空间向量与立体几何综合题

1、综合测评（三）（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .与向量a=（1, 3,2）平行的一个向量的坐标是（）A. 1, 1, 1 B. （1, -3,2）31 3C. 25 2，1 D.(巡，-3, - 2 也)1 3,AE = xAA1 + y(AB【角牛析】a=(1, 3,2)= 2 2，2， 1 .2.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,A1E =+ AD),则()x 1, y2B x1, y3-11C. x=2, y= 1 D. x=1, y=4rr 111【解析】AE = AA

2、1 + A1E = AA1 + 4A1C1 = AA1 + 4AC = AA1 + 4 (AB+AD),1 y=4.应选D.【答案】D3 .已知 A(2, 4, 1), B(1,5,1), C(3, 4,1), D(0,0,0),令 a=CA, b = CB,则 a+ b为()A. (5, 9,2) B. (5,9, -2)C. (5,9, -2) D. (5, 9, -2)【解析】a=CA=(1,0, 2), b= CB=( 4,9,0),. a+b= ( 5,9, -2).【答案】B4 .在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，若AG = aAB+2bAD +3cA1A,则abc的值

3、等于（）15A.6 B.6-7 -1C.6 D- -6-AC1=AB + AD- AA1 = aAB + 2bAD + 3cAA,.abc= -1.65 .棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，下列结论不正确的是（）A.AB= C1D1B.AB BC=0C.AA1 BQ = 0 D.AC1 A1C=0【解析】如图，AB/C1D1, ABXBC, AA11B1Db 故 A、B、C选项均正确.【答案】D6 .已知向量a、b是平面口内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“ c a = 0,且c b=0”是l，的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也

4、不必要条件【解析】 若U %则l垂直于口内的所有直线，从而有c a = 0,cb = 0.反之，由于a、b是否共线没有确定，若共线，则结论不成立； 若不共线，则结论成立.【答案】B7 .已知 ABC 的三个顶点为 A(3,3,2), B(4, 3,7), C(0,5,1), 则BC边上的中线长为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【解析】设BC中点为D,则D(2,1,4),AD=(1, 2,2),.|AD| = a/i2+ -2 2+22 = 3,即 BC 边上的中线长为 3.【答案】B8. (2014 荆州高二质检)若向量 a = (x,4,5), b=(1, 2,2),且 a2 与b

5、的夹角的余弦值为点，则x=()A. 3 B. -3C. -11 D. 3 或一11【解析】因为 ab=(x,4,5) (1, -2,2)=x-8+10 = x+2,且 a与b的夹角的余弦值为噜，所以增x+ 2=/,解业2 + 42+ 52乂41+4+ 4得乂= 3或11（舍去），故选A.【答案】A9.如图 1 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=BC= 2, AA1 = 1,则BCi与平面BB1D1D所成的角的正弦值为（）4.图1A.鸟空3 B. 5C.15105 D. 5【解析】 以D点为坐标原点，以DA, DC, DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，

6、则 A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), C(0,2,1),. BC1 = ( 2,0,1), AC=(2,2,0),且AC为平面BB1D1D的一个法 .cosBC1, AC4 _ 105 18 5 .向量.BC1 AC= =|BCi|AC|./rrt rt ,二；1 , V10. sinBCi, AC= |cosBCi, AC|=-,5.BCi与平面BBiDiD所成的角的正弦值为/10 5【答案】Di0,已知正四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB,则CD与平面BDCi所成角的正弦值等于A.2 BC看 D.g 3333【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系

7、，如图，设 AAi=2AB = 2,则 D(0,0,0), C(0,i,0), B(i,i,0), Ci(0,i,2),则 DC=(0,i,0), DB =(i,i,0), DCi = (0,i,2).设平面 BDCi 的法向量为 n=(x, y, z),则 nx+y=0,1DB, n±DCi,所以有令y= 2,得平面 BDCi的一y+2z= 0,个法向量为n=(2, -2,i).设CD与平面BDCi所成的角为。，则sin0= |cosn, DC> | =n DC 2=3. |n|DC|ii . (20i4安徽省合肥一中期末 考试)已知正方体 ABCD AiBiCiDi中，若点

