2022.4北京市西城区高三数学一模试卷 答案

1、西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷 数学答案及评分参考 2022.4一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）B（3）D（4）C（5）A （6）B（7）C（8）D（9）B（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）（13）若，则；若，则.（14） （15）三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（）在中，因为,所以由正弦定理可得因为，所以.所以. 在中，所以，所以 . 6分（）选条件：因为在中，所以.因为，所以.设边上高线的长为，则.13分选条件：不唯一. 选条件：由余弦定理得 ，所以.所以为等腰三角形，. 设边上高线的长为，

2、则.13分（17）（共14分）解：（）证明：在矩形中，.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以因为平面，平面，所以平面.又因为平面，平面，.所以平面平面.因为平面，所以平面. 4分（）因为平面，平面，平面，所以，.又因为是矩形，所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量为，则 即令，则，.于是.取平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.10分（）令线段的长为，则，.所以，因为点到平面的距离.所以，即. 解得或（舍）.所以线段的长为.14分（18）（共13分）解：（）设选取的乘客在积水潭站上车、在牛街站下车为事件，由已知，在积水潭站上车的

3、乘客有人，其中在牛街站下车的乘客有人，所以. 3分（）由题意可知，；.随机变量的分布列为所以随机变量的数学期望为.10分（）.13分（19）（共15分） 解：（）由题设，解得，所以椭圆的方程为. 4分（）由 得 ，由，得.设，则，.所以点的横坐标，纵坐标.所以直线的方程为.令，则点的纵坐标所以 .因为，所以点、点在原点两侧.因为，所以，所以.又因为， ，所以，解得，所以.15分（20）（共15分）解：（）若，则，.在处，.所以曲线在处的切线方程为. 4分令，在区间上，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.与的情况如下： 极大值 所以在上有唯一极大值点. 9分（），令，则.若，则，在上是增

4、函数.因为，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.若，此时的定义域为.当时，在区间上是减函数；当时，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是.15分（21）（共15分）解：（），. 5分（）若，则由可知，所以或，且公差.以下设.由，两式作差得，因为，所以.由，两式作差得，因为，所以.因此，.若，则等差数列是递减数列，由为中的项，因此，解得，由且公差，所以或，由，为中的项，且，这与等差数列递减矛盾，因此，不成立.综上，且公差.10分（）因为公差，所以，即是递增数列.若，因为,所以，则，且，由为中的项，这与等差数列是递增数列矛盾.因此，又由（），故.由,知，且中存在一项为正整数，取最小的正整数项.则由，使得且，.因此，解得，又，故.因为是递增数列，（）若，则，此时.因为，令，有，且.所