热传导第一章(11-05)

1、热热 传传 导导 教师教师 王迅王迅参考文献 Conduction of Heat in SolidsH.S.Carslou and J.C.Jaeger,Oxford Univ. Press, 1959 热传导热传导张洪济，高等教育出版社 热传导热传导M.N.奥齐西克，高等教育出版社 热传导理论与方法热传导理论与方法林瑞泰编著，天津大学出版社 数学物理方法数学物理方法梁昆淼编，高等教育出版社成绩成绩：平时成绩试卷成绩平时成绩平时成绩： 报告（课上讲的+查相关资料） 作业 课堂表现第一章第一章 导热的理论基础导热的理论基础热传导热传导1 1、定义：、定义：指温度不同的物体各部分或温度不同的两物

2、体间直接接触时，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。2 2、物质属性：、物质属性：可以在固体、液体、气体中发生。3、导热的特点导热的特点： (a) 必须有温差； (b) 物体直接接触，不发生宏观的相对位移； (c) 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量。纯导热只发生在固体中一、一、温度场与热流场温度场与热流场 温度场温度场：某一瞬间，空间（或物体）所有温度点分布的总称。 温度温度是一种无方向的量，即标量标量。 温度场是空间坐标和时间的函数。,zrf t在直角坐标系中可表示为 t=f(x, y, z, t)第一节第一节 傅立叶定律傅立叶定律温度场分类（以直

3、角坐标系为例）温度场分类（以直角坐标系为例）：（1）按时间划分按时间划分稳态温度场：物体各点温度不随时间改变。非稳态温度场：温度分布随时间改变。（2）随空间变化随空间变化 一维、二维和三维稳态温度场。如x,y,zf, tt0 x,y,z,ftt , 0 x,y,zft 热流场热流场：热流在某一瞬间的空间中的分布。 热流热流或热流密度热流密度是一种既有方向又有大小的矢量矢量。 kqjqiqqzyx在直角坐标中二、等温面和温度梯度等温面和温度梯度等温面等温面：物体内同一瞬间温度相同的点的集合所构成的面称为等温面。等温线：在二维情况下，等温面为一等温线。 特点特点：（1）温度不同的等温面或等温线彼此

4、不能相交；（2）在连续的温度场中，等温面或等温线不会中止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上。（3）物体中等温线较密的的地方说明温度的变化率大，导热热流也较大。温度变化率与温度梯度温度变化率与温度梯度 ： 温度变化率：温度变化率：在物体内某一点处，沿空间某一方向s的温度的变化率，或称为温度场沿该方向的方向导数。温度沿某一方向s的变化率在数学上可以用该方向上温度对坐标的偏导数来表示，即ststs0lim温度梯度温度梯度：对于确定的空间点，在空间各方向上最大温度变化率称为该点的梯度。系统中某一点所在的等温面的法线方向是最大温度变化方向。该方向的温度变化率即为温度梯度，

5、记为gradt。温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征温度梯度是用以反映温度场在空间的变化特征的物理量的物理量。等温面和热流方向示意图温度梯度在直角坐标系中的表示kz tjy tix tn tntlimn tgradt0n n注：温度梯度是向温度梯度是向量；正方向朝着温量；正方向朝着温度增加的方向度增加的方向。三、傅立叶定律三、傅立叶定律 它是一种实验定律。1822年法国数学家Joseph Fourier提出的。 物理意义物理意义：（1）物体某处的温度梯度是引起物体内部及物体之间热量传递的根本原因。（2）热流密度q q是矢量。热流方向总是与等温面（线）垂直，并指向温度降低的方向。grandt

6、nntq适用条件适用条件：（1）傅立叶定律适用于有、无内热源，常物性或物性随温度变化，任何几何形状，（非）稳态，各种物态（固、液、气）。（2）适用于特定的时间、特定的地点的局部值。（3）适用于各向同性的介质。（4）不适用于非傅立叶导热的情形。在直角坐标系中，投射表达式为xtqxytqyztqz四、傅立叶定律的局限性四、傅立叶定律的局限性傅立叶定律的假定傅立叶定律的假定导热研究中的连续性假定导热研究中的连续性假定。只要所要研究物体的几何尺寸远大于分子间的平均自由行程这种连续性假定总成立。如一个大气压、室温的空气分子的平均自由行程约为0.07mm.傅立叶定律适用的前提是热扰动传播速度傅立叶定律适用

