线性代数试题和答案版

1、线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出内四个选项中只有一个是符合题目要求内,请将其代码填在题后内括号内。错选或未选均无分。1.设行列式a1 11 a 21a12a22a13 a11a23 a 21=n,则行列式a11a12a13a21a22a 23A. m+nB. - (m+n)D. m- nC. n - m0。，则A- 1等于（31 0 0 3A. 0 0 2 0 0 11 0 0B. 0 - 020 031 -003C. 0 1 010 02D.0 1030 0 133. 设矩阵 A= 121201 , A*是AG伴随矩

2、阵，则A*中位于（1,2） 内元素是（14A. - 6B. 6C. 2D. -24.设A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC则必有A. A = 0B. B C时 A=0C. A 0 时 B=CD. | A| 0 时 B=C5.已知3X4矩阵AG行向量组线性无关，则秩（AT）等于（A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组a i, a 2,，as和01, 0 2,，0 s均线性相关，则（A.有不全为0 G数入i,入2,，入s使入i a i+入2 a 2+入s a s=0和入i 0 1+入2 0 2+入s 0 s=0=02+A.所有r- i阶子式都不为0B.所有r- i阶子式全为0C.至少有一

3、个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0B.有不全为0数入i,入2,，入s使入i(ai+Bi) +入2 (a 2+0 2) +入s(as+0sC.有不全为0数入1,入2,，入s使入i(ai- 0i)+入2 (a 2- 02)+入s(as-=0D.有不全为0 数入i,入2,，入s和不全为0 数仙i,仙2,，仙s使入ia i+入2a入 s a s=0 和 N i B1+;12 0 2+ N s B s = 07 .设矩阵AG秩为r,则A中（8 .设Ax也是一非齐次线性方程组， ，”2是其任意2个解，则下列结论错误内是（A.4 i 十 4 2是 Ax=0 0 个解B. t i+- T)2是 Ax=

4、b 0 个解C.“i-42是Ax=0 6D一个解D.2t i-4 2 是 Ax=b一个解9 .设n阶方阵A不可逆，则必有（A. 秩 ( A)<nB. 秩 (A)=n- 1C. A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确CD是（A.如存在数人和向量a使Aa =入口，则a是A 属于特征值入内特征向量B.如存在数人和非零向量a ,使（入E- A） a=0,则人是AG特征值C. A2个不同内特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A（Z）3个互不相同特征值，a 1, a 2, a 3依次是A（Z）属于入i,入2,入3特征向量，则ai, a 2,a 3

5、有可能线性相关11 .设入0是矩阵A特征方程内3重根，A属于入0线性无关内特征向量内个数为 k,则必有（）A. k <3B. k<3D. k>3C. k=312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误内是（A.| A|2 必为 1C. A- 1=ATB.| A| 必为 1D.ACD行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC则（A. A与B相似B. A 与 B 不等价C. A与B有相同CD特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵内为（A.23343 B.2111D. 1 2 0102第二部分非选择题(共72分)二、填空题(本大题共

6、10小题，每小题2分，共20分)不写解答过程，将正确内答案写在每小题内空格内。错填或不填均无分。1 1115 . 356.9253616 .设 A= 1 1 1 , B= 1 2 3 .则 A+2B=.1 1112 417 .设 A=(aj)3x3 , | A|=2 , A 表示|A|中元素aj代数余子式(i,j=1,2,3),则(a nA+a12A22+a13A23) +(a 21A21+a22A22+a23A23) +(a3A1+a32A22+a33A23)=.18 .设向量(2,-3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，则a= .19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非

7、齐次线性方程组 Ax=bcD 2个不同内解，则它G通解为20 .设A是mK n矩阵，AG秩为r(<n),则齐次线性方程组 Ax=0G一个基础解系中含有解内个数为 21 .设向量a、B长度依次为2和3,则向量a + B与a - 0 内积(a + 0 , a - 0 )二22.设3阶矩阵A CD行列式| A|=8 ,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为023.设矩阵A= 1210310623 ,已知a= 1是它内一个特征向量，则a所对应内特征值8224.设实二次型f(x 1,X 2,x 3,x 4,x 5) 内秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题(本大题共7小题，每小题6分，

