数学物理方法 复数与复变函数

1、数学物理方法数学物理方法李禄山西大学理论物理研究所数学物理方法2015.02感兴趣的方向感兴趣的方向 光孤子传输理论 非线性动力学 孤子理论 计算物理物理楼四层402-1房间电话学物理方法2015.02数学物理方法数学物理方法 复变函数 数学物理方程数学物理方法2015.02参考书参考书数学物理方法，梁昆淼数学物理方法，郭本宏数学物理方法，姚端正，梁家宝数学物理方法，杨孔庆Methods of Mathematical Physics, R.Courant and D. Hilbert, Vol. 1 and 2, 1991Methods of Mathematica

2、l Physics, H.Jeffreys, 2007MatLab工程数学应用，许波，刘征编著Maple计算机代数系统应用及程序设计，李世奇，杜慧琴数学物理方法2015.02引言引言从数e讲起211lim 1lim 12nnnnenn2.718281828e 0110 :12nn n1110 :12.593742460nn n2110 :12.704813829nn n3110 :12.716923932nn n4110 :12.718145927nn n5110 :12.718268237nn n6110 :12.718280469nn n数学物理方法2015.022312!3!nxxxxe

3、xn 1111 12!3!en 310 :2.71828182845905n e10:2.71828180114638n e210 :2.71828182845905n e级数的作用( )20000000()()()( )()1!2!nnfxfxfxf xf xxxxxxxn数学物理方法2015.02再看圆周率3.141592654 2lr227 1111111( 1)435721nnn 110 :3.04183961892940n 210 :3.13159290355855n 310 :3.14059265383979n 410 :3.14149265359003n 510 :3.14158

4、265358972n 610 :3.14159165358977n 710 :3.14159255358979n 810 :3.14159264358933n 910 :3.14159265258805n 1010:3.14159265405393n 数学物理方法2015.02有理数-无理数231 11 111 1131(1)(1)(1)1!22!223!2221 11323(1)!2222nxxxxn xn ( ,0)q q ppp有理数是互质的整数且112是无理数1 11 111 1131 11323211!22!223!222!2222nn 910 :21.41421356237310n

5、 数学物理方法2015.02011lim 1nnen1111111lim( 1)435721NnNnn 1 11 111 1131 113232lim 11!22!223!222!2222nnn有理数 无理数 实数2?10 x 数学物理方法2015.02独木桥数学物理方法2015.02孙悟空三打白骨精数学物理方法2015.02蜜蜂和苍蝇数学物理方法2015.02UFO数学物理方法2015.02黄河十八湾和亚马逊流域数学物理方法2015.02黄河大桥数学物理方法2015.02不识庐山真面貌，不识庐山真面貌，只因身在此山中。只因身在此山中。不识微积分真面貌，不识微积分真面貌，只因你在微积分中。只因

6、你在微积分中。数学物理方法2015.02第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一节第一节 复数及运算复数及运算第二节第二节 区域区域第三节第三节 复变函数复变函数第四节第四节 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性数学物理方法2015.02微积分微积分研究对象：研究对象：函数函数研究手段：研究手段：极限极限研究内容：研究内容：连续、微分、积分连续、微分、积分基础：基础：实数实数数学物理方法2015.02第一节第一节 复数及运算复数及运算复数的概念复数的概念复数相等复数形如z=x+iy的数被称为复数，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为

7、i2=-1z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1数学物理方法2015.02复平面复数与平面向量一一对应z平面复数z=x+iy虚轴实轴22|yxrz模zzkArgarg2幅角复数不能比较大小主幅角第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02主幅角的确定0, 0 ,arctan0, 0 ,arctan0, 0 ,arctan0, 0 ,arctanargyxxyyxxyyxxyyxxyz2arctan2xyiyxiyxiyxiyx特别地0, 0 ,20, 0 ,2argyxyxz第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02复数的表示复数的表示代

8、数表示： z=x+iy三角表示： z=r(cos+isin)指数表示： z=rexp(i)注意在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02复数的运算复数的运算设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数加减运算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 )复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则z1 +(- z2)- z2第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02乘法运算)( iexp )sin(i)cos( )( i)(21212121211221212121rrrryxyxyyx

9、xzz两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02除法运算)( iexp )sin(i)cos( i2121212121222212212222212121rrrryxyxyxyxyyxxzz两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02复球面复球面无穷远点第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02举例*212121, 4i3

10、, 5 i5zzzzzz和求设)Re(2iy,iy212121222111zzzzzzxzxz证明：为两个任意复数，设用复数形式来表述。的直线方程将过两点222111iy,iyxzxz4100i1) i1 (和求第一节第一节 复数及运算复数及运算数学物理方法2015.02第二节第二节 区域区域区域的概念区域的概念邻域平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的 -邻域|z-z0|z00|z-z0|z0数学物理方法2015.02开集设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么

