函数的最值及导数

1、13.3.33.3.3函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数函数为常数函数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x)y=f(x)在在某个区间（某个区间（a,b)a,b)内可导，内可导，f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增f(x)f(x)在这个区间内在这个区间内单调递减单调递减复习复习3二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)f(x)在点在点x x0 0附近有定义，附近有定义

2、，如果对如果对X X0 0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x0 0),), 则则f(xf(x0 0) ) 是函数是函数f(x)f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y y极小值极小值= f(x= f(x0 0) )；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称为统称为极值极值. . 使函数取得极值的使函数取得极值的点点x x0 0称为称为极值点极值点4 三、求解函数极值的一般步骤：三、求解函数极值的一般步骤： （1 1）确定函数的定义域）确定函数的定义域 （2 2）求函数的导数）求函数的导数f(x)f(x) （3 3）求

3、方程）求方程f(x)=0f(x)=0的根的根 （4 4）用方程）用方程f(x)=0f(x)=0的根，顺次将函数的的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5 5）由）由f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的根左右的的根左右的符号，来判断符号，来判断f(x)f(x)在这个根处取极值的情在这个根处取极值的情况况左正右负极大值，左正右负极大值，左负右正极小值左负右正极小值5 但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我但是在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上哪个值最大，哪们往往关心函数在指定的区间上哪个值最大，哪

4、个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值。个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值。 那么，那么， 函数在什么条件下一定有最大、最小值？函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？他们与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函数概念，极值只是某个点的函数值与它值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并不意不意味味着它在函数的着它在函数的整个整个定义域内最大或最小。定义域内最大或最小。6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察区间观察区间a.ba.b上函数上函数y=f(x)y=

5、f(x)的图像的图像, ,你你能找出它的极大值、极小值吗？能找出它的极大值、极小值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现，观察图象，我们发现， 是是函数函数y=f(x)的极小值，的极小值， 是函数是函数y=f(x)的的 极大值。极大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x7探究探究 你能找出函数你能找出函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的最大值、最小值吗？上的最大值、最小值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)8xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6

6、结论结论 一般地，如果在区间一般地，如果在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图的图象是一条象是一条连续不断连续不断的曲线，那么它必有最大值和的曲线，那么它必有最大值和最小值。最小值。 所以，只要把函数所以，只要把函数y=f(x)y=f(x)的所有极值连同端点的函数值的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。9 f（x）=X （0 x2）0 （x=2）2 20 0注意注意1 1、给定函数的区间必须是、给定函数的区间必须是闭区间闭区间。 f(x)f(x)在开区在开区间上虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。间上

7、虽然连续，但不能保证有最大值和最小值。2 2、在闭区间上的每一点都必须、在闭区间上的每一点都必须连续连续，即在闭区间，即在闭区间上有间断点也不能保证上有间断点也不能保证f(x)f(x)有最大值和最小值。有最大值和最小值。10 x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg真真假假真真11“最值最值”与与“极值极值”的区别和联系的区别和联系（1 1）最值）最值”是是整体整体概念，是比较整个定义域内的概念，是比较整个定义域内的 函数值得出的，具有绝对性；而函数值得

8、出的，具有绝对性；而“极值极值”是个是个局部局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性具有相对性（2 2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是值是唯一唯一的；而极值的；而极值不唯一不唯一；（3 3）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的区间的端点端点处取得，有极值的未必有最值，有最处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只最值只要不在端点必定是极值要不在端点必定是极值（4 4）若连续函数在区间（）

9、若连续函数在区间（a,b)a,b)内只有内只有一个一个极值，极值，则极大值就是最大值，极小值就是最小值。则极大值就是最大值，极小值就是最小值。12x x0 0（0,20,2）2 2（2 2，3 3）3 30 0- -+ +4 41 1极小值极小值-4/3-4/3因此，函数因此，函数f(x)f(x)在区间在区间0,30,3内的最大值是内的最大值是4 4，最，最小值是小值是-4/3-4/3)(xf)(xf31( )4033f xxx例 求函数-4在 ，上的最大值与最小值.2( )4(2)(2)fxxxx解： 因为 -( )0 =fxxx令 得 =2 或 -2( ),( )xfxf x则在 0,3

10、上，当 变化时，的变化情况例题讲解例题讲解13 (2) 将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值最小值. 求函数求函数f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求函数求函数f(x)在在 (a,b)内的极值内的极值（极大值或极小值）；（极大值或极小值）；总结总结注意注意:1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .14练习练习1 1、求函数求函数f(

11、x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x)=2x- 4:f(x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1 （-1,2-1,2）2 2（2 2，4 4）4 40 0- -+ +8 83 3 故函数故函数f (x) f (x) 在区间在区间-1-1，44内的最大值是内的最大值是8 8，最小值是最小值是-1 -1 )(xf)(xf 极小值极小值-1-1152( )3-41=31)(1)fxxxxx解： （( )0 =fxxx1令 得 = 或 132 ,1(

12、 )03xfx对任意都有( ) ,1f x2函数在上单调递减383(=327 ( ) f xf x最大最小），833,27 所求值域为若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a , ba , b上单调递增上单调递增( (减减),),则则f(a)f(a)为最小为最小( (大大) )值值,f(b),f(b)为最大为最大( (小小) )值。值。161718一一. .是利用函数性质是利用函数性质二二. .是利用不等式是利用不等式三三. .是利用导数是利用导数 求函数最值的一般方法求函数最值的一般方法小结：小结：19知识要点：知识要点： 函数的最大与最小值函数的最大与最小值 设设y = f(x)y = f(x)是定义在区间是定义在区间a , ba , b上的函数上的函数,y ,y = f(x)= f(x)在在(a , b)(a , b)内有导数内有导数, ,求函数求函数y = f(x) y = f(x) 在区在区间间a , ba , b上的最大最小值上的最大最小值, ,可分两步进行可分两步进行: :求求y = f(x)y = f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内的极值内的极值; ; 将将y = f(x)y = f(x)在各极值点的极值与在各极值点的极值与f(a), f(b)f(a), f(b)比较，其中最大的一个为