二分法求方程的近似解

1、3.1.2用二分法求方程的近似解1.1.掌握用二分法求函数零点近似值的步骤掌握用二分法求函数零点近似值的步骤. .2.2.让学生初步了解逼近思想让学生初步了解逼近思想, ,体会数学逼近过程体会数学逼近过程, ,感受精度与近感受精度与近似的相对统一似的相对统一. .3.3.根据具体函数的图象根据具体函数的图象, ,能够借助计算器用二分法求相应方程能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解的近似解. .1.1.二分法的定义二分法的定义(1)(1)满足的条件满足的条件: :f(xf(x) )在区间在区间a,ba,b 上的图象上的图象_._.在区间在区间a,ba,b 端点的函数值端点的函数值_._.(2

2、)(2)操作过程操作过程: :把函数把函数f(xf(x) )的零点所在的区间不断地的零点所在的区间不断地_,_,使区间的两个使区间的两个端点逐步逼近端点逐步逼近_,_,进而得到零点的近似值进而得到零点的近似值. .连续不断连续不断f(a)f(a)f(bf(b)0)0一分为二一分为二零点零点2.2.二分法的步骤二分法的步骤(1)(1)验证验证: :确定区间确定区间a,ba,b,验证验证_,_,给定精确度给定精确度.(2)(2)求中点求中点: :求区间求区间(a,b(a,b) )的中点的中点c.c.(3)(3)计算计算: :若若f(cf(c)=0,)=0,则则_就是函数的零点就是函数的零点; ;若

3、若f(a)f(a)f(cf(c)0,)0,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0_);_);若若f(c)f(c)f(bf(b)0,)0,则令则令a=c(a=c(此时零点此时零点x x0 0_)._).(4)(4)判断判断: :若若_,_,则得到零点近似值则得到零点近似值a(a(或或b);b);否则重复否则重复(2)(2)(4).(4).f(a)f(a)f(bf(b)0)0(a,c(a,c) )(c,b(c,b) )|a-b|a-b|0,F(0)=-10,F(0)=-10,所以所以F(-1)F(-1)F(0)0,F(0)0,f(0.532)0,f(0.605)0,f(0.532)0

4、,f(0.605)0,即得到方程的一个近似即得到方程的一个近似解为解为( (精确度为精确度为0.1).0.1).【解析【解析】因为因为|0.605-0.532|=0.0730.1,|0.605-0.532|=0.0730.1,所以所以0.6050.605或或0.5320.532都都可作为方程可作为方程f(xf(x)=0)=0的一个近似解的一个近似解. .答案答案: :0.532(0.532(答案不唯一答案不唯一) )一、二分法的定义一、二分法的定义根据二分法的定义根据二分法的定义, ,思考下列问题思考下列问题: :探究探究1:1:右图中函数右图中函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a,b

5、a,b 上的上的零点是否可以用二分法求解零点是否可以用二分法求解? ?提示提示: :可以可以. .因为该函数因为该函数y=f(xy=f(x) )满足二分法求函数零点的两个条满足二分法求函数零点的两个条件件: :f(xf(x) )在在a,ba,b 上连续不断上连续不断; ;f(a)f(a)f(bf(b)0.)0.探究探究2:2:用二分法求函数的近似零点用二分法求函数的近似零点, ,采用什么方法能进一步缩采用什么方法能进一步缩小零点所在的区间小零点所在的区间? ?提示提示: :可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所可采用把区间一分为二即取中点的方法逐步缩小零点所在的区间在的区间. .探究

6、探究3:3:用二分法求函数的零点时用二分法求函数的零点时, ,决定二分法步骤结束的条件决定二分法步骤结束的条件是什么是什么? ?提示提示: :根据二分法的步骤和题目精确度的要求根据二分法的步骤和题目精确度的要求, ,若出现若出现f(cf(c)=0,)=0,则步骤结束则步骤结束, ,否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对否则需要零点所在区间的两个端点值之差的绝对值小于精确度值小于精确度时时, ,二分法的步骤结束二分法的步骤结束. .【探究总结【探究总结】1.1.对二分法定义的两点说明对二分法定义的两点说明(1)(1)二分法就是通过不断地将零点所在区间一分为二二分法就是通过不断地将零点所在区间

7、一分为二, ,逐步逼近逐步逼近零点的办法零点的办法, ,找到零点附近足够小的区间找到零点附近足够小的区间, ,根据所要求的精确度根据所要求的精确度, ,用此区间的某个数值近似地表示函数的零点用此区间的某个数值近似地表示函数的零点. .(2)(2)二分法是求函数零点的一种常用方法二分法是求函数零点的一种常用方法, ,是是“逐步逼近逐步逼近”的数的数学思想的应用学思想的应用. .2.2.精确度精确度与计算次数即等分区间次数的关系与计算次数即等分区间次数的关系精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定. .若若初始区间是初始区间是(a,b(a

