笔算开方公式

1、笔算开方公式（竖式）今日入定冥想时突然想起，中考前数学老师教过的手算开平方（下面简称“手开方”）公式。只是当时仅仅作为求二次方程判别式的应急公式，并没有仔 细琢磨其正确性以及严格证明。 既然今日想起，不妨钻研一下，却竟然得出了证 明。以下为完整过程，请广大数学爱好者斧正！&32 25506J30 3630 36 “商崩，即开方计算结果1.手开方公式举例:被除数”，即被开方数轩除数“即该步除数”与该步讨 的乘积开方余项，即高位开方余 （6-4=2）与低一步被开方数 （55）之和上式意为65536的开平方为256。手开方过程类似于除法计算。为了方便表 述，以下仍称类似位置的数为“被除数”、“除数”

2、、“商”。以 65536为例, 其具体计算过程如下：请注明本文岀自：将被开方数（为了形象，表述成“被除数”，此例中即为65536） 从个位往高位每两位一断写成6,55,35的形式，为了方便表述，以下每一个“,” 称为一步。Step2:从高位开始计算开方。例如第一步为 6，由于22=469=3，因此只 能商2（这就是和除法不同的地方，“除数”和“商”的计算位必须相同）。于是将2写在根号上方，计算开方余项。即高位余项加一步低位，此例中，即为高位 余项2和低位一步55,余项即为255。Step3:将Step2得到的第一步开方得数2乘以20（原理在后面证明）作为第 二步除数的高位。即本步除数是 4x（

3、四十几）。按照要求，本步的商必须是x。因 为 45X 5=225255a转载请注明本文出自 应该写成：J=O,J”0则正整数M开方计算得到的就是Ao根据手开方公式的思路,2 5 61 oo角+ 0卩 + 偏200a2yl 0000“ +10加；4-2000 + 200“尹口 + 20吗笛41 OOOG&452 5520x 100tj3 +10 Jl00 +尿 + 2000坷 + 200 + 2加呦2 25 2000吧 +100扌50630 3620x(loon, +1叫)&( + 20%術30 362(Xk旳十詔0不失一般性，对A进行推广。前面A表示正整数，现在A可以表示任意实数。因为计算开平

4、方问题上，对于数值，正负是无所谓的。因此不妨假设A为任意正/二 V 您-lO xlOC其中為匕0,9且 axe Z+)实数。即可记 =D(即用科学计数法表示，例如可以表示为2 2x 102=(1+3 x +4X +8X +7xx 102)/ nX2那么片沼=厲1旷K10ni-0丿对于任意的都可表示成加X 10败的形式，其中。已1J0)且“ER十rz托、2令0=篇=则A=jQXlt则对十任意开平方问题*只需 1 rnQ；求Q即可要证明手开方公式的正确性*只需证明可以表示成手开方公式各余项之和即可口转载请注明本文出自Q =（如+山 X 104+2 X1M+tznX 10-n）3+10-3+10 4 - + -+W3ff ）+2 工 10%,%w-乳和f=a； +（ 102 *+2的创 X 13）+（ 10宀+ 2（2o（a2 X 10-2+2（11 切 x 10-（1口）卄十（10一阶必 +2V10-叽、t-0=诸+（20 X 釦+创）X 10l-ai X 10-5（20 X （10的+闵）+化）X切 x i（2+（20 X 丫（气 xlO1） + 堀）X10- 爲 X10）如此，每一步的开方余项都用该步的“除数”和“商”表示出来， 因此，手开方 公式是精确的