参数的区间估计

1、数理统计数理统计 数理统计数理统计 对于概念和理论方面的内容，从高到低分别用“理解”、“了解”、“知道”三级来表述；对于方法，运算和能力方面的内容，从高到低分别用“熟练掌握”、“掌握”、“能”（或“会”）三级来表述。学习要求理解区间估计的概念熟练掌握求单个正态总体的均值和方差的置信区间掌握求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间 第四节第四节 区间估计区间估计数理统计数理统计 数理统计数理统计 本节内容本节内容置信区间定义置信区间定义置信区间的求法置信区间的求法单侧置信区间单侧置信区间数理统计数理统计 数理统计数理统计 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算它是用

2、样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷 .数理统计数理统计 数理统计数理统计 我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含参数真值相信它包含参数真值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的是用概率来度量的 ，称为称

3、为置信度置信度或或置信水平置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一个是一个 很小的正数很小的正数.数理统计数理统计 数理统计数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.置信区间置信区间. 称区间称区间 为为 的的 1置信水平为置信水平为 的的( , ) 例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等.1根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出由两个统计量组成的区间们求出由两个统计量组成的区间 ，使，使( , ) 1P 数理统计数理统计 数理统计数理统计 ),

4、(P 11.1.不要把不要把理解为理解为落在区间落在区间的概率为的概率为1 1- -. .是统计量，即是统计量，即 是随机区间，而是随机区间，而是一个客观存是一个客观存),(在的未知数在的未知数. .所以确切的理解是随机区间所以确切的理解是随机区间 包含包含),(内的概率为内的概率为1 1- -，这种理解不够确切这种理解不够确切. .因为因为 和和 都都数理统计数理统计 数理统计数理统计 可靠度与精度是一对矛盾，一般是可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度的条件下尽可能提高精度精度.2. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间内，就是说，概

5、率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. ( , ) P 3. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 数理统计数理统计 数理统计数理统计 教材已经给出了概率分布的上侧分位数教材已经给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义，为便于应用，这里我们（分位点）的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下再简要介绍一下.在求置信区间时，要查表求分位数在求置信区间时，要查表求分位数. 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP的点的

6、点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 数理统计数理统计 数理统计数理统计 例如例如:645. 105. 0u96. 1025. 0u 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 标准正态分布的标准正态分布的上上 分位数分位数 u 数理统计数理统计 数理统计数理统计 例如例如:348. 9)3(2025. 0 216. 0)3(2975. 0 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 分布的上分布的

7、上 分位数分位数 )(2n 2 自由度为自由度为n的的数理统计数理统计 数理统计数理统计 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x F分布的上分布的上 分分位数位数 ),(21nnF 自由度为自由度为n1,n2的的数理统计数理统计 数理统计数理统计 一、一、 置信区间定义置信区间定义 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )为为 的置信区间的置信区间. 1和和 分别称为置

8、信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 若由样本若由样本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 数理统计数理统计 数理统计数理统计 N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为 , ,X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明确问题明确问题,是求什么是求什么参数的置信区间参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.解解 寻找一个含待估参数寻找一个含待估参数的随机变量的函数的随机变量的函数 ，要求其

9、分布为已知要求其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.二、置信区间的求法二、置信区间的求法数理统计数理统计 数理统计数理统计 122unXunXP从中解得从中解得,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 1|2unXP使使数理统计数理统计 数理统计数理统计 ,22unXunX也可简记为也可简记为2()Xun 于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 数理统计数理统计 数理统计数理统计 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下的一般步骤如下:1. 明确问

10、题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T 的函数的函数 U(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. 数理统计数理统计 数理统计数理统计 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据U(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b（一般为分位数）（一般为分位数） ，使得，使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 对对“aU(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得

11、到如下形式: 1P 即即 1 于是于是 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. ( , ) 数理统计数理统计 数理统计数理统计 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数U(T, ), 且且U(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要否已知，是怎样的类型，至关重要.数理统计数理统计 数理统计数理统计 在概率密度为单峰且对称的情形，当在概率密度为单峰

