课题：含有绝对值的不等式(2)

1、课题：含有绝对值的不等式（2）教学目的：1进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；2培养学生的化归（或转化）的数学思想*3提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力4培养创新意识，提高学生的数学素质+教学重点：不等式性质、定理的综合运用教学难点：常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式+定理：|a|-|b|_|ab|勻a|b|注意：1左边可以“加强”同样成

2、立，即|a|-|b|aba|b|2这个不等式俗称"三角不等式”一三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3°a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”推论1：1a!'aan1<|a!|a?|a.|推论2：|a|b|勻ab|勻a|b|二、讲解范例：例1已知a、b、c、d都是实数，且a2+b2=r2,c2+d2=R2,(r>0,R>0)22rR求证：|ac+bd|w证明：（综合法a、/Iac+bd|w2b、c、d都是实数，2222acbdIac|+|bd|<22a2b2c2d2a2+b2=r2,c2+d2=R2,22r+RIac+b

3、d|w221例2设f(x)=x2+px+q,求证：If(1)I、IfI、IfI中至少有一个不小于2说明：此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明+111证明：(反证法)假设原命题不成立，则If(1)Iv，If(2)Iv,(3)I<,If(1)I+2|f(2)I+f(3)I<2由f(1)=1+p+q,f(2)=4+2p+q,f(3)=9+3p+q得f(1)+f(3)2f(2)=2If(1)I+2|f(2)|+|f(3)I>If(1)+f(3)2f(2)I=2这与矛盾，故假设不成立，求证为真*例3求证：|a|b|_|ab|,1+|a|+|b|1+|a+b|证

4、法一：(分析法)要证明|a|b|乜吐1+|a|+|b|1+|a+b|只需证(|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b|(1+|a|+|b|)只需证|a|+|b|+(|a|+|b|)|a+b|>|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需证|a|+|b|>|a+b|显然上式成立所以原不等式成立.证法二：(利用函数的单调性)x构造函数f(x)=(x>0)1+x“、X1f(x)=1-1+x1+x函数f(x)在0,+s)是增函数/f(|a|+|b|)=_,f(|a+b|)=_1+|a|+|b|1+|a+b|而|a|+|b|a+b|,.f(|a|+|b|)>f(|a+b|)即|

5、a|b|>|ab|1|a|b|1|ab|例4已知x2y2=1,求证：一丫1a2玄y-ax：-：1'a2说明：根据已知条件x2+y2=1的形式特点，可以进行三角代换，即设x=cos：,y=sin：,转化为三角形式的不等式解：设x=cos，y=sin,则|y-ax|=|sin：-acos：a2|sin(：-)|(其中tanb=a)/|sin(、；_0)|w11a2|sin(：-巧1a2|y-ax1a2即一、1a2乞yax乞.1a2三、课堂练习：1若|xa|<m,|ya|<n,则下列不等式一定成立的是(D)A.Ixy|<2mB.|xy|<2nC|xy|<n

6、mD.|xy|<n+m2.已知函数f(x)=2x+1，对任意的正数e，使得|f(X1)f(X2)|<e成立的一个充分非必要条件是(C)gEgA|X1X2|<eB|X1X2|<C.|X1X2|<D.|X1X2|>233四、小结：通过本节学习，要求大家进一步认识证明不等式的方法的多样性，并能灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明”五、课后作业：1若b,0,0,则型+理>J面+丽卜v|b|V|a|2解不等式|x24x+2|>20<xw7-17x>43求证:(1)|x+1|+|x-1|>2;(2

7、) |x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|>6;(3) 2|x+2|+|x+1|>1(当且仅当x=-2时,“=”号成立卜证明:(1)|x+1|+|x-1|>|(x+1)-(x-1)|=2(2)|x+1|+|x-1|>|(x+1)-(x-1)|=2+当且仅当(x+1)(x-1)W0,即-1wxw1时“=”成立；又|x+2|+|x-2|>|(x+2)-(x-2)|=4,当且仅当(x+2)(x-2)w0,即-2wxw2时“=”号成立.Ix+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|>6,1<x<1当且仅当丿-即-1wxw1时“=”号成立*厂2兰x

8、兰2(3)|x+2|+|x+1|>|(x+2)-(x+1)|=1,当且仅当(x+2)(x+1)w0,即-2wxw-1时“=”号成立；又|x+2|>0,当且仅当x=-2时，“=”号成立，2|x+2|+|x+1|>1,当x=-2时，“=”号成立.；24已知f(x)=.1x,当|a|工|b|时,求证:(1)Ia+b|<|f(a)+f(b)|;(2)|a-b|>|f(a)-f(b)|.证明：(1)|a+b|w|a|+|b|<,1a.1b2=|f(可+f(b)|+|a-b|=-b2a2由得：|a+b|<da1b2,22(1_+a)_(1_+b)J1+a2+J1十

9、b2't,'1+a271+b2=|f(a)_f(b)a2b25求证:>|a|-|b|(azb)a2-b2a2-b2证明:当|a|w|b|时,|a|-|b|w0,>|a|-|b|;b当|a|>|b|时,又az0,从而|a|>0,有|1<1=a-|-|>-1a-(|b|>0)综上所述有：b2>-|b|a2-b2a2-b2=|a|-b2>|a|-|b|(azb).b2b|-6若|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证：|xyzxyz|<1+xy+yz+zx证明：所证不等式=|x+y+z+xyz|<|l

10、+xy+yz+zx|22：=(x+y+z+xyz)<(1+xy+yz+zx)：=(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+l)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-l)<0二:(x+l)(y+l)(z+i):(x-i)(y-i)(z-i):<0222二(x-l)(y-l)(z-l)<0由于|x|<1,|y|<1,|z|<1，从而x<1,y<1,z<1,于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)<0成立，所以原不等式成立.aa1+a+b|1+<a7已知a,bR求证:1bb证明:原不等式u|a+b|(1+|a|)(1+|b|)w|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)=|a+b|(1+|b|)+|a+b|a|(1+|b|)w|a|(1+|b|)+|a|(1+|b|)|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|a+b|(1+|a|)|a+b|+|a+b|b|<|a|+2|ab|+|b|+|b|a+b|+|ab|a+b|二|a+b|<|a|+|b|+2|ab|+|ab|a+b|.由于|a+b|w|a|+|b|成立,显然最后一个不等式成立，从而原不等式成立.以上证明是最基本的方法，但过程