8、F是侧面CDi的中心，且AF = AD+mAB nAAi,则m, n的值分别为（）C.12'12si i i 2D.2，2ff f 1f - ffi【解析】 由于 AF = AD + DF = AD + 2(DC + DDi) = AD + /AB+ 2二一， 11AAi,所以 m=2，n= 2,故选 A.【答案】A12.在矩形 ABCD 中，AB=3, AD = 4, PA，平面 ABCD, PA = 唔那么二面角A- BD-p的大小为（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 75【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系,则 PB= 3, 0, -5V3 ,BD = (3,4,0)

9、.设n=（x, y, z）为平面PBD的一个法向量，则n PB=0x, y, z 3, 0, -5V3 =0,n BD = 0x, y, z 3, 4, 0 =0.3x二.3z= 0,3 5 _即 5令 x=1,则 n= 1, 4, 473-3x+4y=0.又 ni= 0, 0,4y3为平面ABCD的一个法向量, .cosni, n>=端=坐二所求二面角为30.【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若 a=(2x,1,3), b = (1, 2y,9),且 a 与 b 为共线向量，则 x一 ，一、，2x 13【解析】由题意得2x=，=3,1 -2y 9,13

10、【答案】6 -214. （2014人大附中期中考试）ABC的三个顶点坐标分别为A（0,0,啦），B 乎，2, 42 ,C（1,0,爽），则角A的大小为【解析】A B=坐，2, 0,A C=(1,0,0),则 cosA= AB AC |AB|AC|23 一 .=E =手，故角A的大小为30 .1 A 12【答案】3015. （2014清华附中高二月考）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1, 2,3）、B（2,1, 1）,若直线AB交平面xOz于点C,则点C的坐标为【解析】设点C的坐标为(x,0, z),则AC=(x 1,2, z 3), ABf fx 1 2 z一 3=(13-4),因为AC与

11、ab共线，所以=3=:解得 51所以点c的坐标为3, 0, 3.51【答案】5, 0, 316. (2014长沙高二检测)如图2,在三棱锥 A-BCD5 x=3,1 z=3.中，DA,DB, DC两两垂直，且DB=DC,E为BC中点，则AE BC等于一 一 一1一 一【解析】 因为E为BC的中点，所以AE=DEDA=2(DB + DC)一 DA,因为在三棱锥 A BCD中，DA, DB, DC两两垂直，且 DB 17f f ff 1= DC,所以 AEBC= 2 DB+DC -DA (DCDB) = (DC2DB2) = 0.【答案】0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，

12、证明过程或演算步骤.)17. （本小题满分10分）如图3所示的平行六面体中，求证：AC+AB' +AD' =2AC'.【证明】平行六面体的六个面均为平行四边形,. AC = AB + AD, AB' =AB+AA' , AD' =AD + AA'. AC+AB' +AD' =(AB + AD) + (AB + AA' ) + (AD + AA')= 2(AB+AD + AA').又AA' =CC' , AD = BC,. AB + AD + AA' =AB+BC+CC'

13、; =AC+CC' =AC'. AC + AB' +AD' =2AC'.18. （本小题满分12分）（2014石河子高二检测）如图4所示，平行六面体ABCD A1B1C1D1中，E, F分别在B1B和D1D上，且BE=、BB1, DF = 0DD1.33图4(1)证明：A, E, Ci, F四点共面；(2)若 EF = xAB + yAD + zAAi,求 x+ y + z.【解析】(1)因为ACi = AB+AD + AAi 1 7 2 f=AB+AD + 3AA1 + 3AA17 1 2T=AB+1AA + AD + 2AA1 33777777=AB