8、共42分)1225.设 A= 3 41 200 , B= 2 3 1 .求(1) ABT; (2) |4 A.2 4 0131126.试计算行列式5132011532413427.设矩阵A= 112 31 0 ,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.2 3213028.给定向量组a 1=1.,0C 2= 03.,0C 3=20.2，a 4一143419试判断a4是否为ai, a3内线性组合；若是，则求出组合系数29. 设矩阵 A=12232102426610233334求： （ 1）秩（A） ；（2） A 列向量组内一个最大线性无关组02230.设矩阵A= 2 3 4 CD全部特征值为1,1

9、和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T1A户D.24331. 试用配方法化下列二次型为标准形222f(x1,x 2,x 3)= x12x2 3x3 4x1x2 4x1x3 4x2x3，并写出所用内满秩线性变换。四、证明题32.设方阵A满足A3=0,试证明E- A可逆，且（E- A） - 1=E+A+A2.33.设40是非齐次线性方程组 Ax=b 一个特解，己1,己2是其导出组Ax=0 一个基础解系.试证明(1 )4 1=4 0+ 己 1 , 7 2=7 0+ 己 2 均是 AX=b 2)解;（2） 71 0, ，”2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共1.D2.

10、B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10 空，每空2 分，共20 分）28 分）15. 616.33713717. 418. - 1019.4l+C（ Y 2-41）（或Y 2+C（刀2-41） , C为任意常数20. n - r21. -522.223. 1222224. z1 z2 z3 z47 小题，每小题6 分，共 42 分02203411025. 解（ 1）12ABT= 3 41286=18 103 10(2) |4A|=4 3| A|=64| A| ,而120| A|=3402.121所以 |4A|=64 - (-

11、 2) =- 12826.解311251342011153351111113100105530511111155 06 230 10 40.5527.解 AB=A+2B 即(A- 2E) B=A,而143153164223A- 2E) - 1= 11 0121所以B=( A-2E)1A=386= 296.2 12928. 解一21301301022434190 532130101120 131 12所以a 4=2a 1+ a 2+ a 3,组合系数为(2,1,1)解- 考虑 a 4=Xi a 1+X2 a 2+X3 a 3,2x1 x2 3x30X1 3X212X2 2X3 43X1 4X2

12、X39.方程组有唯一解（2, 1, 1） T,组合系数为（2, 1, 1）29 .解对矩阵A施行初等行变换12102A 0006203282096321210203283000620 0021 71210203283 =B.00031000001）秩（B） =3，所以秩（A） =秩（B） =3.（2）由于A与BCD列向量组有相同内线性关系，而 B是阶梯形，BG第1、2、4列是B内列向量组内一个最大线性无关组，故 ACD第1、2、4列是A CD列向量组CD一个最大线性无关组。（ACD第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30 .解 A 属于特征值X =1 O 2个线性无关内特征向量为

13、入二(2, - 1, 0);匕二(2, 0, 1)经正交标准化，得71=2、.5/5 75/5 ,02、.5/152= 4,5/15 .5/3入=-8 CD一个特征向量为11/3E 3= 2 ,经单位化得“3= 2/322/32，.5/52J5/151/3所求正交矩阵为T= ,5/54,5/152/305/32/31 0 0对角矩阵D= 0 1 00 082,5/5(也可取T=0.5/52.15/15、.5/34.5/151/32/3 .)2/331.解 f(x 1, X2, X3)=(X1+2X2- 2x3)2- 2x22+4x2x3- 7x32=(x1+2x2- 2x3)2- 2 (x2-

14、x 3) 2- 5x32.y1 x1 2x2 2x3x1y1 2y2设y2x2 x3 ， 即 x2 y2 y3 ，x3y3y3x3120因其系数矩阵C= 0 1 1 可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f（x 1, X2, X3）标准形y12- 2y22- 5y32 .四、证明题（本大题2 小题，每小题5 分， 10 分）32 . 证 由于（ E- A） （ E+A+A2） =E- A3=E，所以E- A可逆，且（ E- A） - 1= E+A+A2 .33 .证 由假设 A4 o=b, A± 1=0, AE 2=0.(1) At i=A (4 0+ E i) =Ar 0+A己 i=b,同理 A4 2= b ,所