7、的前提是热扰动传播速度是无限大是无限大 。 对一般工程问题，非稳态导热的热流密度不很高，过程作用的时间足够长、过程发生的尺寸范围足够大，傅立叶导热定律完全适用。傅立叶定律不适用的情况傅立叶定律不适用的情况：导热物体的温度接近绝对零度时（温度效应温度效应）。如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s。当过程的作用时间与材料的固有时间尺度相接近时（时间效应时间效应）。热传播速度无限大假设不成立。当过程发生的空间尺度极小，与微观粒子的平均行程相接近时（空间效应空间效应）。连续性假定不成立。所谓微机电系统微机电系统是指几何尺寸在1mm到1mm之间的期间所组成的系统。新技术对传统傅立叶导热提出挑战

8、新技术对传统傅立叶导热提出挑战时间时间空间空间 其中：a导温系数，c热传播速度。o称为驰豫时间，它反映导热系统趋近新的平衡状态的速度，其数量级与分子二次碰撞的时间间隔相同。它是材料本身固有的时间尺度。 对一般金属其值在10121013 s左右t-qqca2o2/ac傅立叶定律的修正式傅立叶定律的修正式： 讨论讨论：（1）对于稳态导热，热流密度矢量不随时间变化，传播相（左边第一项）的影响消失，傅立叶定律精确成立。（2）在通常情况下，热扩散率比热传播速度的平方约小10个数量级 ，传播项的影响可忽略不计，此时傅立叶定律仍然适用。t-qqca20)(2ca（3）在一些超常情况下，如深冷（c很小）、急速

9、加热或冷却、超高热负荷等（ 很大），才必须考虑热传播项的影响。 例如在1.4K的液氮中，热传播速度c仅为19m/s，传播项的影响不可忽略不计。qt-qqca2第二节第二节 导热系数导热系数一、导热系数导热系数 导热系数的定义定义由傅立叶定律给出： 导热系数在数值上等于单位温度降度（即1/m）下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力大小的宏观物理量。导热系数是表征物质导热能力大小的宏观物理量。qgrad t1 1、物态的影响、物态的影响 一般地，固体的导热固体的导热系数最大，液体次之，系数最大，液体次之，气体最低气体最低。这一特性也适用于同一物质的不同集态。导热

10、系数的特点：导热系数的特点：(300 K), (101.3kPa)常温常圧W/ m Kk物质导热系数气体气体氢氢氦氦甲甲烷烷空气空气二氧化碳二氧化碳0.1810.1530.0340.0260.017液体液体水银水银水水氨氨乙二醇乙二醇甲醇甲醇润滑油润滑油8.520.6100.4790.2580.2080.086固体固体( (純金純金属属) )银银铜铜金金铝铝镁镁镍镍铁铁白金白金铅铅钛钛42739831523715690.580.371.435.221.9固体固体( (合金合金) )黄铜黄铜（Cu-40Zn）焊锡焊锡碳素钢碳素钢（S35C）不锈钢不锈钢(SUS304)钛合金钛合金(Ti-6Al-

11、4V)12346.543.016.07.60固体固体( (非金非金属属) )蓝宝石蓝宝石冰冰（273K）冰冰石英玻璃石英玻璃钠钠玻璃玻璃丙烯酸（类）树脂丙烯酸（类）树脂46.02.201.381.030.21可由理论精确地预测导热系数的情况很少，通常使用的导热系数是由实验得出导热系数是由实验得出。 2、固体、固体 固体中的热量传递是自由电子的迁移和晶格振动固体中的热量传递是自由电子的迁移和晶格振动相叠加两种作用的结果相叠加两种作用的结果. .（1） 金属的热导率金属的热导率 纯金属的导热系数：纯金属的导热系数：依靠自由电子的迁移和晶格的振动，主要依靠前者。u金属的导热系数与其导电率呈正比（除了

