5.6.3_正弦定理、余弦定理的应用---边角互化_2017.3.15

1、第五章三角比5.6.2 余弦定理和解斜三角形余弦定理和解斜三角形5.6.3 正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理的应用 -边化角、角化边边化角、角化边例例1.在在 中，中， ，判断，判断ABCcoscosaAbBABC的形状的形状.解：根据解：根据正弦定理正弦定理得得2 sin,2 sinaRA bRB代入条件代入条件,并化简得并化简得sincossincosAABB即即sin2sin2AB2 ,2(0, )AB22AB或者或者22AB得得 或或AB2AB所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.ABC例例1.在在 中，中， ，判断，判断ABCcoscosaAbBABC

2、的形状的形状.解法二：根据解法二：根据余弦定理余弦定理得得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入条件并化简得代入条件并化简得2222222()()()cababab所以所以 为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形.ABC解得解得 或或ab222cab变式：变式： 在在 中，中， ，判断，判断ABCcoscosaBbAABC的形状的形状.例例2.若锐角若锐角 的三边长分别是的三边长分别是 ，,1,2a aaaABC试确定试确定 的取值范围的取值范围.解：解：0(1)2aaaa由两边之和大于第三边，由两边之和大于第三边，解得解得1a 由由最大角最大角为锐角，得为锐角，

3、得222(1)(2)02 (1)aaaa a解得解得3a 综上，当综上，当 时，边长满足条件时，边长满足条件.3a 变式：变式：若若 为钝角三角形，求为钝角三角形，求 a 的取值范围的取值范围.ABC例例3.在在 中，中， ，判断判断ABCsin:sin:sin6:7:9ABC 若ABC的形状的形状.解：根据解：根据正弦定理正弦定理得得: :sin:sin:sin6:7:9a b cABC 设设a, b, c三边长分别为三边长分别为 6x, 7x, 9x, x0, 则长为则长为9x的边的边c是最大边，它所对的角应是最大边，它所对的角应该是最大角，该是最大角，三角形的形状由三角形的形状由最大角最

4、大角决定决定由余弦定理，得由余弦定理，得222(6 )(7 )(9 )1cos=02 6721xxxCxxC为锐角，所以是锐角三角形为锐角，所以是锐角三角形.例例4.在在 中，求证：中，求证： ABC22sin2sin22sinaBbAabC证明：利用正弦定理和余弦定理，得证明：利用正弦定理和余弦定理，得 22=2sincos2sincosaBBbAA左左式式22222222222222b acba bcaabRacRbc22abcR2sin=abC右右式式课堂练习课堂练习1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.5,12,132.三角形满足三角形满足 ，判定其形状

5、，判定其形状.coscosaBbA3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度数数. (精确到精确到 )4.在在 中，求证：中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA5,12,131、不解三角形，判断解三角形问题有一解、两解还是无解。、不解三角形，判断解三角形问题有一解、两解还是无解。 (1)30 ,14,7;(2)12,18,453105 ,8,7BababAAbaA B C22 ,2baA中，中，如果三角形有解，则如果三角形有解，则的范围的范围2、练习：两边一邻角，判断解的个数判断解的个数作业课堂练习答案课堂练习答案解：解：132sin

6、90R 1.已知三角形边长为已知三角形边长为 ，求外接圆半径，求外接圆半径R.5,12,135,12,13得得132R 2.三角形满足三角形满足 ，判定其形状，判定其形状.coscosaBbA解：解：2 sincos2 sincosRABRBAsin()0AB得得(, )AB 0AB该三角形为等腰三角形该三角形为等腰三角形. 解毕解毕解毕解毕课堂练习答案课堂练习答案3.边长为连续边长为连续正整数正整数的钝角三角形，求钝角的度的钝角三角形，求钝角的度数数. (精确到精确到 )1解：设边长为解：设边长为, 1, 2, a aaaZ1(1)2aaaa且且222(1)(2)02 (1)aaaa a化简得化简得11aa13a 且且因此因此2a 最大角余弦值为最大角余弦值为 ，14角度约为角度约为104解毕解毕课堂练习答案课堂练习答案4.在在 中，求证：中，求证：ABCcossincossinacBBbcAA证：左边证：左边=2 sin2 sincos2