工程制图：第二章 点、直线、平面的投影

1、Company L2-1投影的基本知识2-2三面投影体系的建立及对应关系第二章投影基础第二章投影基础2-3点的投影2-4直线的投影2-5平面的投影Company L 物体受到物体受到光线照射时，光线照射时，会在地面上产会在地面上产生影子。这种生影子。这种常见的自然现常见的自然现象，我们把它象，我们把它称为称为投影现投影现象象。 2-1投影的基本概念Company L1.1.投影的形成投影的形成投影体投影体ACB投影面投影面投射中心投射中心投影投影abc投射线投射线Company L2.投影的分类投影投影中心投影中心投影平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影Company L投影面投影面中心投

2、影法得到的投影一般不反映形体的中心投影法得到的投影一般不反映形体的真实大小。真实大小。投影特性投影特性投影体投影体ACB投影面投影面投射中心投射中心投影投影abc投射线投射线CABabc物体位置改变，物体位置改变，投影大小也改变投影大小也改变度量性较差，作图复杂。度量性较差，作图复杂。可以得到透视图可以得到透视图中心投影中心投影Company L实例实例Company L能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且能准确、完整地表达出形体的形状和结构，且作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。作图简便，度量性较好，故广泛用于工程图。投影特性投影特性投影体投影体ACB投影面投影面立体感较差。立体感较

3、差。投影体投影体ACB投影面投影面abc斜投影斜投影投射线倾斜投射线倾斜于投影面于投影面abc正投影正投影正投影法正投影法投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且垂直于投影面斜投影法斜投影法投射线互相平行且倾斜于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面投射线垂直投射线垂直于投影面于投影面平行投影平行投影Company L 当直线或平面垂直于投影面时，当直线或平面垂直于投影面时，其投影积聚为一点或一条直线，其投影积聚为一点或一条直线，这这种投影性质称为种投影性质称为积聚积聚性性。 Hedca(b)EDCBA积聚性积聚性正投影特性正投影特性Company L显实性显实性当空间直线或平面平行于投影面时

4、，当空间直线或平面平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，其投影反映直线的实长或平面的实形，这种投影性质称为这种投影性质称为显实性显实性。 HDedcbaECBA正投影特性正投影特性Company L当空间直线或平面倾斜于投影面时，当空间直线或平面倾斜于投影面时，其投影仍为直线或与之类似的平面图形，其投影仍为直线或与之类似的平面图形，其投影的长度变短或面积变小，其投影的长度变短或面积变小，这种投这种投影性质称为影性质称为相似相似性性。 HedcbaEDCBA正投影特性正投影特性相似性相似性Company Ln1.三面投影体系的建立 形状不同的形体，在同一投影面上的投影可能相同，说形状

5、不同的形体，在同一投影面上的投影可能相同，说明仅有一个投影是不能准确地表示形体的形状。明仅有一个投影是不能准确地表示形体的形状。2-22-2三面投影体系的建立及对应关系三面投影体系的建立及对应关系Company L 为了更真实的反映形体的情况，我们一般把形体放在三个为了更真实的反映形体的情况，我们一般把形体放在三个互相垂直的平面所组成的投影面体系中进行投影。互相垂直的平面所组成的投影面体系中进行投影。 Company L水平投影面（水平面）水平投影面（水平面）投影轴投影轴正立面投影（立面）正立面投影（立面）侧侧立立投投影影面面（侧侧面）面） 原点原点三面投影体系三面投影体系Company L直

6、观图直观图展开投影面展开投影面n2.三面投影体系的展开Company L三视图的形成展开后的三视图展开后的三视图三视图的形成三视图的形成三视图三视图 在三投影面体系中摆放形体时，应使形体的多数表面在三投影面体系中摆放形体时，应使形体的多数表面( (或或主要表面主要表面) )平行或垂直于投影面平行或垂直于投影面( (即形体正放即形体正放) )。 形体在三投影面体系中的位置一经选定，在投影过程中形体在三投影面体系中的位置一经选定，在投影过程中不能移动或变更。不能移动或变更。 WYWYHHXV0Z(主视图)(俯视图)(左视图)Company L 俯视图俯视图(H(H面面) )在主视图在主视图(V(V

7、面面) )的正下方；的正下方； 左视图左视图( (W W面面) )在主视图在主视图(V(V面面) )的正右方，这种位置的正右方，这种位置关系，在一般情况下是不允许变动的。关系，在一般情况下是不允许变动的。直观图直观图 W位置关系位置关系主视图(V面)俯视图(H面)左视图(W面)俯视(产生H面投影)左视(产生W面投影)主视(产生V面投影)3.三面投影图的对应关系Company L三视图间的对应关系三视图间的对应关系 V V面、面、H H面（面（主、俯视图）主、俯视图）长对正。长对正。 V V面、面、W W面（面（主、左视图）主、左视图）高平齐。高平齐。 H H面、面、W W面（面（俯、左视图）俯

