2牛顿-莱布尼兹公式

1、2 牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式 用定义来计算定积分一般是很困难的，用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿下面将要介绍的牛顿莱布尼茨公式不莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。联系了起来。( )f x , a b()F x( )f x , a b( )( )( )baf x dxF bF a ( )( )( )( )bbaaf x dxF xF bF a 定理定理9.1 若函数若函数在在上连续，上连续，则，则在在上可积，且上可积，且这即为牛顿这即为牛顿

2、莱布尼茨公式，也常记为莱布尼茨公式，也常记为。 且存在原函数且存在原函数证：证： 由定积分定义，任给由定积分定义，任给0，要证存在，要证存在, 0当当| |T 时，有时，有1|( ) ( )( )|niiifxF bF a 事实上，对于事实上，对于的任一分割的任一分割 01, ,nTax axb 在每个小区间在每个小区间1,iixx 上对上对( )F x使用拉格朗日中值使用拉格朗日中值定理，定理，1(,),1,2, ,iiixxin 使得：使得：11( )( ) ()()niiiF bF aF xF x , a b则分别存在则分别存在11()()(2)nniiiiiiFxfx 因为因为在上连续

3、，从而一致连续，所以对上述上连续，从而一致连续，所以对上述，存在，存在0 0, 当当 , xxa b 、且且|xx 时，有：时，有：|()()|f xf xba 于是，当于是，当|ixT 时，任取时，任取1,iiixx 便有便有|ii ，这就证得，这就证得 , a bf1|( ) ( )( )|niiifxF bF a 1|()()|niiiiffx 1|()()|niiiiffx 1niixba 所以所以f上可积，且有公式成立上可积，且有公式成立在在b, a注注1 ：在应用牛顿：在应用牛顿-莱布尼茨公式时，莱布尼茨公式时，( )F x可由积分可由积分法求得。法求得。注注2： 定理条件尚可削减

4、，例如：定理条件尚可削减，例如：1）对F的要求可削减为：在上连续，在内可导，且( )( ), , F xf x xa b 2）对f的要求可削减为：在上可积。这时（2）式仍成立，且由f上可积，在b, ab, ab, ab, a（2）式右边当|0T 时的极限就是( ),baf x dx 而左边恒为一常数。例例1 1 利用利用牛顿牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分：莱布尼茨公式计算下列定积分：1)bnax dx 22)(0)badxabx 2203)4xx dx （n为正整数）1|1nbaxn 111()1nnban 1|bax 11ab222144(4)2xx dxxx dx 231(4)3xC 232018(4) |33x 例例2 2 利用定积分求极限：111lim()122nJnnn 解： 把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分。为此作如下变形：111lim1nininJn 不难看出，其中的和式是函数1( )1f xx 在区间0,1上的一个积分和（这里所取的是等分分割），11, ,1,2,iiiiixinnnnn 所以：1100ln2ln(1)|1dxJxx 注：也可以