高三数学课件：第二章第六节对数函数

1、第六节 对数函数1.1.对数的定义对数的定义(1)(1)对数的定义对数的定义如果如果_，那么数，那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数，记作的对数，记作_，其中，其中_叫做对数的底数，叫做对数的底数，_叫做真数叫做真数. .a ax x= =N(aN(a0 0且且a1)a1)x=x=logloga aN Na aN N(2)(2)两种常见对数两种常见对数对数形式对数形式特点特点记法记法常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_1010lgNlgNlnNlnNe e【即时应用即时应用】(1)(1)若若2 2x x=5,=5,则则x=_,x=_,若若loglog3 3

2、x=2,x=2,则则x=_.x=_.(2)(2)将将loglog2 23 3用常用对数表示为用常用对数表示为_；用自然对数表示为；用自然对数表示为_._.答案：答案：(1)log(1)log2 25 35 32 2(2)(2)lg3lg2ln3ln22.2.对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质性质性质logloga a1=_,1=_,logloga aa a=_,=_, =_(a=_(a0 0且且a a1)1) 换底换底公式公式_运算运算性质性质如果如果a a0 0，且，且a1a1，M M0,N0,N0 0，那么：，那么：logloga a(MN)=_,(MN)=_,

3、=_ =_，logloga aM Mn n=nlog=nloga aM(nR).M(nR).0 01 1alog NaN Nlogloga ab b= (a= (a、c c均大于零且不等于均大于零且不等于1 1，b b0)0)cclog blog alogloga aM+logM+loga aN NaMlogNlogloga aM-logM-loga aN N【即时应用即时应用】(1)(1)若若a a0,a1,x0,a1,xy y0,nN0,nN* *, ,判断下列各式的正误判断下列各式的正误( (请在括请在括号内填号内填“”“”或或“”).”).(log(loga ax)x)n n=log=

4、loga ax xn n ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa1log xlogx aaalog xxloglog yynaalog xlogxnnnaalog xlog x(2) (2) ，则，则x=_.x=_.(3)(3)计算计算 _._.312log (log x)03log 423log 3 log 4( 3)【解析解析】(1)(1)是错误的，如是错误的，如(log(log2 24)4)3 3=8log=8log2 24 43 3=log=log2 22 26 6=6=6；是正确的，是正确的， =-log=-loga ax x-1-1=log

5、=loga ax x；是错误的，如是错误的，如是正确的，是正确的，是正确的，设是正确的，设 , ,则则(a(an n) )y y=x=xn n, ,即即 ,y=log ,y=loga ax,x,即即 =log=loga ax.x.a1logx222log 442log1log 22 ；1nnaaa1logxlog xlog xn；nnalog xynynyynnxaaannalog x(2)(2)由由 , ,得得 ,x= .,x= .(3)(3)原式原式= =2+2=4.= =2+2=4.答案：答案：(1)(1) (2) (3)4 (2) (3)4312log (log x)012log x1

6、1232log 2lg3 lg23lg2 lg3123.3.对数函数的定义、图象与性质对数函数的定义、图象与性质(1)(1)对数函数的定义对数函数的定义一般地，函数一般地，函数y= _(ay= _(a0,0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数. .logloga ax x(2)(2)对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质图图象象a1a10a10a0,a1)(x-1)+2(a0,a1)的图象恒过一定点是的图象恒过一定点是_._.(3)(3)设设P=logP=log2 23,Q=log3,Q=log3 32,R=log2,R=log2 2(log(log3 32),2),则则P P、Q Q

7、、R R的大小关系为的大小关系为_._.(4)(4)函数函数y=logy=log2 2(3(3x x+1)+1)的值域为的值域为_._.【解析解析】(1)(1)由对数函数的定义可知是对数函数由对数函数的定义可知是对数函数. .(2)(2)依题意，当依题意，当x=2x=2时，函数时，函数y=logy=loga a(x-1)+2(a0,a1)(x-1)+2(a0,a1)的值为的值为2 2，所以其图象恒过定点所以其图象恒过定点(2,2).(2,2).(3)P=log(3)P=log2 23 3loglog2 22=1,2=1,即即P P1,0=log1,0=log3 31 1Q=logQ=log3

