20XX-2020学年江苏省苏州市第一实验中学高二下学期期中数学试题(解析版)

1、2019-2020学年江苏省苏州市第一中学高二下学期期中数学试题一、单选题1复数(2i)i（i是虚数单位）的虚部是（ ）A2iB2C1+2iD2【答案】B【解析】化简复数即得复数的虚部.【详解】由题得，所以复数的虚部为2.故选：B【点睛】本题主要考查复数的乘法运算和复数的虚部，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有（ ）A72种B48种C54种D8种【答案】B【解析】因为每对师徒必须相邻，所以，三对师徒进行捆绑，则有，捆绑后再次进行排列，则有种组合拍列，所以，每对师徒相邻的站法共有种【详解】由题意得每对师徒相邻的站法共有故选

2、：B【点睛】本题考查排列组合中的相邻问题，属于简单题3已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】根据正态密度曲线的对称性得出，由此可计算出结果.【详解】由于随机变量服从正态分布，则，故选C.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为（ ）A40B50C60D70【答案】D【解析】根据题意，可分为2种情况，取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，结合组合

3、数的公式，即可求解.【详解】根据题意，可分为2种情况，取出的3台电视机为：甲型1台与乙型2台，共有种不同的取法；取出的3台电视机为：甲型2台与乙型1台，共有种不同的取法，由分类计数原理，可得不同的取法共有种.故选：D.【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及组合数公式的应用，其中解答中合理分类，结合组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5函数的单调递减区间为（ ）ABCD【答案】C【解析】求出函数的定义域，解导数小于0的不等式，即可得答案.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，函数的单调递减区间为.故选C.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，

4、求解时注意定义域优先法则的运用.6通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的2´2列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；C有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”【答案】C【解析】根据给定的的值，结合附表，即可得到结论.【详

5、解】由 ，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关.故选：C.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中正确理解附表中数据的意义是解答本题的关键，属于基础题.7设随机变量服从二项分布B(6，)，则P(3)等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由及二项分布的概率公式即可求解.【详解】.故选：A【点睛】本题考查二项分布及其概率求解，属于基础题.8已知，若，则（ ）A32B1C32D1或32【答案】B【解析】由求出a，再利用赋值法令代入等式即可得解.【详解】由题意知，令得.故选：B【点睛】本题考查二项展开式中特定项的系数、赋值法求二项式系数和，属于基础题.二、多选题9在5件产品中，有

6、3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为的事件是（ ）A至多一件一等品B至少一件一等品C至多一件二等品D至少一件二等品【答案】AD【解析】从5件产品中任取2件，有种结果，至多一件一等品有种情况，至少一件一等品有种情况，至多一件二等品有种情况，至少一件二等品有种情况，结合古典概型概率计算公式可得结果.【详解】从5件产品中任取2件，共有种结果，“任取的2件产品至多一件一等品”有种情况，其概率是，故A正确；“任取的2件产品中至少一件一等品”有种情况，其概率是，故B错误；“任取的2件产品中至多一件二等品”有种情况，其概率是，故C错误；“任取的2件产品在至少一件二等品”有种情况，其概率是，故D正

7、确； 故选：AD.【点睛】本题考查古典概型，是一个由概率来对应事件的问题，需要把选项中的所有事件都作出概率，解题过程比较麻烦，属于中档题.10定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A函数在区间单调递增B函数在区间单调递减C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值【答案】ABD【解析】根据导函数图像判断出函数的单调性和极值，由此判断出正确选项.【详解】根据导函数图像可知，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增.所以在处取得极小值，没有极大值.所以A,B,D选项正确，C选项错误.故选：ABD【点睛】本小题主要考查利用导函数图像判断函数单调区间、极值，属于基础题11下列对各

8、事件发生的概率判断正确的是（ ）A某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是【答案】AC【解析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的

9、情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为,故A正确；对于B,用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为,故B不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则,故取到同色球的概率为,故C正确；对于D,易得,即,即,又,故D错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键12已知函数，则下列结论正确的是（）A函数存在两个不同的零点B函数既存在极大值又存在极小值C当时，方程有且只有两个实根D若时，则的最小值为【答案】ABC【解

10、析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项.【详解】A.,解得，所以A正确；B.，当时，当时，或 是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.C.当时，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；D.由图像可知，的最大值是2，所以不正确.故选A,B,C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，所以图像是无限接近轴，如果这里判断错了

