则可调，则RL为何值为何值时才能获得最大功率，其值为多少？时才能获得最大功率，其值为多少？解解（1) 当当RL=12 时，除去负载

38、时，除去负载RL支路，将含源一端口网络化支路，将含源一端口网络化为戴维南等效电路。利用叠加定理可求开路电压为戴维南等效电路。利用叠加定理可求开路电压UOC。为求等效电阻为求等效电阻Ri ,令含源一端口网络内所有电源为零，即电压令含源一端口网络内所有电源为零，即电压源源US1 和和US2 处于短路，电流源处于短路，电流源IS处于开路，化为对应的无源处于开路，化为对应的无源一端口网络，得等效电阻一端口网络，得等效电阻Ri 为：为：VIRRRRRRRUUUUUSSSabSOC9163636632453131331122 RLUS1R1ISR3US2R211ab戴维南等效电路如下图所示，计算流过负载戴

39、维南等效电路如下图所示，计算流过负载RL中的电流及中的电流及消耗的功率。消耗的功率。（2）计算计算RL 及及PLmax根据负载获得最大功率条件可知，当根据负载获得最大功率条件可知，当RL Ri6 时，负时，负载可获得最大功率。即最大功率为：载可获得最大功率。即最大功率为：RiRLIL11UOCARRUILiOCL50. WRIPLLL32 WRUPiOCL3753649422.max 631312RRRRRRi 例例: 电路如图电路如图 (a)所示，其中所示，其中g=3S。试求。试求Rx为何值时电流为何值时电流I=2A，此时电压此时电压U为何值为何值? 解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网

40、络解：为分析方便，可将虚线所示的两个单口网络N1和和N2 分别用戴维南等效电路代替，到图分别用戴维南等效电路代替，到图(b)电路。单口电路。单口N1 的开路电压的开路电压Uoc1可从图可从图(c)电路中求得，列出电路中求得，列出KVL方程方程103202221oc1oc1oc1UgUU 解得解得 5V210oc1U 为求为求Ro1，将，将20V电压源用短路代替，得到图电压源用短路代替，得到图(d)电路，再用电路，再用外加电流源外加电流源I计算电压计算电压U的方法求得的方法求得Ro1。列出。列出KVL方程方程IUIgUU2322221I)( 解得解得 1IURo1再由图再由图(e)电路求出单口电

41、路求出单口 N2的开路电压的开路电压Uoc2和输出电阻和输出电阻Ro2 3V=16+363+3633oc2 2U26363o2R 最后从图最后从图(b)电路求得电流电路求得电流I 的表达式为的表达式为 xxxooococR1RRRRUUI8215)(32112 令令 I=2A，求得，求得Rx=3 。此时电压。此时电压U 为为 VUIRUoco752111VUIRRUocox7322)(3)(22或或 4. 5 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem) 特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定特勒根定理是电路理论中对集总电路普遍适用的基本定理，在这个意义上，它与基尔霍夫

42、定理等价。特勒根定理有理，在这个意义上，它与基尔霍夫定理等价。特勒根定理有两种形式。两种形式。 对于一个具有对于一个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，假设各支路电流条支路的电路，假设各支路电流和支路电压取关联参考方向，并令和支路电压取关联参考方向，并令（i1 ， i2 ，ib）、（）、（u1， u2 ， ub）分别为分别为 b条电路的电流和电压，则对任何时间条电路的电流和电压，则对任何时间t，有有1.1.特勒根定理特勒根定理1 1：01 bkkkiu此定理可通过右图所示电路的图证明此定理可通过右图所示电路的图证明如下：令如下：令un1、 un2、 un3分别表示结点分别表示结点 的结点电压

43、，按的结点电压，按KVL可得出各支路电可得出各支路电压与结点电压的关系为压与结点电压的关系为3120123564u1=un1 ； u2=un1 - un2 ； u3=un2 - un3 ； u4= - un1 + un3 ； u5=un2 ； u6=un3对结点对结点、应用应用KCLKCL，得得i1+i2 i4=0 ； i2+i3 +i5=0 ； i3+i4 + i6=0 而而6k k1 12 23 34 45 56 6k=1u i = u i +u i +u i +u i +u i +u i把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得把支路电压用结点电压表示后，代入上式并经整理可得()(

44、)()6k kn1 1n1n22n2n33n1n34n2 5n3 6k=1ui =u i + u -u i + u -u i + -u +u i +u i +u i上式中各括号内的电流分别为结点上式中各括号内的电流分别为结点、处电流的代数和，处电流的代数和，根据各结点的根据各结点的KCL方程，即有方程，即有上述证明可推广至任何具有上述证明可推广至任何具有n个结点和个结点和b条支路的电路，即有条支路的电路，即有或或()()()6k kn1124n2235n3346k=1u i =ui +i -i+u-i +i +i+u-i +i +i061 kkkiu01 bkkkiu注意在证明过程中，只根据电