12、且对称的情形，当a =-b时求得的时求得的置信区间的长度为最短置信区间的长度为最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950. 需要指出的是需要指出的是，给定样本，给定置信水平，给定样本，给定置信水平 ，置信区间也置信区间也不是唯一不是唯一的的. .数理统计数理统计 数理统计数理统计 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布分布，F分布分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间的置信区间. .2 我们可以得到未知参数的的任何我们可以得到未知参数的的任何置信水平小置信水平小于于 1 的的置信区间，并且置信区间

13、，并且置信水平越高，相应的置信水平越高，相应的置置信区间信区间平均长度平均长度越长越长. .)(22n)(221n)(xfx)(2nX 数理统计数理统计 数理统计数理统计 三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时这时, 可将置信上限取为可将置信上限取为+ ，而，而只着眼于置信下

14、限只着眼于置信下限 ，这样求得的，这样求得的置信区间叫置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.数理统计数理统计 数理统计数理统计 于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 1定义定义12(,)n XXX 1P ,) 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信的单侧置信下限下限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 数理统计数理统计 满足满足若由样本若由样本X

15、1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 112(,)n XXX 1P (, 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信的单侧置信上限上限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 数理统计数理统计 设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值求灯泡寿命均值 的的置信水平为置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例2 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250

16、，1280 ) 1(ntnSX方差方差 未知未知2 解解 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 , X数理统计数理统计 数理统计数理统计 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位点，确定分位点) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间为为 1,) 1(nSntX 数理统计数理统计 数理统计数理统计 将样本值代入得将样本值代入得 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限是的单侧置信下限是1065小时小时 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信下限单侧置信下限为为 1即即nSntX)

17、 1( 数理统计数理统计 数理统计数理统计 单个总体单个总体 的情况的情况两个总体两个总体 的情况的情况课堂练习课堂练习小结小结 布置作业布置作业2( ,)N 211(,),N 222(,)N 数理统计数理统计 数理统计数理统计 一、单个总体一、单个总体 的情况的情况2( ,)N 2( ,),XN 并设并设 为来自总体的为来自总体的 1,nXX样本样本 ,2,X S分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差 .均值均值 的置信区间的置信区间1.12为已知为已知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 22(,)XuXunn2()Xun 或或) 1 , 0( N

18、nX数理统计数理统计 数理统计数理统计 22为未知为未知可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 1 此分布不依赖于此分布不依赖于任何未知参数任何未知参数2|(1)1XPtnSn 由由22(1),(1)SSXtnXtnnn2(1)SXtnn或或) 1(ntnSX数理统计数理统计 数理统计数理统计 例例1 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正

19、态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体均值体均值 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里10.95,20.025,115,n0.025(15)2.1315.t 1611503.75 ,16iixx 16211()6.2022 .15iisxx 数理统计数理统计 数理统计数理统计 2(1)sxtnn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为 0.95即即(500.4,507.1)数理统计数理统计 数理统计数理统计 方差方差 的置信区间的置信区间22.2221222(1)(1)(1)1nSP nn 由由可得到可得到 的的置信

20、水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2222212(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn 2) 1() 1(222nSn数理统计数理统计 数理统计数理统计 22122(1)(1)(1)1nSPnn 由由可得到标准差可得到标准差 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 2221211(,)(1)(1)nSnSnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 例例2 有一大批糖果有一大批糖果.现从中随机地取现从中随机地取 16 袋袋 , 称称得重量得重量(以克计以克计)如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 5

21、06 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总试求总体标准差体标准差 的置信水平的置信水平0.95为的置信区间为的置信区间.解解 这里这里20.025,120.975,115,n20.025(15)27.488, 20.975(15)6.262. 16211()6.2022 .15iisxx 数理统计数理统计 数理统计数理统计 于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为0.952221211(,)(1)(1)nSnSnn 即即(4.58,9.60).数理统计数理统计 数理统计数理统计 二、两个总体二、两个总体