8、,b) )，那么经过，那么经过n n次取中点后，区间的长度是次取中点后，区间的长度是 只要这个区间的长度小于精确度只要这个区间的长度小于精确度,那么这个区间内的那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系满足关系 即即 其中其中n n只取正整数只取正整数. .nab2，nab2 ，2abnlog，二、用二分法求方程的近似解二、用二分法求方程的近似解如图为函数如图为函数y=f(x),y=g(xy=f(x),y=g(x) )的图象的图象, ,根据根据图象回答下列问题图象回答下列问题: :探究探究1:1:方程方程

9、f(x)=g(xf(x)=g(x) )的解与函数的解与函数y=f(xy=f(x) )与与y=g(xy=g(x) )的交点坐标有何关系的交点坐标有何关系? ?提示提示: :方程方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的解就是函数的解就是函数y=f(xy=f(x) )与与y=g(xy=g(x) )图象交点的图象交点的横坐标横坐标. .探究探究2:2:用二分法求方程用二分法求方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在区间在区间a,ba,b 上的近似解的步上的近似解的步骤是什么骤是什么? ?提示提示: :构造构造: :令令F(x)=f(x)-g(xF(x)=f(x)-g(x););定区间定区间:

10、:确定区间确定区间a,ba,b,使使F(a)F(a)F(bF(b)0;)0;求解求解: :用二分法求用二分法求F(xF(x) )在区间在区间a,ba,b 上的零点近似值上的零点近似值. .【探究总结【探究总结】用二分法求方程近似解的四个关注点用二分法求方程近似解的四个关注点(1)(1)解的近似性解的近似性: :所得的解一般是近似解所得的解一般是近似解. .(2)(2)局限性局限性: :只能解决一部分函数的零点问题只能解决一部分函数的零点问题. .(3)(3)精确度问题精确度问题: :精确度决定二分法的步骤次数精确度决定二分法的步骤次数. .(4)(4)解的不唯一性解的不唯一性: :在最终的满足

11、精确度的区间内的任意一个值在最终的满足精确度的区间内的任意一个值都是满足要求的近似解都是满足要求的近似解, ,一般取左右端点值一般取左右端点值. .类型类型 一一 二分法的定义二分法的定义1.1.下列函数图象与下列函数图象与x x轴均有交点轴均有交点, ,但不宜用二分法求交点横坐标但不宜用二分法求交点横坐标的是的是( () )2.(20132.(2013攀枝花高一检测攀枝花高一检测) )用二分法求方程用二分法求方程f(xf(x)=0)=0在在(1,2)(1,2)内内近似解的过程中得近似解的过程中得f(1)0,f(1.25)0,f(1)0,f(1.25)0,则方程的根所则方程的根所在的区间为在的

12、区间为( () )A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2)C.(1.5,2) D.D.不能确定不能确定【解题指南【解题指南】1.1.观察所给函数的图象观察所给函数的图象, ,根据图象特点判断能否根据图象特点判断能否利用二分法求交点横坐标利用二分法求交点横坐标. .2.2.按照二分法判断零点的方法按照二分法判断零点的方法, ,看函数值在哪个区间内符号相看函数值在哪个区间内符号相反反. .【自主解答【自主解答】1.1.选选B.B.因因B B不满足二分法的条件不满足二分法的条件, ,在零点的两侧函在零点的两侧函数值都是正值数值都

13、是正值, ,故应选故应选B.B.2.2.选选A.A.由题意知由题意知f(1.25)f(1.25)f(1.5)0,f(1.5)0,所以方程的根在区间所以方程的根在区间(1.25,1.5)(1.25,1.5)内内, ,故选故选A.A.【规律总结【规律总结】1.1.二分法的局限性二分法的局限性(1)(1)二分法一次只能求一个零点二分法一次只能求一个零点. .(2)(2)在在(a,b(a,b) )内有零点时内有零点时,f(a),f(a)f(bf(b)0)0未必成立未必成立, ,而这样的零点而这样的零点不能用二分法求解不能用二分法求解. .(3)(3)二分法计算量较大二分法计算量较大, ,常要借助计算器

14、完成常要借助计算器完成. .2.2.利用二分法求函数零点必须满足的两个条件利用二分法求函数零点必须满足的两个条件(1)(1)图象图象: :函数图象在零点附近是连续不断的函数图象在零点附近是连续不断的. .(2)(2)函数值函数值: :函数在该点两侧的函数值符号相反函数在该点两侧的函数值符号相反. .【变式训练【变式训练】(2013(2013南阳高一检测南阳高一检测) )已知已知f(xf(x) )的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线, ,且在区间且在区间(a,b(a,b) )内有唯一零点内有唯一零点x x0 0, ,用二分法求得一系列含零点用二分法求得一系列含零点x x0 0的区