45、路的拓扑性质应用了集尔霍夫定注意在证明过程中，只根据电路的拓扑性质应用了集尔霍夫定理，并不涉及电路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、理，并不涉及电路的内容，因此特勒根定理对任何具有线性、非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。这个定理实质非线性、时不变、时变元件的集总电路都适用。这个定理实质上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部支路上是功率守恒的数学表达式，它表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。吸收的功率之和恒等于零。2.2.具有相同拓扑结构（特征）的电路具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点两个电路，支路数和结点数都相

46、同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。的联接关系也相同。NNR5R4R1R3R2R6+us11234R5R4R1R3R6us6is2+1243 故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完全故两个电路具有相同拓扑结构，即它们的拓扑图（图）完全相同。相同。左图为上述两个电路的拓扑图。由于左图为上述两个电路的拓扑图。由于上述两个电路的支路与结点联接关系上述两个电路的支路与结点联接关系相同，因此它们的图也相同。相同，因此它们的图也相同。假设两个电路中对应支路电压假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。压相同的参考方向。3.3.特

47、勒根定理特勒根定理2 2：4651234231如果有两个具有如果有两个具有n个结点和个结点和b条支路的电路，它们具有相同的图，条支路的电路，它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参考但由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参考方向，并分别用方向，并分别用（i1， i2， ib）、（）、（u1， u2， ub）和和)(b21i ,i ,i)(b21u,u,u、表示两个电路中表示两个电路中b条支路条支路的电流和电压，则在任何时间的电流和电压，则在任何时间t，有有证明：证明：设两个电路的图如下图所示，取结点设两个电路的图如下图所示，取结点4为参考结点。为参

48、考结点。 0011 bkkkbkkkiuiu或或4651234231u1un1 ； u2un1un3 ；u3un3 ； u4un1un2 ；u5un2 ； u6un2un3 电路电路10421 iii0654 iii0632 iii电路电路2对电路对电路1，可列写，可列写KVL方程方程,有有:对电路对电路2，可列写，可列写KCL方程，有方程，有而而66554433221161iuiuiuiuiuiuiukkk 把电路把电路1的的KVL方程代入上式，整理可得方程代入上式，整理可得把电路把电路2 2的的KCL方程代入上式，可知：方程代入上式，可知：061 kkkiu此上述证明可推广至任何具有此上述

49、证明可推广至任何具有n个个结点和结点和b条支路的电路，即有：条支路的电路，即有：01 bkkkiu01 bkkkiu 同理可证明定理的第二部分，即有：同理可证明定理的第二部分，即有：()()()6k kk=1123456n1n1n3n3n1n2n2n2n3124456236n1n2n3u i= -ui + u-ui + ui + u-ui + ui + u-ui= u-i + i + i+ u-i + i + i+ u-i + i - i4.4.功率守恒定理：功率守恒定理：在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率在任一瞬间，任一电路中的所有支路所吸收的瞬时功率的代数和为零的代数和为零，

50、即，即 将特勒根定理将特勒根定理1 1用于同一电路中各支路电流、电压即可证用于同一电路中各支路电流、电压即可证得上述关系。得上述关系。 值的注意的是值的注意的是，特勒根定理特勒根定理2 2不能用功率守恒解释不能用功率守恒解释，它仅仅它仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中是对两个具有相同拓扑的电路中，一个电路的支路电压和另一一个电路的支路电压和另一个支路电流个支路电流，或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路电压和电流必须遵守的数学关系和电流必须遵守的数学关系。由于它仍具有功率之和的形式，由于它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为所以有时又称为“拟功率定理拟功

51、率定理”。注意：注意：特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路特勒根定理适用于一切集总参数电路。只要各支路u，i 满足满足KCL、KCL即可。特勒根定理与即可。特勒根定理与KCL、KCL三者中取其两三者中取其两个即可。个即可。例例1 1：(1) R1=R2=2 , Us=8V时时, I1=2A, U2 =2V(2) R1=1.4 , R2=0.8 , Us=9V时时, I1=3A, 求求U2。解：解：利用特勒根定理利用特勒根定理2由已知条件由已知条件(1)可得：可得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A121222(2): 4.8V, 3A, /(5/4)UII

52、URU条由由已已知知件件可可得得) , ( )()(1122112211的的方方向向不不同同负负号号是是因因为为IUIUIUIUIUV./. .6151421284251234222 UUU无源无源电阻电阻网络网络 N0 +U1+UsR1I1I2+U2R2可知可知： 例例2.2.已知：已知：U1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1A ；解：解：P+U1+U2I2I1P+2 1 U2 U1 I2 IV102 U.1U求求 )()(22112211IUIUIUIU 112 IUV.11 U4. 6 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)第一种形式第一种形式: : 电

