微分方程要点ppt课件

1、微分方程主要结论一览一、一阶微分方程),(, 0),(yxfyyyxF显式隐式 dxxfygdyygxfdxdy可分离变量、1 也可能是原方程之解。注意：若00 yyygxyfdxdy齐次方程、2uxuyxuyxyu,令 xdxuufduufuxu代入原方程，得类似还有yxgdydxyxv/可令次齐次函数慨念补： k yxfttytxfk,f满足若可微函数易得次齐次函数为二元则称kfyxkff yf xyx,程可化为可分离变量的方、3 cbyaxucbyaxfdxdy令、1 2221112cybxacybxafdxdy、2222121,cybxaubbaa令若00 ,2221112121cyb

2、xacybxabbaa先解若00,yx得唯一解XYgdXdYyYyxXx ,00原方程化为再令）全微分方程（恰当方程、 4xNyMdyyxNdxyxM , 0,其中dyyxNdxyxMyxdFyxF, , 满足必存在cyxF, 可得解：积分，得或选折线 , 000yxyxyxcdyyxNdxyxMyyxx00,0, 0)()( , 为全微分方程使若存在dyNdxMyx为积分因子。则称 ),( yxxxyyNNMMNxMy , 得由)( xyyxNMMN或xyyxyxyx1,1,1,1,1 222222：常用积分因子有凑、重新组合等。常用方法有：拆项、拼一阶线性微分方程、 5)()( ),()(

3、 yQxyPdydxxQyxPdxdy或标准形式)( )()(CdxexQeydxxPdxxP公式：或常数变易法) 1 , 0()()( :)(1yxQyxPdxdyBernoulli 方程贝努利)()1 ()()1 ( 1xQzxPdxdzyz令：化为上面的标准形式、特殊代换方程二、可降阶的高阶微分 . : 1次积分、nxfynpxfdxdppyyxfy, , , 2 ：则原方程化为一阶方程令、yyxfyyyyxF , , 0, 其中可求解形式为一般dydppypyyyfy , , 3则令、. , 再求解则原方程化为pyfdydpp）解的结构（以二阶为例三、高阶线性微分方程 20)()( 1

4、)()()( yxqyxpyxfyxqyxpy齐次：非齐次 的解也是则的解，是解的结构：、若)()()(),(221121xyCxyCxyxy无关）常数（此时称两者线性、若)(/ )(21xyxy )()(2211xyCxyCY的通解为则 的通解是则的通解，是的特解，是、若yYyxYxy)()(分别是、若)(),()()(1xyxfxfxfik 的特解是则的特解)()()(), 2 , 1()()()(21xyxyxykixfyxqyxpykk 之解的两解之差亦是、任何有类似结论、二阶以上的方程也程求解四、二阶变系数线性方0)()( yxqyxpy、齐次方程代入原方程，得是一特解，令若观测得)

5、()()()(121xuxyxyxy)()(,1)(2211)(2112xyCxyCYdxeyyxydxxp得齐次方程通解：)()()(xfyxqyxpy 、非齐次方程)()(2211xyCxyCY求得齐次方程的通解若已知或通过上述方法)()()()(2211xyxCxyxCy变易常数求特解，令)(022112211xfCyCyCyCy代入非齐次方程，得21211221)()(,)()(yyyyWdxWxfyxCdxWxfyxC其中22112211)()(yxCyxCyCyCy非齐次通解为五、常系数线性微分0 qyypy方程、二阶齐次线性微分02qprr特征方程为rxexCCYrrr)(,21

6、21通解为）、特征根xrxreCeCYrr212121,通解为）、特征根)sincos(,21xCxCeYirx通解为）、特征根01)1(1)(ypypypynnnn程、阶常系数齐次方0111nnnnprprpr特征方程，通解有以下结论：根据特征方程根的情况;,xriiieCr给出一项）、单实根; )sincos(,21xCxCeix给出两项）、有一对单复根)(,121kkrxxCxCCer给出项）、有重实根，给出项）、有一对重复根isin)(cos)(121121xxBxBBxxCxCCekkkkx)(xfqyypy 、非齐次方程求其特解的构造，用待定系数法再根据非齐次项先求齐次方程的通解，

7、)(xfxmkmxexQxyxPexf)()()(）、是二重特征根若，是特征单根；若，不是特征根；若其中,0k同次的多项式是与)()(xPxQmmsin)(cos)()(xxPxxPexfnlx）、sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk是特征根若，不是特征根；若其中iik,0nlmxRxRmm,max)(, )()2()1(为两次多项式，四）求其特解（见（数变易法为其他情形，可试用常）、若)(xf六、欧拉方程)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn，记令kkktdtdDxtex,ln,ykDDDyxkk) 1() 1()(则数微分方程求解可将欧拉方程化为常系

8、程组七、常系数线性微分方、一阶方程组1)()(10101010tgyddtdydxcdtdxctfybdtdybxadtdxa. 求得另一未知函数数代入原方程组，即可最后将求得的函再解此一元微分方程，的二阶微分方程，得到只含一个未知函数知函数及其导数，从方程组中消去一个未（只含两个变量）、高阶线性微分方程组2 )()(01100110tgydydxcxcxctfybybxaxaxammnnnmmnnn则方程组简化为引进算子 ,kkkdtdD )()(tgyDSxDRtfyDQxDP.更高阶微分方程求解数的则得到只含一个未知函再用消元法或克莱蒙法.组类似求解含两个以上变量的方程 .,110类似如DSDRDQaDaDaDPnn