12、铁等几种金属以外）。u 在纯金属中掺入杂质后，合金的导热系数明显降 低，合金的导热系数不一定与掺入比例呈反比。 晶格振动的加强干扰自由电子运动。u金属的导热系数一般随温度的升高而降低，而其它材料的导热系数则升高。（2）非金属的热导率）非金属的热导率非金属的导热非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小。温度升高、晶格振动加强、导热增强T保温材料保温材料：国家标准规定，温度低于350度以下热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）。大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构。多孔材料的热导率与密度和湿度有关。 、湿度3、气体、气体 气体的导热可以理解为依靠分子间碰撞产生了分子的回转、

13、平行运动动能的交换，分子动能从高的地方向低的地方传递。根据分子运动理论，单原子理想气体的导热系数可以表示为下式：13vu lc：气体分子运动的均方根速度u：气体分子在两次碰撞间平均自由行程l：气体的密度；：气体的定容比热vc气体的压力升高气体的压力升高时，气体的密度增大、平均自由行程减小、而两者的乘积保持不变。除非压 力 很 低 或 很 高 ， 在 2 . 6 71 0- 3M P a 2.0103MPa范围内，气体的热导率基本不随压力变化。 气体的温度升高时气体的温度升高时，气体分子运动速度和定容比热随T升高而增大，导致气体的热导率随温度升高而增大。13vu lc氢和氦氢和氦氢和氦的导热系数

14、比其他气体高得多。4、液体液体 与气体相比,液体的分子间距变小，分子间相互作用变大。由于这个原因，液体能量传递主要依靠分子的振动（声子）。但是，液体不如晶体分子排列有规律性而且分子在液体内运动，因此它的导热机理比固体和气体更复杂。 随着温度升高温度升高，液体的导热系数一般降低。 水和甘油等强缔合水和甘油等强缔合液体液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，导热系数随温度的变化规律不一样。 液体的导热系数随压力p的升高而增大。5 5、导热系数的影响因素、导热系数的影响因素物质的导热系数会因状态参数的不同而改变，是一个物性参数，与材料种类和温度有关。导热系数的导热系数的影响影响因素因素：物质

15、的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。导热系数与温度导热系数与温度一般把导热系数仅仅视为温度的函数，而且在一定温度范围内可以用一种线形关系来描述：)1 (0t6、各向异性材料的导热系数、各向异性材料的导热系数各个方向上导热系数都相同的均匀物质，称为各向同性介质各向同性介质。不同方向上导热系数不相同的物质，称为各向各向异性介质异性介质。例如木材、石墨、晶体等。导热系数的方向性使得各向异性材料的导热规律变得复杂。导热系数用矩阵可表示为 33 323123 222113 1211 一般地，导热系数具有如下特性 对称性 存在导热系数主轴321,，jiijji3 , 2 , 1, 0,jiii当坐

16、标系按导热系数主轴选取时，各向异性材料的导热系数可表示为 3 21 0 00 0 0 0 1、2和3称为主导热系数。主导热系数不会随坐标系的变动而变化。各种各向异性材料的导热系数都可以转换成主各种各向异性材料的导热系数都可以转换成主导热系数的形式。导热系数的形式。（2）均匀、各向异性。木材、石墨和变压器铁心等（图b）。（3）不均匀，各向同性。空心砖（图c）。（4）不均匀、各向异性。不同材料压制的多层板。飞行器燃烧室的层板结构（图d）。7、工程导热材料的一般分类、工程导热材料的一般分类工程技术中采用到导热材料与结构可以分为四类：（1）最广泛使用的是均匀、各向同性的导热材料（图a）。第三节第三节

17、各向异性介质中的导热各向异性介质中的导热问题问题：各向异性材料导热与各向同性材料导热相比有何不同？选取直角坐标系（x, y, z），材料固有导热系数主轴为（ x1, y2, z3）。在各向异性介质中，温度场、等温面和温度梯度和热流向量的概念仍然适用。各异性主轴的导热系数为常数，在此方向上与一般各向同性介质无异，可应用傅立叶定律。tqzz11tqxx11tqyy11111111111000000ztytxt qqqzyxzyx即不同坐标系下热流密度的转换不同坐标系下热流密度的转换li，mi，ni是x1，y1，z1与x、y和z的夹角余弦（或方向余弦）i=1，2和3。111333222111zyxz