8、、左视图）宽相等。宽相等。 直观图直观图总体三等总体三等局部三等局部三等宽宽高长宽宽高长Company L形体与视图的方位关系形体与视图的方位关系 V V面面( (主视图主视图) )反映了形体的反映了形体的上、下、左、右上、下、左、右方位关系；方位关系； H H面面( (俯视图俯视图) )反映了形体的左、右、前、后方位关系；反映了形体的左、右、前、后方位关系； W W面面( (左视图左视图) )反映了形体的上、下、前、后位置关系。反映了形体的上、下、前、后位置关系。直观图直观图三视图的方位关系三视图的方位关系左左前右下后右后上下前上Company L面点、直线、平面是构成形体的基本几何元素点、

9、直线、平面是构成形体的基本几何元素BCDA线点2-3点的投影Company L分析分析P 采用多面投影。采用多面投影。过空间点过空间点A A的投射线与投影的投射线与投影面面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上面上的投影。的投影。a A点在一个投影面上的投影不点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。能确定点的空间位置。Pb BB2B1解决办法解决办法Company LHWV投影面与投影轴投影面与投影轴OV面与面与H面的交线面的交线OX轴轴V面与面与W面的交线面的交线OZ轴轴H面与面与W面的交线面的交线OY轴轴YXZn1.1.点的三面投影Company L空间点空间点A A；a

10、a 点点A的水平的水平(H)投影投影;a a 点点A的正面的正面(V)投影投影;a a 点点A的侧面的侧面(W)投影。投影。空间点的位置和点的坐标空间点的位置和点的坐标 空间点的位置，可由空间点的位置，可由直角坐标值来确定，直角坐标值来确定，一般采用下列的书写一般采用下列的书写形式：形式：A(x,y,z)A(x,y,z)。 点到各投影面的点到各投影面的距离，为相应的坐标距离，为相应的坐标数值数值X X，Y Y，Z Z 。 Company LW投影面展开投影面展开XVAYOWZaa Ya ZaXaaVHYWHOXZYHaxaza ayayaaCompany L a aOX轴轴; a a OZ轴轴

11、; a到到OX轴轴的距离的距离= a 到到OZ轴轴的距离的距离 AaAa=aa=aax x= = a a az z=a=ay y0=y0=yA AA A点到点到V面的距离面的距离 AaAa = =a ax x= = a a ay y=a=az z0=z0=zA AA A点到点到H面的距离面的距离 Aa a=aa=aay y= = a a az z=a=ax x0=x0=xA AA A点到点到W面的距离面的距离 XVYOWZaa Ya ZaXaaHZAYAXAaOXYWYHaYHaYWaZZaX XAYAZAYAaa An2.2.点的三面投影规律点的三面投影规律Company L例例1:1:已知

12、已知A A点的坐标值点的坐标值A(12A(12，1010，15)15)，求作，求作A A点的三面投影图。点的三面投影图。 作投影轴作投影轴； 量取：量取：OaOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYWYW等点等点 ； 步骤步骤: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12过过a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等点分别作等点分别作所在轴的垂线，交点所在轴的垂线，交点a a、a a、a a既为所求。既为所求。 Company La aax例

13、例2 2：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:解法二解法二:a 通过作通过作45线使线使a az=aax用圆规直接量取用圆规直接量取a az=aaxCompany L例题例题3 3 已知点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。XZYWYHOa a aCompany LZYXYOa aa注：注：因为因为平面是无平面是无限大的，限大的，所以一般所以一般不画出平不画出平面边框。面边框。Company L1. 1. 在空间在空间（X X，Y Y，Z Z）点在投影体系中有四种位置情况：点在投影体

14、系中有四种位置情况：XVYOWZHXYWYHOaaaZ 由于由于X X，Y Y，Z Z均不为零，对三个均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三投影面都有一定距离，所以点的三个投影都不在轴上。个投影都不在轴上。a Zaaa YaXaA3.点的空间位置Company L 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。2. 2. 在投影面上：在投影面上： 在在H H面上面上（X X，Y Y，0 0）XVYOWZ

15、H 在在V V面上面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上面上（0 0，Y Y，Z Z）bBCdbCdDbdCCbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc Company LVWaabbOabZYAHBX两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。 x x 坐标大的在左；坐标大的在左； y y 坐标大的在前；坐标大的在前； z z 坐标大的在上。坐标大的在上。判断方法：判断方法：ZW YHYaabbOXabB B点在点在A A点点的的左、下、前方。左、下、前方。n4.4.两点的相对位置Company LOXa

16、 bW YHYaabb当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。影面的重影点。OH(b)aWYBAXZVabab重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。 ( )H H面重影，面重影，被挡被挡住的投影加住的投影加( )( )n5.点的可见性判别Company L例题例题1

17、1已知已知A A点在点在B B点之右点之右8 8毫米，之前毫米，之前5 5毫米，之上毫米，之上9 9毫米，求毫米，求A A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 9xA-xA=85Company LXZabOYWYHabba 两点确定一条直线，将两点的同两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的面投影用直线连接，就得到直线的投影。投影。直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 ab=AB 真实性真实性直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点ab=0 积聚性积聚性abmBAM直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短