53、压源激励，电流响应。电压源激励，电流响应。给定任一仅由线性电阻构成的网络给定任一仅由线性电阻构成的网络N0(见下图见下图)，设支路设支路j中有唯一电压源中有唯一电压源uj，其在支路其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj(图图a)；若支若支路路k中有唯一电压源中有唯一电压源uk，其在支路其在支路j中产生的电流为中产生的电流为ijk(图图b)。cd线性线性电阻电阻网络网络 N0ijk+ukab(b)ikj线性线性电阻电阻网络网络 N0+ujabcd(a)当当 uk = uj 时时，ikj = ijk 。则两个支路中电压电流有如下关系：则两个支路中电压电流有如下关系：jkjkjkkjkjkji

54、uiu uiui 或或 证明证明: :用特勒根定理。用特勒根定理。由特勒根定理由特勒根定理2： 0 0b1kkkb1kkkiuiu 和和(设设a-b支路为支路支路为支路1，c-d支路为支路支路为支路2，其余支路为，其余支路为3b)。图图(a)与图与图(b)有相同拓扑特征，图有相同拓扑特征，图(a)中用中用uk 、ik表示支路表示支路电压、电流，电压、电流， 图图(b)中用中用 kkiu 、表示支路电压、电流表示支路电压、电流。 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiuiuiuiu即：即： 0 32211322111 bkkkkbkkkbkkkiiRiuiuiui

55、uiuiu两式相减，得两式相减，得将图将图( (a a) )与图与图( (b b) )中支路中支路1 1，2 2的条件代入，即的条件代入，即即：即：证毕！证毕！jkkkjjiiuuuiiuuu 12122100 , , ; , ,当当 uk = uj 时时，ikj = ijk uiui iuiukjkjkjjkjkjk 或或 互易定理的第一种形式互易定理的第一种形式，即对一个仅含线性电阻的电即对一个仅含线性电阻的电路路，在单一电压源激励而响应为电流时在单一电压源激励而响应为电流时，当激励和响应互当激励和响应互换位置时换位置时，将不改变同一激励所产生的响应将不改变同一激励所产生的响应。第二种形式

56、第二种形式: : 电流源激励，电压响应。电流源激励，电压响应。在任一线性电阻网络的一对节点在任一线性电阻网络的一对节点j，j间接入唯一电流源间接入唯一电流源ij，它在另一对节点它在另一对节点k，k之间将产生电压之间将产生电压ukj(见图见图a)；若改在节点若改在节点k，k间接入唯一电流源间接入唯一电流源ik，它在节点它在节点j，j之间将产生电压之间将产生电压ujk(图图b)，则上述电压、电流有如下关系：则上述电压、电流有如下关系：当当 ik = jj 时，时，ukj = ujk 。jjkkkjkjkjkjiuiu iuiu 或或 ukjij+jjkk(a)ik+ujkjjkk(b)证明：证明：

57、设设j-j支路为支路支路为支路1，k-k支路为支路支路为支路2,其余支路为其余支路为3b)。图图(a)与图与图(b)有相同拓扑特征，图有相同拓扑特征，图(a)中用中用uk 、ik表示支路电压、电流，表示支路电压、电流， 图图(b)中用中用 kkiu 、表示支路电压、电流表示支路电压、电流。根据式：根据式：将图将图(a)与图与图(b)中支路中支路1，2的条件代入，即的条件代入，即即即jkkkjjuuiiiuuiii121221 , , 0 ; , 0 ,00211221uiuiuu1122iuiujjkkkjiuiu 或或 kjkjkjiuiu 当当 ik = jj 时，时，ukj = ujk

58、证毕！证毕！例：例：2 1 2 4 +8V2 Iabcd求电流求电流I 。解：解：利用互易定理利用互易定理I1 = I 2/(4+2)=2/3AI2 = I 2/(1+2)=4/3AI= I1- -I2 = - - 2/3A2 1 2 4 +8V2 IabcdI1I2IA248212428 / I解毕！解毕！(1)(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路的电压电流关系。的电压电流关系。(2)(2)激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。电压与电流互易。(

59、3)(3)电压源激励电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；支路；电流源激励电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个节点间。入另一支路的两个节点间。(4)(4)互易要注意电源与电压互易要注意电源与电压( (电流电流) )的方向。的方向。(5)(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：给定任一仅由线性电阻构成的网络给定任一仅由线性电阻构成的网络N0(见下图见下图)，设支路设支路j有唯有唯一的电流源一的电流源ij，其在支路其在支路k中产生的电流为中产生的电流为ikj(图图a)；若支路若支路k中有唯一的电压源中有唯一的电压源uk，其在支路其在支路j中产生的电流为中