15、间的区间, ,这些区间满足这些区间满足:(a,b:(a,b) ) (a(a1 1,b,b1 1) ) (a(a2 2,b,b2 2) ) (a(ak k,b,bk k),),若若f(af(a)0,)0,则则f(bf(bk k) )的符号为的符号为( () )A.A.正正 B.B.负负C.C.非负非负 D.D.正、负、零均有可能正、负、零均有可能【解析【解析】选选A.f(aA.f(a)0,)0,根据二分法的定义根据二分法的定义, ,取到含零点取到含零点x x0 0的区间的区间(a(ak k,b,bk k) )时时, ,应有应有f(bf(bk k)0.)0.类型类型 二二 用二分法求方程的近似解或

16、求函数的零点用二分法求方程的近似解或求函数的零点1.1.在用二分法求方程的近似解时在用二分法求方程的近似解时, ,若初始区间是若初始区间是(1,5),(1,5),精确度精确度是是0.1,0.1,则对区间则对区间(1,5)(1,5)至多二等分的次数是至多二等分的次数是. .2.2.利用计算器或计算机用二分法求方程利用计算器或计算机用二分法求方程x x2 2-2x=1-2x=1的一个正值近的一个正值近似解似解( (精确度精确度0.1).0.1).【解题指南【解题指南】1.1.根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定确定. .2.2.先画出函数图象的简图先

17、画出函数图象的简图, ,得到零点所在的区间得到零点所在的区间(2,3),(2,3),进而用进而用二分法来解二分法来解. .【自主解答【自主解答】1.1.设需计算设需计算n n次次, ,则则n n满足满足 0.1,40.40.由于由于2 25 5=32,2=32,26 6=64,=64,故计算至多故计算至多6 6次就可以满足精确度要求次就可以满足精确度要求. .答案答案: :6 6n422.2.原方程即为原方程即为x x2 2-2x-1=0,-2x-1=0,设设f(xf(x)=x)=x2 2-2x-1,-2x-1,先画出函数图象的简先画出函数图象的简图图.(.(如图所示如图所示) )因为因为f(

18、2)=-10,f(2)=-10,所以在区间所以在区间(2,3)(2,3)内内, ,方程方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0有一解有一解, ,记为记为x x1 1. .取取2 2与与3 3的平均数的平均数2.5,2.5,因为因为f(2.5)=f(2.5)=0.250,0.250,所以所以x x1 1(2,2.5).(2,2.5).再取再取2 2与与2.52.5的平均数的平均数2.25,2.25,因为因为f(2.25)=-0.43750,f(2.25)=-0.43750,所以所以x x1 1(2.25,2.5).(2.25,2.5).如此继续下去如此继续下去, ,得到函数的近似解所在的区间

19、得到函数的近似解所在的区间, ,如表如表: :(a,b(a,b) )(a,b(a,b) )的中点的中点f(af(a) )f(bf(b) )(2,3)(2,3)2.52.5f(2)0f(2)0f(3)0f(2.5)0f(2.5)0(2,2.5)(2,2.5)2.252.25f(2)0f(2)0f(2.5)0f(2.25)0f(2.25)0(2.25,2.5)(2.25,2.5)2.3752.375f(2.25)0f(2.25)0f(2.5)0f(2.375)0f(2.375)0(2.375,2.5)(2.375,2.5)2.437 52.437 5f(2.375)0f(2.375)0f(2.5)

20、0f(2.437 5)0f(2.437 5)0(2.375,(2.375,2.437 5)2.437 5)2.406 252.406 25f(2.375)0f(2.375)0f(2.437 5)0f(2.406 25)0f(2.406 25)0abf()2由于由于|2.437 5-2.375|=0.062 50.1,|2.437 5-2.375|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取为所以原方程的近似解可取为2.437 5.2.437 5.【延伸探究【延伸探究】若把题若把题1 1中的中的“精确度是精确度是0.1”0.1”改为改为“精确度是精确度是0.001”,0.001”,结论如结论如

21、何何? ?【解析【解析】设需计算设需计算n n次次, ,则则n n满足满足 0.001,4000.4000.由于由于2 21111=2048,2=2048,21212=4096,=4096,故计算至多故计算至多1212次就可以满足精确度要求次就可以满足精确度要求. .n42【规律总结【规律总结】二分法求方程近似解的三个关注点二分法求方程近似解的三个关注点(1)(1)有根区间的判断原则有根区间的判断原则: :每一次取中点后每一次取中点后, ,若中点函数值为零若中点函数值为零, ,则这个中点就是方程的解则这个中点就是方程的解; ;若中点函数值不等于零若中点函数值不等于零, ,则下一个有则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间根区间是区间端点函数值异号的区间. .(2)(2)知二求一知二求一: :精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系系, ,可以根据其中两个量求得另一个可以根据其中两个量求得另一个. .(3)(3)列表法列表法: :二分法求解过程中二分法求解过程中, ,每次取中点求值可以采用列表每次取中点求值可以采用列表的方式的方式, ,使计算步数明确使计算步数明确, ,当区间长度小于精确度时当区间长度小于精确度时, ,即为计算即为计算的最