14、+BE + AD + DF = AE + AF,所以A, E, C1, F四点共面. 7 7 7 7 7f 7(2) /EF= EA+ AF = EB+ BA+AD + DF 2 =BE AB + AD + 3DD11 2 f=邛1 -AB + AD + 2DD1 331 2 7=3AAi-AB + AD + 3AAi1 7=AB + AD + 3AA1./EF = xAB+ yAD + zAAi, 1 . .1. x=i, y=i, z= 3. X+ y+ z= 3.19.（本小题满分12分）如图5,在直三棱柱 ABC-AiBiCi中,AC=3, AB=5, BC = 4, AAi=4,点

15、D 是 AB 的中点.图5(1)求证：ACXBCi；(2)求证：ACi/平面 CDBi.【解】直三棱柱ABC AiBiCi底面三边长AC=3, BC = 4,AB=5,.AC, BC, CiC 两两垂直.如图，以C为坐标原点，直线CA, CB, CCi分别为x轴，y轴,z轴,建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0), A(3,0,0), Ci(0,0,4), B(0,4,0),、r 3 c cBi(0,4,4), D 2, 2, 0 .(i) .AC=(3,0,0), BCi = (0, 4,4),. ACBCi = 0, /ACXBCi.(2)设CBi与CiB的交点为E,则E(0,2,2).

16、3 c CM.DE =2, 0, 2 , ACi = (-3,0,4),f 1 f 7 T.DE = 2ACi, .,.DE /ACi.DE?平面 CDBi, ACi?平面 CDBi,ACi /平面 CDBi.20.(本小题满分12分)如图6,在四棱锥PABCD中，PD，底 面ABCD,底面ABCD为正方形，PD = DC, E, F分别是AB, PB 的中点.图6(1)求证：EFXCD;(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值.【解】(1)证明：以D为坐标原点，DA, DC, DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.21-设 AD=a，则 D(0,0,0),A(a,0,0)

17、,B(a,a,0),C(0,a,0),Ea, |, 0,a a aP(0, 0, a), F 2, 2, 2 ., a - a .- EF DC = 一2，0，2(°，a,0)=。. EFSC, .,.EFXCD.(2)设平面DEF的法向量为n=(x, y, z),*7o=a-2a 一才a 一才zazyazXo -nraz o=oa一.2?azazyazXo -a-2 x + y+z =0, 即_, a 八ax+ 2y 0.取 x= 1,则 y= 2, z= 1,n=(1, 2,1), .cosBD, n>BD n=一=V2a V6= 6 .|BD| |n|设DB与平面DEF所

18、成角为0,则sin 0=21.(本小题满分12分)如图7,四棱锥P ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中 BA±AD, CDXAD, CD = AD = 2AB, FA,底面ABCD, E是PC的中点.图7(1)求证：BE/平面PAD;(2)若 BE,平面 PCD,求异面直线PD与BC所成角的余弦值;求二面角E-BD-C的余弦值.A &【解】设AB= a, PA= b,建立如图的空间直角坐标系，则A(0,0,0),bB(a,0,0), P(0,0, b), C(2a,2a,0), D(0,2a,0), E a, a, 2 .二b N?、-17(1)BE= 0, a, 2

19、, AD=(0,2a,0), AP=(0,0, b),所以BE=ADL+ 2AP,因为BE?平面PAD,所以BE/平面PAD.(2)因为BE,平面PCD,所以BEX PC,即 BEPC=0, PC= (2a,2a, b),b2所以BE PC = 2a? 万=0,则 b=2a.4a2pD = (0,2a，2a), BC=(a,2a,0), c0spD，BC> =2啦a 粕a =邛，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为 邛;在平面 BDE 和平面 BDC 中，BE=(0, a, a), BD=(a, 2a,0),BC=(a,2a,0),所以平面BDE的一个法向量为 ni = (2,1, 1);平面一一，. 1 一一BDC 的一个法向重为 n2=(0,0,1); cos <ni, n2> =:/6，所以一面角E-BD-C的余弦值为噜.22.(本小题满分12分)(2014湖北高考)如图8,在棱长为2的正 方体 ABCD AiBiCiDi 中，E