11、，那选项容易判断错了.三、填空题13已知复数满足，其中是虚数单位，则_【答案】【解析】复数z满足 z(1i)i，所以.所以.故答案为.14的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是_【答案】15【解析】二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， ，则展开式中的通项公式为 令，求得 ，故展开式中的常数项为 ，故答案为15.15将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有_种【答案】30【解析】先假设可放入一个盒里，那么方法有种，减去在一个盒子的情况，就有5种，把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了

12、把三个不同的球放入三个不同的盒子，从而可得到结果【详解】解：由题意知有一个盒子至少要放入2球，先假设可放入一个盒里，那么方法有. 再减去在一起的情况，就是种把2个球的组合考虑成一个元素，就变成了把三个不同的球放入三个不同的盒子，那么共有种根据分步计数原理知共有种故选：C【点睛】本题考查分步计数原理，考查带有限制条件的元素的排列问题.两个元素不能同时放在一起，或两个元素不能相邻，这都是常见的问题，需要掌握方法16设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是_【答案】【解析】采用构造函数法，设，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数

13、位置关系，建立不等式且，即可求解【详解】设，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故，而当时，故当且，解之得故答案为：【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题四、解答题17已知函数，在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线与直线垂直求实数的值和切线的方程【答案】，.【解析】求得，根据题意可知方程只有一个实数解，可知二次函数的最小值为，求得实数的值及对应的的值，可得出切点的坐标，利用点斜式可得出切线的方程.【详解】因为，所以.由题意可知，方程有两个相等的实根则，又，解得，则，所以切点坐标为，因此，

14、切线的方程为，即.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.18设.已知.（1）求n的值；（2）设，其中，求的值.【答案】（1）；（2）-32.【解析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可；解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题

15、能力与运算求解能力.19某设备的使用时间x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计数据：使用时间x /年23456维修费用y /万元2.23.85.56.57.0若由数据知x与y具有线性相关关系.（1）试求线性回归方程；（2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少？参考公式：线性回归方程中，【答案】（1）；（2）使用年限为10年时的维修费用是12.38万元.【解析】（1）根据所给数据，求出的平均数，再由公式计算出即得；（2）将代入（1）中的线性回归方程，即得维修费用的估计值.【详解】（1）由题得，则，故线性回归方程为.（2）由（1）知线性回归方程为，当时，（万元），即使用年限

16、为10年时，估计维修费用是万元.【点睛】本题考查求线性回归方程，以及它的应用，解题关键是掌握线性回归方程的求法，难度不大.20已知函数f (x)(a0)（1）当a1，b0时，求函数f (x)的极值；（2）当b1时，若函数f (x)没有零点，求实数a的取值范围【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） .【解析】（1）当时，求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性，结合函数极值的定义，即可求解； （2）把函数没有零点，转化为方程axaex0无实根，令，利用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式，即可求解.【详解】（1）当时，函数，则，当时，单调递减；当时，单调递增所以的极小值为，无极大值（2）当

17、时，函数，因为函数没有零点，即方程无实根，即axaex0无实根，令，则，若时，则在R上单调递增， 此时存在，使得，不合题意；若时，令，即，得；令，得， 所以当，函数取得最小值，最小值为，要使得函数没有零点，则满足，即，解得，综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的极值，以及利用导数研究函数的零点问题，其中解答中把函数的零点问题转化为方程根的个数，应用导数求得函数的单调性与最值，列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.21经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动已知

18、某网民购买商品的概率分别为，至少购买一种的概率为，最多购买两种的概率为假设该网民是否购买这三种商品相互独立（1）求该网民分别购买两种商品的概率；（2）用随机变量表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求的分布列【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】(1)由题意和概率的乘法公式可得进而可求购买两种商品的概率.(2)由题意知列出的可能取值,再求出每种取值下的概率.【详解】解:(1)由题意知,至少购买一件的概率为,所以一件都不买的概率为. .因为最多购买两件商品的概率为所以三件都买的概率为.即 .联立解得 或.因为,所以.(2) .由题意知.则, ,则的分布列为051015 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列,考查了相互独立事件的概率.对于列分布列的问题,在写出分布列后,可将得到的概率加起来,判断是否为1,从而可以检验自己的计算有没有出错.22已知函数，.（1）若，则，满足什么条件