18、投影比空间线段短 abAB 类似性类似性cosABababAB2-4直线的投影Company L投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线正平线（平行于面）（平行于面）侧平线侧平线（平行于面）（平行于面）水平线水平线（平行于面）（平行于面）正垂线正垂线（垂直于面）（垂直于面）侧垂线侧垂线（垂直于面）（垂直于面）铅垂线铅垂线（垂直于面）（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面n0.0.直线投影的分类Comp

19、any LVZWYHXbaOabbaAB投影特性：投影特性： 三个投影都缩短了。即三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。XZabOYWYHabban1.一般位置直线Company L投影特性：投影特性：1. 水平线的水平线的H面投影反映线段实长。即：面投影反映线段实长。即：ab=AB;2. 水平线的水平线的V、W面投影分别平行于面投影分别平行于H面的两根轴。面的两根轴。 即即 abox轴，轴，abOYW轴；轴；3. 水平线的水平线的H面投影与面投影与OX轴夹角反映该直线对轴夹角反映

20、该直线对V面的倾角面的倾角；与；与OYH轴的夹角，反映该直线对轴的夹角，反映该直线对W面的倾角面的倾角。水平线的投影特征：水平线的投影特征：YOWYHZXababababababn2.投影面平行线Company Lb a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角。并反映直线与另两投影面倾角。2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性：性：与与H面的夹角面的夹角: 与与V面的

21、角面的角: 与与W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长ba aa b b Company L投影特性：投影特性：1. H面投影积聚成一点；面投影积聚成一点；2. V、W面投影反映实长，即面投影反映实长，即ab=ab=AB；V、W面投影，分别垂直于面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即：面的两面根轴，即： abox轴轴ab oz轴轴 。铅垂线投影特征铅垂线投影特征:OZbaa(b)baYHXYWn3.投影面垂直线Company L投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线2.另外两个投影面上，另外两个投影面上，投影反映线段实长。投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。且垂直

22、于相应的投影轴。1.在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f efe (f )积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点积聚积聚为点为点Company L例例1：判断下列直线的空间位置：判断下列直线的空间位置ababababdCdddCCompany L 若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在则点的投影必在直线的同面投影上。即具有直线的同面投影上。即具有从属性。从属性。 若点在直线上，则点将线段的同若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有

23、即具有定比性：定比性：AC/CB=ac/cb= ac / cb 若点的投影有一个不在直线的同名若点的投影有一个不在直线的同名投影上，投影上， 则该点必不在此直线上。则该点必不在此直线上。判别方法：判别方法：ABVHCbcac b a e e在在不在不在C点点 直线直线AB上上D点点 直线直线AB上上Dn5.直线上的点Company L例：判断点例：判断点K是否在线段是否在线段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法是另一判断法是因因a k :k b ak:kb 故点故点K不在不在AB上。上。Co

24、mpany LXOcabdbacd 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必相互平行必相互平行，反之亦然。，反之亦然。空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。n6.两直线的相对位置Company Labcda b c d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。结论：结论：AB/CDXCompany Lcbadd b a c b d c

25、 a 对于投影面平行线，只对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。反映实长的投影。结论结论:AB:AB与与CDCD不平行不平行例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断如何判断Company LHVXABCDabcda b c d abcdb a c d 2.2.两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影

26、规律。交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk 交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点k kKCompany Lcabb a c d k kd例例3：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影Company L12d b a abcdc1 (2 )3(4 )3.两直线交叉两直线交叉 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律。一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影，重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重

27、影点，、是是H面的重影点。面的重影点。3 4 AB与与CD两直线相交吗两直线相交吗投影特性：投影特性：结论：结论：AB与与CD两直线不相交两直线不相交Company L平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把实形现投影就把实形现 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影积聚成直线投影积聚成直线 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性n1.1.各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2-5平面的投影Company L平面在三投影面体系中的投影特性

28、平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面Company LXHVZabcAaBbcacbCYn一般位置平面Company La b c a c b abc三个投影都类似。三个投影都类

29、似。投影特性：投影特性：Company LBbHbVccacAC aaOYWbZn投影面平行面Company La b c a b c abc积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性结论：水平面结论：水平面投影特性：投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。Company LXZabcacbabcOYHYW 1.H面投影积聚成一直线；2. 、 反映平面对V、W面的倾角。n投影面垂直面Company LABC为什么为什么位置的平面位置的平面abca

30、 c b c b a 铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？为什么？类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性Company L判断直线在平面判断直线在平面内的方法内的方法 定定 理理 一一若一直线过平面若一直线过平面上的两点，则此上的两点，则此直线必在该平面直线必在该平面内。内。定定 理理 二二若一直线过平面上的若一直线过平面上的一点，且平行于该平一点，且平行于该平面上的另一直线，则面上的另一直线，则此直线在该平面内。此直线在该平面内。 (1) 平面上取任意直线平面上取任意直线n4.4.平面上的直线和点Company L有无数解。有无数解。a