8、32 2loglog3 33=13=1，即，即0 0Q Q1.1.00loglog3 32 21,log1,log2 2(log(log3 32)2)loglog2 21=0,1=0,即即R R0,R0,RQ QP.P.(4)3(4)3x x+1+11 1，函数，函数y=logy=log2 2x x在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增, ,yyloglog2 21=0.1=0.答案：答案：(1)(1)否否 否否 否否 否否 否否 是是(2)(2(2)(2，2) (3)R2) (3)RQ QP (4)(0,+)P (4)(0,+)4.4.反函数反函数指数函数指数函数y=y=a ax x(

9、a(a00且且a1)a1)与对数函数与对数函数 _(a0_(a0且且a1)a1)互互为反函数，它们的图象关于直线为反函数，它们的图象关于直线_对称对称. .y=y=logloga ax xy=xy=x【即时应用即时应用】(1)(1)思考：指数函数和对数函数互为反函数，它们的定义域和思考：指数函数和对数函数互为反函数，它们的定义域和值域有什么关系？值域有什么关系？提示：提示：指数函数和对数函数互为反函数，它们的定义域和值域指数函数和对数函数互为反函数，它们的定义域和值域发生了交换，即原函数的定义域与反函数的值域相同，原函数发生了交换，即原函数的定义域与反函数的值域相同，原函数的值域与反函数的定义

10、域相同的值域与反函数的定义域相同. .(2)(2)设函数设函数f(xf(x)=log)=log2 2x x的反函数为的反函数为y=y=g(xg(x) )，若，若g( )= g( )= ，则则a a等于等于_._.【解析解析】由于由于f(xf(x)=log)=log2 2x x的反函数为的反函数为y=y=g(xg(x)=2)=2x x，又，又g( )= ,g( )= ,即：即： = =2= =2-2-2, =-2, =-2,解得：解得：a= .a= .答案：答案：1a1141a1141a 12141a11212热点考向热点考向 1 1 对数的运算对数的运算【方法点睛方法点睛】对数式的化简与求值的

11、常用思路对数式的化简与求值的常用思路(1)(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. .(2)(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. .【提醒提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化. . 【例例1 1

12、】(1)(1)计算：计算：(2)(2)已知已知logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,求求a a2m+n2m+n；(3)(2012(3)(2012三明模拟三明模拟) )已知函数已知函数f(x)=f(x)=求证：求证：f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)=)=若若 =1,f(-b)= =1,f(-b)= ，求，求f(af(a) )的值的值. .2lg3lg9 1 (lg 27lg8lg 1 000)lg0.3 lg1.2 ；21xlog.1x1212xxf();1x xabf()1ab12【解题指南解题指南】(1)(1)按对数式求值的常用思路进行计算；按对数

13、式求值的常用思路进行计算；(2)(2)将已将已知对数式化为指数式，并将知对数式化为指数式，并将a a2m+n2m+n转化为转化为(a(am m) )2 2a an n，从而计算求，从而计算求解；解；(3)(3)根据对数运算性质，先从左到右证明，再根据此结根据对数运算性质，先从左到右证明，再根据此结论计算求值论计算求值. .【规范解答规范解答】(1)(1)原式原式= =(2)log(2)loga a2=2=m,am,am m=2,=2,又又logloga a3=n,a3=n,an n=3,=3,a a2m+n2m+n=a=a2m2ma an n=(a=(am m) )2 2a an n=2=22

14、 23=12.3=12.233lg32lg3 1 ( lg33lg2)22(lg3 1) (lg32lg2 1) 3(1 lg3)lg32lg2 132.(lg3 1)lg32lg2 12 (3)(3)f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2) )f(xf(x1 1)+f(x)+f(x2 2)=)=1212122221221121x1x1xxx xlogloglog,1x1x1xxx x1212122121212xx1xx1x xf()logxx1x x11x x1212212121xxx xlog,1xxx x1212xxf().1x x由的结论知由的结论知f(a)+f(b)= =1,f

