导热微分方程

1、第三讲 导热微分方程前言o运用物理数学方法物理数学方法研究表示特定现象各物理量的关系。确定物理过程的量随空间时间的变化。o在铸造凝固过程中我们要得到温度随时间空间位置变化的情况。 数学物理方法： 限制在一定时间间隔内（微元时间间隔dt ），并在整个空间内只研究一个微元体（选取微元体的体积为 dv）。 从数学观点看，这些量是无穷小；物理观点看，这些量足够大，以致在所研究的范围内能忽略介质的不连续性，而作为连续介质处理。1. 直角坐标系下的导热微分方程o对所选取的微元体应用能量守恒定律： 在 dt 时间内，由于导热从外部进入微元体的热量以及微元体内热源所产生的热量等于微元体所包含的内能或焓的变化。

2、o焓（enthalpy）：H，系统热力学参数。定义：H=U+PV。是状态函数，即系统的状态一定，焓就是定值了。 1. 直角坐标系下的导热微分方程 按照能量守恒定律，微元体的热平衡式可以表示为下列形式： 导入微元体的总热流量+微元体内热源的生成热=微元体内能的增量+导出微元体的总热流量导入微元体的总热量：o由Fourier导热定律，在 dt 时间内 x 方向通过x=x表面流入微元体的热流量为:()xxTdQq dydz dtdydz dtx ()yyTdQq dxdz dtdxdz dty同理：()zzTdQq dxdy dtdxdy dtzxyzdQdQdQ微元体内热源的生成热：o若单位时间单

3、位体积物体中内热源的发热率为 则在dt 时间内，微元体的发热量为：QQdxdydz dt导出微元体的总热量：o在dt 时间内，x方向通过x = x+dx 表面流出微元体的热流量dQx+dx，可按Taylor级数展开如下：x dxy dyz dzdQdQdQxx dxxdQdQdQdxx同理：yy dyydQdQdQdyyzz dzzdQdQdQdzz微元体内能的增量： 微元体内能的增量:pTdQcdxdydz dtt微元体的热平衡式:x dxy dyz dzdQdQdQdQQ dxdydz dtx dxy dyz dzdQdQdQ+化简后的热平衡式：pTTTTcQtxxyyzzpTTQct为拉

4、普拉斯(laplance)算子2. 其他坐标系的导热微分方程 在工程实际中往往涉及柱面或球面对称的导热问题，边界条件给定在一个表面上，此表面具有坐标保持不变的性质。 通过坐标变换，可以将直角坐标下的导热微分方程变换成相应坐标系的导热微分方程。圆柱坐标系：o设圆柱坐标系下任一点P（r，z），该点在直角坐标系中的投影关系得出直角坐标与柱坐标的变换关系如下： x= r cos r=(x2+y2)1/2 y= r sin = tan-1(y/x) z= z柱坐标系下导热微分方程的一般形式：211pTTTTTcQtrrrrrzz球坐标系：222111sinsinsinpTTTTcrtrrrQ3.直角坐标

5、系下一般方程的特殊形式： 原因： 由于导热微分方程的一般形式存在非线性，往往难以直接进行数值求解。但在某些特殊条件下，可将上述问题简化为同问题所建立的条件相一致的最简单形式，以便进行数值求解。3.直角坐标系下一般方程的特殊形式： 无内热源、常物性条件下导热微分方程的简化形式： 稳态导热： 一维： 二维： 三维：220Tx22220TTxy2222220TTTxyz3.直角坐标系下一般方程的特殊形式： 无内热源、常物性条件下导热微分方程的简化形式： 非稳态导热： 一维： 二维： 三维：2222221TTTTxyzt22221TTTxyt221TTxto导温系数或热扩散系数（Thermal dif