18、yxqqq n ml n ml n mlqqq111zyxzyxqqqCqqqz)cos( y),cos( x),cos(z)cos( y),cos( x),cos(z)cos( y),cos( x),cos(131211131211131211znznznymymymxlxlxl两坐标系之间温度梯度的转换两坐标系之间温度梯度的转换ztytxt n nn m mm l llztytxt321321321111提示：（x, y, z）(x1,y1,z1)转换矩阵为CT。（x1,y1,z1) （x, y, z）转换矩阵为C。 坐标系（坐标系（x, y, z）中）中 热流密度与温度梯度之间的关系热流

19、密度与温度梯度之间的关系ztytxt n nn n mm l ll n ml n ml n mlqqqzyxzyx321321321111333222111000000即ztytxt qqqzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyx讨论讨论： 1、各向异性材料沿各方向的导热系数不相同，此时导热系数导热系数不再是标量，而是张量张量。热流密度的方向不仅与温度变化率有关，而且还与导热系数的方向有关。于是，此时热流密度一般不再保热流密度一般不再保持与等温面相垂直持与等温面相垂直。 2、在各向异性材料中，不仅与该方向的温度变化率有关，而且还受其它方向上的温度变化率的影响，但不同方向上的温度变化率对热流密

20、度的影响不同。2 2维各向导热异性问题维各向导热异性问题tqtqsincosxcossinysinytcosxttcosytsinxttxtytsinytcosxtcosytsinxtttqq讨论讨论：当0时，（x, y）与（, ）两坐标系重合 若 ，温度梯度的负方向与热流密度方向不一致。 若=，温度梯度的负方向与热流密度方向一致。xtytqq第四节第四节 热传导方程热传导方程一、问题的提出一、问题的提出 傅立叶定律是否能完全描述导热现象？为什么？ 傅立叶定律只揭示了连续温度场内每一点温度连续温度场内每一点温度梯度与热流密度之间的关系梯度与热流密度之间的关系，如果知道了温度分布就能得到相应的热

21、流分布。傅立叶定律没有说明某点的温度与它相邻点温度的关系，也没有回答该点温度如何随时间变化。导热微分方程就是要揭示连续温度场随空间坐标和时间变化的内在联系。热传导方程的推导基于：(1)热力学第一定律热力学第一定律(2)傅立叶定律傅立叶定律二、二、热传导方程热传导方程 (不依赖于坐标系）1、一般导热积分方程、一般导热积分方程热力学第一定律热力学第一定律：vvAvdVqdAnqdVe-导入控导入控制体的制体的净热量净热量控制体内控制体内热源的发热源的发热量热量控制体中物控制体中物质热力学能质热力学能的变化量的变化量注：dA的方向（n）是向外法线方向，负号表示热流指向控制体内部，此式是导热能量方程的

22、积分式导热能量方程的积分式。 2、导热微分方程导热微分方程的导出 由散度定理 div表示散度，表示纳布拉纳布拉算子 于是积分方程变为vvAdVqdVqdivdAnq0dVqq evvvqq e此式是导热能量方程的微分形式导热能量方程的微分形式。导热微分方程和导热积分方程的一般形式。导热微分方程和导热积分方程的一般形式。vqq ctvvAvdVqdAnq-dVct若将e=ct代入，得提示提示：该导热微分方程不依赖坐标系，并且只是应用了热力学第一定律。可在此基础上导出适合各向同性或各向异性的导热方程。3、各向同性材料的导热方程各向同性材料的导热方程 将q=-t代入上述关系式，得 vvAvdVqdA

23、ntdVctvqt ct得到了导热积分方程导热积分方程和导热微分方程导热微分方程。条件：条件：满足傅立叶定律的适用条件满足傅立叶定律的适用条件。vqztzytyxtxtcv2qztztr1rtrrr1tc圆柱坐标系直角坐标系球坐标系v22222qtsinsinr1tsinr1rtrrr1tc几种特殊的导热微分方程：几种特殊的导热微分方程： （1）对于常物性材料常物性材料，、c、都是常量。方程变为傅立叶毕渥方程。傅立叶毕渥方程。 2拉普拉斯算子，a为导温系数。 对于直角坐标qttav21321xkxjxi2322222122xxx22222211zttrrtrrrt22222222sin1sin