15、(a)+f(b)= =1,又又f(b)=f(b)= = f(a)=1-f(b)=1+ = .f(a)=1-f(b)=1+ = .abf()1ab221b1bloglog1b1b 21b1logfb,1b2 1232【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求logloga a1212的值的值. .【解析解析】logloga a2=m,log2=m,loga a3=n,3=n,logloga a12=log12=loga a4+log4+loga a3=2log3=2loga a2+log2+loga a3=2m+n.3=2m+n.【反思反思感悟感悟】1.1.在对数运算中

16、，首先对底数、真数进行变形，在对数运算中，首先对底数、真数进行变形，然后再利用对数的运算性质进行化简，若出现不同的然后再利用对数的运算性质进行化简，若出现不同的“底底”，应利用换底公式换成相同的应利用换底公式换成相同的“底底”. .2.2.在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确地用好对在等比数列的计算中常涉及到对数的运算，要正确地用好对数的相关知识进行计算数的相关知识进行计算. .【变式备选变式备选】(1)(1)计算：计算： (2)(2)计算：计算：(log(log3 32+log2+log9 92)(log2)(log4 43+log3+log8 83).3).(3)(3)若数列若数列

17、aan n 为各项均为正项的等比数列，且为各项均为正项的等比数列，且a a1212与与a a2 0012 001为为一元二次方程一元二次方程x x2 2+mx+8=0+mx+8=0的两根，求：的两根，求：loglog2 2a a1 1+log+log2 2a a2 2+log+log2 2a a2 0122 012的值的值. .27214log 10log 2323527loglog4(3 3)7.3【解析解析】(1)(1) = = = = =27214log 10log 2323527loglog4(3 3)7.323234log 1032353loglog 2(3 )2334335(log

18、 3log 3) log (1032) 531(1) log 5.44 (2)(2)原式原式= =lg2lg2lg3lg3() ()lg3lg9lg4lg8lg2lg2lg3lg33lg2 5lg35() ().lg32lg32lg23lg22lg3 6lg24(3)(3)由已知得由已知得a a1212a a2 0012 001=8=8，且由等比数列的性质得，且由等比数列的性质得，a a1 1a a2 2a a3 3a a2 0122 012=(a=(a1 1a a2 0122 012) )1 0061 006=(a=(a1212a a2 0012 001) )1 0061 006=8=81

19、0061 006, ,原式原式=log=log2 2(a(a1 1a a2 2a a3 3a a2 0122 012)=)=1 006=1 0063=3 018.3=3 018.1 0062log 8热点考向热点考向 2 2 对数函数的图象及其应用对数函数的图象及其应用【方法点睛方法点睛】用对数函数的图象可求解的问题的类型用对数函数的图象可求解的问题的类型(1)(1)对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性在求解其单调性( (单调区间单调区间) )、值域、值域( (最值最值) )、零点时，常利用图、零点时，常利用图象

20、数形结合求解象数形结合求解. .(2)(2)一些不可解的对数型方程、不等式以及大小比较问题的求一些不可解的对数型方程、不等式以及大小比较问题的求解解, ,常转化为图象问题，利用数形结合法求解常转化为图象问题，利用数形结合法求解. . 【例例2 2】(2013(2013厦门模拟厦门模拟) )已知已知abab，函数函数f(xf(x)=()=(x-a)(x-bx-a)(x-b) )的图象如图所的图象如图所示，则函数示，则函数g(xg(x)=)=logloga a(x+b(x+b) )的图象的图象可能为可能为( )( )【解题指南解题指南】先根据二次函数先根据二次函数f(xf(x) )的图象判断的图象