6、fusivity）: 2/pmsc说明:（1）表征温度变化的速度，即表征物体内部温度趋于一致的能力。是物体热惯性的度量。（2）与物质的性质有关。例如：液体和气体具有较大的热惯性，它们的导温系数就小。金属的热扩散系数比型砂大几十倍，铸件在金属型中要比砂型中冷却的快。4.导热过程的定解条件 定解条件：定解条件： 使微分方程得到特解的附加条件。使微分方程得到特解的附加条件。 对于导热微分方程，通过数学方法原则上可以获得方程的通解。然而，对于实际工程问题而言，还要求得出既满足导热微分方程式，又满足根据具体问题规定的一些附加条件下的特解。o非稳态导热问题的定解条件： 初始条件： 初始时刻温度分布。 边界

7、条件： 物体边界上的温度或换热情况。o稳态导热问题的定解条件： 没有初始条件，仅有边界条件。边界条件：（1）第一类边界条件： 给定了边界上的温度值。 最简单的形式：给定边界温度保持不变，即 Tw = 常数。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定温度为边界上空间位置与时间的函数，即：, , ,wTf x y z t边界条件：（2）第二类边界条件： 给定边界上的热流密度值。 最简单的形式：给定边界上的热流密度保持定值，即 qw= 常数。当qw= 0，绝热边界条件。 对于非稳态导热问题，这类边界条件给定温度为边界上空间位置与时间的函数，即：, , ,wwTqf x y z tn 边界条件：（3）第三

8、类边界条件： 给定边界上物体与周围流体间的表面换热系数 hc ，及周围流体的温度 Tf 。 此类边界条件可表示为：cwfwTh TTn边界条件：（4）辐射换热边界条件： 当考虑物体表面的热辐射时，辐射换热边界条件：44wfwTTTnTf为已知环境温度Tw为物体表面温度边界条件：o线性化处理，使得该类边界条件具有与对流换热边界条件类似的形式，即rwfwThTTn22rwfwfhTTTThr称为辐射换热系数边界条件：o在实际导热问题中，物体表面经常同时存在着对流和辐射两种换热，其边界条件为：crwfwThhTTn边界条件：（5）金属/铸型界面换热条件：1121iwwwThTTn1：为铸件材料的导热

9、系数w1，w2：分别代表铸件与铸型表面Tw1，Tw2：分别代表铸件和铸型的表面温度hi：为金属/铸型界面换热系数，可以通过经验数值或假设一定的分布函数形式处理o最简单的处理方式为： 假设金属/铸型界面处于理想接触状态，此时其边界条件的表达式为：1212wwTTnn 同样适合于不同铸型材料间接触界面换热条件的处理。初始条件：o非稳态问题的初始条件： （1）为 t =0时刻所研究的空间上所有位置的温度分布，可以是一个常数，也可以是空间的函数。 （2）给定液态金属的初始温度为浇注温度初始温度为浇注温度：假设铸型瞬时充满并在充型过程中无热交换。 （3）通过求解充型过程并考虑充型过程中的传热而得到铸件充

10、型结束后的初始温度分布充型结束后的初始温度分布。5.凝固过程结晶潜热的处理o在金属凝固过程中，伴随着结晶潜热的释放。对结晶潜热的处理，可将其视为具有内热源的导热问题。o金属在单位时间内释放的结晶潜热：ssffTLLtTtQL金属的结晶潜热；金属的密度；fs温度为T时的质量固相率，是温度的函数o将上式带入直角坐标系下的导热微分方程，得到：spfTTTTcLTtxxyyzz 处理结晶潜热项的关键：处理固相率随温度变化的函数。取决于合金的种类及其凝固特性。o合金的固相率用非平衡条件下的杠杆定律（Scheil方程）来确定：011( )1kmsmLTTf TTT Tm合金熔点；TL合金的液相线；k0合金的平衡溶质分配系数。 由于合金的固相率式温度的非线性函数，给数值计算带来困难，在凝固过程数值模拟中，采用一下方法处理凝固结晶潜热的析出： 1. 热焓法：采用热焓变换处理方程。 2. 温度回升法：把金属凝固时释放的潜热用于补偿由于热传导所带走的热量，即补偿了由传热所引起的温度的降低，从而使单元自身温度作相应的回升。3.