24、sin11trtrrtrrrt柱坐标系球坐标系（2）条件同（1），无内热源无内热源时qv=0，有tta21（3）对于稳态导热稳态导热，常物性02qtv称为泊桑泊桑（Possion）方程方程（4）进一步简化，无内热源： 该方程称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。02 t热扩散方程热扩散方程。a =/(c)为导温系数（热扩散率）。它反映了导热过程中材料的导热能力（）与沿途物质储热能力（c）之间的关系。a值大，即值大或c值小，说明物体的某一部分一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散。它表征物体被加热或冷却时，物体内各部分温度趋于均匀一致的能力，所以a a反映了反映了导热过程动态特性，研究不稳态导热重要

25、物理导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量量。 第五节 单值性条件 一个具体的温度场，不仅依赖于导热方程，而且还取决于过程进行的特定条件。 使一个具体过程服从同一导热方程的所有各种导热过程中单值地确定下来的必需具备的条件，称为单值性条件。单值性条件包括： （1）几何条件；（2）物性条件； （3）时间条件；（4）边界条件。一、几何条件一、几何条件 说明物体的形状与大小，若是各向异性材料还应给出导热系数的主轴方向。 根据需要将物体简化成半无限大物体、无限大物体和组合平板等。二、物理条件二、物理条件 给定各种有关物性量的值。一般包括：（1）物性是常物性。（2）物性是变物性。 （a）随温度变化，

26、（b）与材料取向有关，即随空间变化。（3）有无内热源，以及内热源分布。几何条件和物理条件通常体现在导热微分方程几何条件和物理条件通常体现在导热微分方程的简化和坐标系的选取中。的简化和坐标系的选取中。四、边界条件四、边界条件边界条件边界条件是描述在区域边界上过程进行的特点。边界条件建立基础：（1）连续性（2）能量守恒1、第一类边界条件第一类边界条件规定了边界上温度分布及其规定了边界上温度分布及其随时间的分布随时间的分布。 此类条件又称为狄利克莱狄利克莱（Dirichlet）条件。, 01rftw2、第二类边界条件第二类边界条件纽曼纽曼(Neumann)条件条件给出了边界表面上各点的热流密度值给出

27、了边界表面上各点的热流密度值。, 0,2rfntw特例：恒热流恒热流：constnt w 0,绝热条件绝热条件：00,wnt 3、第三类边界条件第三类边界条件给定边界表面上各点与给定边界表面上各点与周围流体之间的对流换热系数及周围流体温度周围流体之间的对流换热系数及周围流体温度。能量守恒定律：对流换热量物体边界面对流换热量物体边界面S S的导热量的导热量()wfwtnh tt 导热量：对流换热量：wnt fwtth第三类边界条件表示为第三类边界条件又可称为罗宾第三类边界条件又可称为罗宾(Robin)条件条件。以上三种边界条件的物性参数若为常数，则边界条件是线性边界条件。应注意式中的已知条件是t

28、f和h。未知条件是和wtwnt 更一般地),( 0,3wwrfh tnt()wfwtnh tt 第三类边界条件的转换第三类边界条件的转换：h时，因tw=tf，转化为第一类边界条件第一类边界条件。h=0时，),( 3wwrfh tnt转化为第二类边界条件第二类边界条件。若 已知，这就是给定的第一类边界条件。若 知道，则是第二类边界条件。wtwnt 4、内部边界条件（接触条件，第四边界条件）内部边界条件（接触条件，第四边界条件）（1）完全接触（理想情况）（2）不完全接触（实际情况）边界条件建立的基础（1）连续性，（2）能量守恒。对完全接触完全接触（理想情况）：sstt21ssntnt2211对不完

29、全接触不完全接触：温度不连续（接触热阻）热流量连续（能量守恒）设接触热阻为qtRc边界条件为sccssntRqRttt1121ssntnt2211式中负号表示温度梯度的方向是外法线，两接触物体外法线方向相反。5、辐射边界条件、辐射边界条件44surwwTTnT即使系数均为常数，该边界条件也是非线性条件。6、若辐射与对流并存44surwfwwTTTThnT导热微分方程和所给定的单值性条件提供了导热过程的共性和个性、内因和外因的完整的数学模型，可以运用数学方法求解，计算出不同时刻和不同位置上的温度和热流密度及其方向。第六节 无量纲的导热方程导热微分方程在一定单值性条件下，可以得到温度场的解，一般为