21、判断a,ba,b的取值范围，的取值范围，再根据再根据a,ba,b的取值范围及图象的平移法则识别的取值范围及图象的平移法则识别g(xg(x) )的图象的图象. .【规范解答规范解答】选选B.B.由二次函数的图象及由二次函数的图象及abab知知 0b10b1，g(xg(x)=)=logloga a(x+b(x+b) )是增函数，且是由是增函数，且是由y=y=logloga ax x的图象向左平移的图象向左平移b b个单位得到，故个单位得到，故B B正确正确. .【变式训练变式训练】(1)(1)函数函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的单调递减区间为的单调递减区间为_，单调递增区间为单调

22、递增区间为_._.【解析解析】作出函数作出函数y=logy=log2 2x x的图象，将的图象，将其关于其关于y y轴对称得到函数轴对称得到函数y=logy=log2 2|x|x|的图的图象，再将图象向左平移象，再将图象向左平移1 1个单位长度就得个单位长度就得到函数到函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的图象的图象( (如图所示如图所示).).由图知，函数由图知，函数y=logy=log2 2|x+1|x+1|的递减区间为的递减区间为(-,-1),(-,-1),递增区间为递增区间为(-1(-1，+).+).答案：答案：(-,-1) (-1,+)(-,-1) (-1,+)(2)(2

23、)若不等式若不等式(x-1)(x-1)2 2logloga ax x对于对于x(1,2)x(1,2)恒成立，求实数恒成立，求实数a a的取的取值范围值范围. .【解析解析】设设f f1 1(x)=(x-1)(x)=(x-1)2 2,f,f2 2(x)=(x)=logloga ax x, ,要使当要使当x(1,2)x(1,2)时，不等式时，不等式(x-1)(x-1)2 2logloga ax x恒成立，只需恒成立，只需f f1 1(x)=(x-1)(x)=(x-1)2 2在在(1(1，2)2)上的图象在上的图象在f f2 2(x)=(x)=logloga ax x图象的下方即可图象的下方即可.

24、.当当0 0a a1 1时，显然不成立；时，显然不成立；当当a a1 1时，如图，时，如图，要使要使f f1 1(x)=(x-1)(x)=(x-1)2 2在在(1(1，2)2)上的图象在上的图象在f f2 2(x)=(x)=logloga ax x的图象下方，的图象下方，只需只需f f1 1(2)f(2)f2 2(2),(2),即即(2-1)(2-1)2 2logloga a2,log2,loga a21,21,11a2,a2,即实数即实数a a的取值范围是的取值范围是(1(1，2.2.热点考向热点考向 3 3 对数函数性质的应用对数函数性质的应用【方法点睛方法点睛】1.1.利用对数函数的性质

25、比较对数值大小的方法利用对数函数的性质比较对数值大小的方法利用对数函数的性质，可直接比较同底数对数值的大小，而对利用对数函数的性质，可直接比较同底数对数值的大小，而对于既不同底数，又不同真数的对数值的比较，则引入中间量于既不同底数，又不同真数的对数值的比较，则引入中间量( (如如-1-1，0 0，1 1等等) )利用对数函数性质进行比较利用对数函数性质进行比较. .2.2.利用对数函数性质求解对数型函数性质问题的方法利用对数函数性质求解对数型函数性质问题的方法利用对数函数的性质求与对数函数有关的对数型函数的定义域、利用对数函数的性质求与对数函数有关的对数型函数的定义域、值域值域( (最值最值)

26、 )和单调性、奇偶性问题和单调性、奇偶性问题, ,求解方法与一般函数这些性求解方法与一般函数这些性质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域，所质的求解方法一致，但要注意三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1 1的大小关系；三是的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. . 【例例3 3】(1)(1)如果如果 那么那么( )( )( (A)yA)yx x1 (B)x1 (B)xy y1 1(C)1(C)1x xy (D)1y (D)1y yx

