第二节方差及常见分布的期望方差

1、概率统计概率统计下页结束返回1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()()(kkkpxgXgEYEdxxfxgXgEYE)()()()( dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(1.离散型2.连续型3.Y= g（X）Y=g（X，Y）数学期望定义数学期望定义(复习复习)ijjijipyxgYXgEZE),(),()(下页概率统计概率统计下页结束返回数学期望性质数学期望性质(复习复习)性质1 E（C）= C (C为常数)性质2 E（CX）= C E（X） (C为常数)性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（

2、X）E（Y）特别 E（E（X）= E（X）下页概率统计概率统计下页结束返回4.2 方方 差差0. 方差概念的引入方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机变量 取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的。引例引例1：从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸如下： 甲：8，9，10，11，12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好？以甲 ，乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。 易得：E(甲) =E(乙)10。 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有件合

3、格，乙加工全合格。1081191210考虑 E(|X-E(X)|) E(X-E(X)2下页概率统计概率统计下页结束返回X8910P0.30.20.5Y8910P0.20.40.4引例引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出.X表示甲击表示甲击中环数，中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？表示乙击中环数，谁的射击水平高？5 . 0102 . 093 . 08)(XE4 .0104 .092 .08)(YE解：解：=9.2(环环)=9.2(环环) 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的，因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的

4、，但两人射击水平的稳定性是有差别的。但两人射击水平的稳定性是有差别的。76. 05 . 02 . 9102 . 02 . 993 . 02 . 98)(222XD624. 04 . 02 . 9104 . 02 . 992 . 02 . 98)(222YD 这表明乙的射击水平比较稳定。这表明乙的射击水平比较稳定。下页偏离均值偏离均值平方的均平方的均值值概率统计概率统计下页结束返回 定义 设设X是随机变量，如果是随机变量，如果EXE(X)2存在，则称存在，则称EXE（X）2为为X的方差，记为的方差，记为D(X)即1. 方差的概念方差的概念并称 为X的标准差或均方差记为(X) 。)(XDD(X)=

5、EXE（X）2其中PX=xk=pk k=1,2,3,.12)()(kkkpXExXD连续型随机变量 dxxfXExXD)()()(2离散型随机变量2.方差的计算方差的计算下页概率统计概率统计下页结束返回= E（X2）- E（X）222)()()(XEXEXD 3. 方差计算公式方差计算公式公式公式证明：D（X）= EX - E（X）2= EX2 - 2XE（X）+ E（X）2= E（X2）- 2E（X）E（X）+ E（X）2 例1设随机变量 X（0-1）分布，其概率分布为 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D（X） 解：因 E（X）= p， 而 E（X 2）= 12p + 0

6、2q = p于是 D（X）= E（X 2）- E（X）2 = p - p2 = p q。下页概率统计概率统计下页结束返回例例2 2设随机变量X具有概率密度0110(1)(1)0 xx dxxx dx22()( )E Xx f x dx,求D(X).所以61)()()(22XEXEXD1,10( )1,010,xxp xxx 其它)(xf()( )E Xxf x dx0122101(1)(1)6xx dxxx dx解：解：下页概率统计概率统计下页结束返回4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差1) 0 -1分布分布 概率分布为X 1 0pk p 1-pE（X）= 1 p + 0 (1-p)

7、 = p 2) 二项分布二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:D（X）= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq nknknkknkknkknkqpknknkqpCkpkXE000)!( !)(nknkknkknkqpknknnpqpknkn111)!()!1()!1()!()!1(!101)!1()!()!1(njjnjqpjnjnnp1)(nqpnp.nppqnkqpCkXPknkkn1, 2, 1, 0,下页概率统计概率统计下页结束返回 2) 二项分布二项分布 设随机变量XB（n，p），其概率分布为:D（X）=E（X2）- E（X）2所以 D（X）=E

8、（X2）- E（X）2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq)()1() 1()(2XEXXEXXXEXEnkknkknnpqpCkk0)1(nkknknpqpknknkk0)!( !) 1(nkknknpqpknknpnn222)!()!2()!2() 1(nppnnnpqppnnn222) 1()() 1(pqnkqpCkXPknkkn1, 2, 1, 0,下页概率统计概率统计下页结束返回4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差3) 泊松分布泊松分布 设随机变量X（），其概率分布为：，k = 0,1,2,3,010)!1(!)(kkkkekekkXE11)!1(k

9、kke)!:(0 xkkekx注意0)!(jjjeeeekkXPk!下页概率统计概率统计下页结束返回4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差3) 泊松分布泊松分布 设随机变量X（），其概率分布为：，k = 0,1,2,3,0D（X）=E（X2）- E（X）2) 1() 1()(2XEXXEXXXEXE0!) 1(kkekkk22eeekkXPk!因此, D（X）= E（X2）- E（X）2 =2 +-2 =下页概率统计概率统计下页结束返回22)()()(XEXEXD222)2()(31bababa12)(2ab4) 均匀分布均匀分布 设X Ua,b 概率密度为：其它, 0,1)(bxaa