30、),(初始条件，边界条件几何条件，物理条件，rt引入无量纲变量，可以减少变量数目，得出无量纲参数。以一维大平板为例加以说明。设平板内物性为常数，均匀内热源，板厚为L。其数学描述为：Lxqxttav0 122 0,0 ittLx，0 , 0, 0 xtx)(- , 0,itthxtLx方程方程初始条件初始条件边界条件边界条件有量纲方程得到的温度场的解为httqaLxttfiv,无量纲热源毕渥数傅立叶数hLBi fivttLqG22LaFo定义无量纲变量无量纲变量为无量纲温度无量纲坐标fifttttLxu 无量纲方程及边界条件为010 22FouGuFo，0, 10 1Fou, ,Fo uu 00

31、 0 0, 1 , 0FouBiu 无量纲方程得到的温度场的解为GBiFou,显然变量数目大为减少，得出无量纲量 Fo，Bi。毕渥数与傅立叶数毕渥数与傅立叶数hlhlBi1物体表面对流换热热阻物体内部导热热阻22Flol a换热时间边界热扰动扩散到 面积上所需的时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的温度。导热正问题和导热反（逆）问题导热正问题和导热反（逆）问题导热问题的分类导热问题的分类：（1）已知导热微分方程及单值性条件，求解物体内部的温度场，并根据温度场进而求得热流密度和导热量，这类问题通常称为导热的正问题导热的正问题。（2）已知导热微分方程

32、及部分单值性条件，用已知温度场的某些信息，求解另一部分未知的单值性条件，这类问题称为导热的反问题导热的反问题。导热微分方程+单值性条件稳定唯一解（适定）稳定唯一解（适定）导热微分方程 +导热反问题不适定性求解困难求解困难解不适定解不存在（超定）附加条件过多且矛盾解不唯一（欠定）附加条件不足导热反问题的复杂性还在于：导热反问题的复杂性还在于： 抛物线形反问题，其不适定性更强； 导热过程是一种耗散机制的物理现象滞后效应阻尼效应, 对物体内温度测点非常敏感较小误差也可能引起解的急剧震荡。反问题常见的类型反问题常见的类型：（1）已知物体的几何条件和导热系数，根据测得的物体某处的温度估算通过物体表面的热

33、流密度或物体的表面温度；（最常见最常见）（2）当边界条件为第三类边界条件时，根据测得的物体某处或某几处温度随时间的变化估算物体的热物性，在某些情况下，还可以估算对流换热系数随时间的变化；（3）对伴有化学反应热、电加热、摩擦生热等内热源的导热问题，当内热源为未知项时，亦可能利用已知的边界条件，估算内热源项。例例：常物性、无内热源大平板板厚为L，初始条件为均匀温度ti，平板左壁面绝热，已知平板内某处b的温度变化规律，欲求右边界处壁面温度及热流密度。（该问题就是导热反问题导热反问题）该问题的数学描述为221xtta0 , 0 xxt0 )(ittbxft这里是用平板内这里是用平板内b b处处的温度信

34、息，推算的温度信息，推算x=Lx=L边界处的温度和边界处的温度和热流密度。热流密度。 可以看出，若为导热正问题，在x=L处的条件应该是给定的，待求的是物体内各点的温度随时间的变化；而导热反问题，待定的是已知一个或几个物体内点处的测点得到的温度值，反求x=L处的温度或热流密度。 此外，还有 （1）反求物理条件求和a等（卫星探测，地球表面温度，求土壤物性；激光导热仪，测材料表面温度）。 （2）反求几何条件探伤。第七节 热传导问题的求解方法一、研究导热问题的方法：一、研究导热问题的方法：一般分为三类:解析法解析法、数值解法数值解法和实验解法实验解法。 1、解析法、解析法解析法解析法是以数学分析为基础

35、求解导热问题的方法，其所得解析函数形式的解，常称作分析解或理论解，由于分析杰在求解的整个区域内都能精确的满足导热微分方程和单值性条件，因此又称为精确解。分析解的优点分析解的优点： 1、解的形式为函数形式，便于分析； 2、认识基本传热问题的主要特征； 3、校验数值解的可靠性 总之，分析解法的物理概念明确、逻辑推理清晰、求解过程严密。分析解的局限性分析解的局限性： （1） 对于非线性导热问题、几何形作复杂的导热问题，分析解法常常无能为力； （2）解的形式常常是无穷级数，不便于工程应用。 2、近似解近似解近似分析解法近似分析解法得到的解和分析解一样仍然具有解析函数的形式，但它满足的主要定界条件，因此