11、称G为开集。Gz0第二节第二节 区域区域数学物理方法2015.02区域平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。边界设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用D来表示。闭区域区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为DDz1z2p第二节第二节 区域区域数学物理方法2015.02Rz |x yORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imzx y21O21argz第二节第二节 区域区域数学物理方法2015.02

12、单连通域与多连通域单连通域与多连通域设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。B单连通域B多连通域第二节第二节 区域区域数学物理方法2015.022|z|bzaz1Re|zz举例用复数表示的平面点集2/1Rez22Reaz bzazRe,arg4arg0iziz111zz第二节第二节 区域区域数学物理方法2015.02第三节第三节 复变函数复变函数复变函数之定义复变函数之定义设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u

13、+iv与之对应，那么称复变数是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。说明1如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。数学物理方法2015.02说明2复变函数=f(z)可以看作是z平面到平面上的一个映射。复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy=f(z)z平面平面第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02举例求由z1=i, z2=2+i, z3=1三点构成的三角形经函数w=z*变换后在平面上的图形。z1z2z3z平面平面123第三节第三节 复变函数复变函数数学物

14、理方法2015.02举例求0, 0r1经=iz变换后在平面上的图形。z平面平面=iz=zexp(i/2)第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02复变函数举例复变函数举例基本初等函数基本初等函数指数函数yiyeexzsincosyxzi性质yeeezxzArg ,isinycosy,0 ;,0iyxzexeey时时)exp()exp()exp(2121zzzz)exp()2iexp(zz第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02举例求z平面上带形区域-Rez+, 0Imz经 =ez 变换后在平面上的图形。=ez0, 00,veuyRxx注意,0,0 xxR yuev

15、 第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02根式函数22sini22coskkrz是主幅角其中, 1 , 0,krezi记2sini2cos0r2sini2cos1r注意根式函数是多值函数第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02限制值域单值化的主要途径限制值域或扩大定义域限制值域的幅角范围为,2)限制值域的幅角范围为0,)01第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02Riemann面扩大定义域2sini2cosrRiemann第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02RiemannGeorg Friedrich Bernhard Rie

16、mann (1826-1866)1826年9月17日，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 复变函数论的奠基人；黎曼几何的创始人；组合拓扑的开拓者。在微积分理论、解析数论、代数几何、数学物理、微分方程等领域做出了的创造性和开创性的贡献。 数学物理方法2015.02举例1设 ，规定0arg(z-1)2，求(2), (i), (0), (-i)。1z,45) 1arg(,) 1arg(

17、,43) 1arg(, 0) 1arg(02izzizzzzzz0arg0arg(1)2z1)2(8/3 iexp2)(4ii2/iexp)0(8/5 iexp2)(4i0,i2) 1arg(iexp| 1|)(kkzzz第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02举例2设 ，规定(2)=1, 讨论z沿C1或C2连续变化到原点时，函数(0)的值。1z当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|z=0=i)2/iexp()0(,2) 1arg(21arg00zzz当z沿C2移动到z=0时，arg(z-1)|z=0 =-i)2/iexp()0(,2) 1arg(21arg00zzz0,

18、i2) 1arg(iexp| 1|)(kkzzz(2)=1第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02对数函数, 2, 1, 0,2argilnLnkkzzz的主幅角是其中zzarg的主值被称为zzzzLniarglnln值值，有无穷多个给定一个zz:Ln性质1第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02单值化的主要途径限制值域或扩大定义域限制值域Riemann面第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02注意符号lnz与ln|z|，以及Lnz的区别性质2恒等式21212121LnLn/LnLnLnLnzzzzzzzz下列式子不成立znzzzzzznznLn

19、/1LnlnlnlnLnLnn2121第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02举例计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i)O x y1+i2-i-1第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02三角函数izizeeiz21sinizizeez21coszzzcossintanzzzsincoscot性质周期性恒等式非有界函数第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02举例1. 求解sinz=0的全部根2. 求解sinz=2的全部根, 2, 1, 0,22)32ln(i, 2, 1, 0,nnznnz第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方

20、法2015.02反三角函数1iLnArccos2zzz21iLnArcsinzizziz-1iz1Ln2iArctanz第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02双曲函数zzeez21coshzzeez21sinhzzzzeeeeztanh性质1. 以2i为周期2. 与正弦函数、余弦函数的关系3. 恒等式第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02反双曲函数1LnsinhArc2zzz1LnArccosh2zzzz-1z1Ln21sinhArcz第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02幂函数zzLnexp第三节第三节 复变函数复变函数数学物理方法2015.02复变函数的极限复变函数的极限设函数=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|0， () 0，使当0|z-z0| 时，有| f(z)-A