27、x(2)(2)函数函数y= y= 在区间在区间22，44上的最小值是上的最小值是_._.1122log xlog y0,21142(log x)logx5(3)(3)已知函数已知函数f(xf(x)= )= 求函数求函数f(xf(x) )的定义域；的定义域；若函数若函数f(xf(x) )的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性和单调性. .2x2a1log.x3a1【解题指南解题指南】(1)(1)利用单调性求解；利用单调性求解；(2)(2)利用换元法转化为二次函数最值求解；利用换元法转化为二次函数最值求解；(3)(3)利用真数大于利用真数大于0

28、 0构建不等式，但要注意分类讨论，先由构建不等式，但要注意分类讨论，先由条件求出条件求出a a的值，再讨论奇偶性和单调性的值，再讨论奇偶性和单调性. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.因为因为y= y= 为为(0,+)(0,+)上的减函数，上的减函数，所以所以x xy y1.1.(2)y= (2)y= 令令t= (2x4)t= (2x4)，则则-1t- -1t- 且且y=ty=t2 2-t+5,-t+5,当当t=- t=- 时，时，y yminmin= + +5= .= + +5= .答案：答案：12log x2112211( log x)log x5.22121log x2121

29、21412234234(3)(3) x-(3a-1)x-(-2a-1)x-(3a-1)x-(-2a-1)0,0,所以，所以，当当3a-1-2a-1,3a-1-2a-1,即即a0a0时，定义域为时，定义域为(-,-2a-1)(3a-1,(-,-2a-1)(3a-1,+)+)；当；当3a-13a-1-2a-1,-2a-1,即即a a0 0时，定义域为时，定义域为(-,3a-1)(-,3a-1)(-2a-1,+).(-2a-1,+).x2a10 x3a1函数函数f(xf(x) )的定义域关于坐标原点对称，当且仅当的定义域关于坐标原点对称，当且仅当-2a-1=-(3a-1)-2a-1=-(3a-1)a

30、=2,a=2,此时，此时，f(xf(x)= )= 对于定义域对于定义域D=(-,-5)(5,+)D=(-,-5)(5,+)内任意内任意x,-xDx,-xD, ,所以所以f(xf(x) )为奇函数；为奇函数；2x5log.x5 222x5x5x5fxlogloglogf x ,x5x5x5 当当x(5,+),x(5,+),对任意对任意5 5x x1 1x x2 2, ,有有f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)=而而(x(x1 1+5)(x+5)(x2 2-5)-(x-5)-(x1 1-5)(x-5)(x2 2+5)+5)=10(x=10(x2 2-x-x1 1) )0,0,所以所以

31、f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2) )0,0,f(xf(x) )在在(5,+)(5,+)内单调递减；内单调递减；由于由于f(xf(x) )为奇函数，所以为奇函数，所以f(xf(x) )在在(-,-5)(-,-5)内单调递减内单调递减. .12212x5x5log,x5x5【互动探究互动探究】在本例在本例(3)(3)的条件下将的条件下将f(xf(x) )的底数改为的底数改为m(mm(m0 0且且m1)m1)，求函数，求函数f(xf(x) )在在10,1510,15上的值域上的值域. .【解析解析】由由(3)(3)求解得，当求解得，当m m1 1时时, ,函数函数f(xf(x)= )=

32、 在在(5(5，+)+)内单调递减，所以在内单调递减，所以在10,1510,15上亦单调递减，上亦单调递减，f(15)f(x)f(10).f(15)f(x)f(10).即：即：loglogm m2f(x)log2f(x)logm m3,3,值域为值域为loglogm m2,log2,logm m3.3.同理当同理当0m01a1时，为使函数时，为使函数f(xf(x)=log)=loga a(ax(ax2 2-x)-x)在区间在区间2,42,4上是增函数，上是增函数，需需g(xg(x)=ax)=ax2 2-x-x在区间在区间2,42,4上是增函数，上是增函数，故应满足故应满足 ，即，即 ，解得解得a a ， 122ag 20122a4a2012又又a1a1，a1a1；当当0a10a1a1时，函数时，函数f(xf(x)=log)=loga a(ax(ax2 2-x)-x)在区间在区间2,