36、只能近似地反映物体内部温度分布。 特点特点：近似分析解即具有分析解的特征，又具有近似解的特征，与单纯的数值解相比近似分析解提供的结果既能清楚地揭示各种参数对问题的影响，又便于进一步分析计算。 3、数值解法、数值解法： 对于非线性强，几何形状复杂，分析解和近似分析解通常无法求解。数值解法数值解法的指导思想是用时间和空间区域内有限个离散点（又称节点）上的温度近似值代替物体内实际的连续的温度分布，然后根据导热方程和边界条件推导出各节点间的相互关系，由此得到一组代数方程组（离散方程），求解该代数方程组可得到各节点上的温度值，即为物体内温度场的数值解。节点多数值解精度高计算时间长。实验方法实验方法本课程

37、只介绍分析解法（含近似解法）。本课程只介绍分析解法（含近似解法）。分析导热问题的步骤分析导热问题的步骤：1、简化实际的导热问题2、建立导热微分方程3、确定边界条件4、求解导热微分方程+单值性条件+求解方法温度场求解方法： 积分法、杜哈美尔法、格林函数法（热源法）、拉普拉斯变换法、分离变量法、积分变换法等。分离变量法分离变量法 分离变量法是解线形偏微分方程线形偏微分方程的一种常用方法，特别是对于求解区域是矩形、柱体和球体的情形使用更为普遍。这种方法处理齐次问题或只有一处理齐次问题或只有一个边界条件为非齐次情形非常方便个边界条件为非齐次情形非常方便。 分离变量法是将分离变量形式的试探解代入偏微分方

38、程中，将求解偏微分方程的问题转化为求解常微分方程组的问题，二、本课程介绍的求解方法具有n个自变量的热传导方程分离成n个常微分方程，并在分离过程中引入n-1个分离常数，然后求解此n个常微分方程，得到n个解满足边界条件的分离解。然后利用线性叠加原理，用全部分离解构成原导热问题的完全解。求分离解时常归结为求某些常微分方程边值问求分离解时常归结为求某些常微分方程边值问题的特征值、特征函数和范数。题的特征值、特征函数和范数。适用范围适用范围 主要用于求解线性、齐次问题。对于多维不含内主要用于求解线性、齐次问题。对于多维不含内热源的稳态问题，若只有一个边界是非齐次，仍热源的稳态问题，若只有一个边界是非齐次

39、，仍可使用分离法。可使用分离法。分离变量法也是其它求解方法的基础，如分离变量法也是其它求解方法的基础，如 分离变量法导出的积分变换，为积分变换法求解微分方程提供了理论基础。 分离变量法为求解非齐次方程构造格林函数（热源法）提供了依据。积分变换积分变换傅氏变换法傅氏变换法 该变换将偏微分方程中温度对空间坐标量的2阶偏导数暂时去掉，使问题转化成只含时间一个自变量的常微分方程，或将n维转化成n-1维非稳态偏微分方程问题。拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换是几分变换的一种，通过变换去掉对时间变量的的偏导数，使其转化为变换后函数的稳态问题。特别地，在一维非稳态导热情形下，通过拉氏变换得到一个只含

40、一个空间变量的常微分方程。 拉式变换为齐次和非齐次线性导热问题的求解提供了一个系统而简便的方法，对于非齐次项是时间的复杂函数时特别有效。 应用拉式变换求解的主要困难是变换后函数的解进行逆变换。热源法和格林函数法热源法和格林函数法 物体中温度随时间的变化是由于内热源、边界热作用以及初始温度分布作用的结果。这些作用都可以看成是广义上的热源。因此物体中的温度场可以认为是某种热源造成的。这种热源可以是实际存在的，也可以是虚拟的。 一定类型的热源在无限大介质中所产生的温度场称为热源函数，或称为无限区域的格林函数。根据热源函数与温度场之间的关系，以基本类型的热源函数为基础求解导热问题的方法称为热源法。它们可以适用于含内热源即非齐次的导热问题，而且在求解无内热源的非线性导热问题也有效。热源法适用于求解无限大与半无限大物体的导热问题。格林函数法的适用范围则可扩展到有