22、的情况的情况211(,),N 222(,)N 设已给定置信水平为设已给定置信水平为 , 并设并设 1 112,nXXX是来自第一个总体的样本是来自第一个总体的样本 , 212,nY YY是来自第二是来自第二个总体的样本个总体的样本 ,这两个样本相互独立这两个样本相互独立 .且设且设 分别分别,X Y为第一、二个总体的样本均值为第一、二个总体的样本均值 , 2212,SS为第一、二为第一、二个总体的样本方差个总体的样本方差 . 两个总体均值差两个总体均值差 的置信区间的置信区间12 1.12212,为已知为已知数理统计数理统计 数理统计数理统计 2111(,),XN n 2222(,)YN n

23、因为因为 相互独立相互独立 ,X Y所以所以 相互独立相互独立 . ,X Y故故22121212(,)XYN nn12221212()()(0,1)XYNnn 或或数理统计数理统计 数理统计数理统计 2212212()XYunn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 12 222212,为未知为未知2121212()()(2)11XYt nnSnn 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 2121211(2)XYtnnSnn于是得到于是得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间的置信区间为为1 12

24、 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 例例3 为比较为比较 I , 两种型号步枪子弹的枪口两种型号步枪子弹的枪口速度速度 ,随机地取随机地取 I 型子弹型子弹 10 发发 ,得到枪口速度的平得到枪口速度的平 均值均值 为为 标准差标准差 随随机地取机地取 型子弹型子弹 20 发发 ,得到枪口速度的平均值为得到枪口速度的平均值为 标准差标准差 假设两总假设两总体都可认为近似地服从正态分布体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认且生产过程可认为方差相等为方差相等 .求两总体均值差求两总体均值差 的的置信水平为置信水平为 0.9

25、5 的置信区间的置信区间.1500(),xm s 211.10(),sm s 2496(),xm s 221.20().sm s 12 数理统计数理统计 数理统计数理统计 解解122121211(2)xxtnnsnn 依题意依题意 , 可认为分别来自两总体的样本是可认为分别来自两总体的样本是相互独立的相互独立的.又因为由假设两总体的又因为由假设两总体的方差相等方差相等 ,但但数数值未知值未知 ,故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为的置信区间的置信区间为为12 1 其中其中2,ss 222112212(1)(1).2nsnssnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 这里这里1

26、21220.025,10 ,20,228,nnnn0.025(28)2.048.t 1.1688.s 故两总体均值差故两总体均值差 的的置信水平为置信水平为0.95 的置信区的置信区间间为为12 1500,x 2496,x 122121211(2)xxtnnsnn(40.93)即即 (3.07, 4.93) .数理统计数理统计 数理统计数理统计 两个总体方差比两个总体方差比 的置信区间的置信区间22122.( 为已知为已知 )12, 22122122212(1,1)SSFnn221212122122212(1,1)(1,1)1SSP FnnFnn 由由即即2221112222212221212

27、111(1,1)(1,1)SSPS FnnS Fnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 可得到可得到 的的置信水平为置信水平为 的置信区间为的置信区间为1 2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 数理统计数理统计 数理统计数理统计 例例4 研究由机器研究由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内生产的钢管的内径径 , 随机地抽取机器随机地抽取机器 A生产的钢管生产的钢管18只只 , 测得样本测得样本方差方差 随机地取机器随机地取机器 B 生产的钢管生产的钢管13只只 ,测得样本方差测得样本方差 设两样本相互设两样本相互独立独立 ,

28、 且设由机器且设由机器 A 和机器和机器 B 生产的钢管的内径生产的钢管的内径分别服从正态分布分别服从正态分布 这里这里 (i =1,2) 均未知均未知 .试求方差比试求方差比 的的置信水平为置信水平为 0.90 的置信区间的置信区间.2210.34();smm 2,ii 2220.29().smm 221122,N N 2212数理统计数理统计 数理统计数理统计 这里这里0.10,20.05,120.95,0.05(17,12)2.59,F 即即 (0.45 , 2.79) .22112218,0.34,13,0.29.nsns解解0.950.0511(17,12).(12,17)2.38FF故两总体方差比故两总体方差比 的的置信水平为置信水平为0.90 的置信区的置信区间间为为2212222111222221222121211()(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn 数理统