10、bxfbadxabxdxxxfXE1)()(2ba badxabxdxxfxXE1)()(222322baba4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差下页概率统计概率统计下页结束返回00)()(xxxdedxxedxxxfXE1|000dxedxexexxx,0( )0 ,0 xexp xx)(xf0222)()(dxexdxxfxXExtx 令0221dtett222)3(122)1(2)(XD215) 指数分布指数分布 设X E() 概率密度为：4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差故，下页概率统计概率统计下页结束返回222)(21)(xexf，（x+) 令 dxexXEx2

11、22)(21)(得, txdtedtetXEtt222221)(21)(6) 正态分布正态分布 设XN（,2）概率密度为：4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差下页概率统计概率统计下页结束返回222)(21)(xexf，（x+)6) 正态分布正态分布 设XN（,2）概率密度为：4. 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差022222222222)(dtetdtetXDtt22220423()( )2yD Xy edydxxpxXD)()()(2)(xf得令tx,得令yt2,2下页概率统计概率统计下页结束返回5. 方差的性质方差的性质性质性质1 D（C）= 0性质性质2 D（CX）=

12、C 2 D（X） 性质性质3 D（X+C）= D（X），），D（aX+b）= a2 D（X） 性质性质4 若若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 D（X+Y）= D（X）+D（Y） 性质性质5 D（X）= 0 的充要条件是的充要条件是P X = E（X） =1 推广推广 若若X1,X2,Xn相互独立，则相互独立，则D(X1+X2+Xn) =niiXD1)(方差的性质方差的性质 （下设（下设a，b，C均为常数）均为常数）下页概率统计概率统计下页结束返回证明：证明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X)

13、(3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X)而而 EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y) = E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)由于由于X,Y相互独立，故有相互独立，故有E(XY)= E(X)E(Y) 从而有从而有 EXE(X)YE(Y)= 0 (4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) +

14、 2EX-E(X)Y-E(Y)，于是，于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y)练习：练习：若若X，Y相互独立，证明相互独立，证明 D（X-Y）= D（X）+D（Y）。）。下页概率统计概率统计下页结束返回D（X）=D（X1+X2+Xn）令i=1,2,n显然显然 Xi 均服从（均服从（0-1）分布）分布, 即即 E（Xi）= p, D(Xi) = pq （i =1，2，n）且且 X1，X2，Xn相互独立。相互独立。于是于是 E（X）= E（X1+X2+Xn） = E（X1）+E（X2）+E（Xn）= np=D（X1）+D（X2）+D（Xn）= npq解：解：则 X= X1+X2+Xn（注意：以上是

15、新方法的立意和核心！）例例3 3在在 n 重贝努里试验中，用重贝努里试验中，用 X 表示表示 n 次试验中事件次试验中事件A 发生的次发生的次数，记数，记P(A)= p，求求E(X)，D(X) 本题旨在给出一种新的解题方法本题旨在给出一种新的解题方法下页不出现次试验中第出现次试验中第AiAiXi, 0, 1概率统计概率统计下页结束返回例4., 1 , 0,，且相互独立设UYX解：. 10, 101),(101)(, 101)(yxyxfyyfxxfYX 100)(2xdyyxdx1022)2(2dxxx31 1010|),(|)(|) 1 (dxdyyxdxdyyxfyxYXE 101000)

16、()(yxdxxydydyyxdxxy0 xy 11. | )(|)2(|);(|) 1 (YXDYXE求下页概率统计概率统计下页结束返回22)()()()2(YXEYXEYXD因为因为)(2YXE dxdyyxfyx),(|210102|dxdyyx61)2(101022dxdyyxyx22)()()(YXEYXEYXD从而从而181)31(61210102)(dxdyyx下页概率统计概率统计下页结束返回小小 结结2 21/1/ 2 2(b-(b-a) )2 2/12/12npqpqD D（X X）1/1/ ( (a+b)/2+b)/2nppE E（X X）N N(,(,2 2) )E(E() )U U( (a,b),b)P(P() )B B（n,p)n,p)0 - 10 - 1分布分布D（X）=EX-E（X）212)()(kkkpXExXD22)()()(XEXEXD1.方差的定义与计算3.常见分布的期望与方差2.D(X)的性质()dxxfXExXD)()()(2下页概率统计概率统计下页结束返回练习1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4则 E(X2)=( ) 2.随机变量X服从参数为的指数分布，则 E(X+e-2X)= ( ). 3.随机变量X与Y独立，且XN（1，2），