人教版八年级数学上册课时练第十三章轴对称13.4课题学习--最短路径问题

1、人教版八年级数学上册课时练第十三章轴对称13.4课题学习-最短路径问题一、选择题1 .如图，在镜角中，ZACB=5Q°：边.上有一定点尸，M、N分别是,4C和8C边上的动点，当尸MV的周长最 小时，NMPN的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°2 .某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水.某同学用直线（虚线）/表示小河，P,Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）.3 .如图，已知NAO3 = 24。，OP平分NAO5, OP =

2、1,。在。4上，。在。8上，E在。尸上.当CP+CD+DE取最小值时，此时NPCD的度数为（）A. 36°B. 48°C. 60°D. 72°4 .如图,在公路MN两侧分别有A.A2A了，七个工厂,各工厂与公路MN（图中粗线）之间有小公路连接.现在需要在公 路MN上设置一个车站，选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好【则下而结论中正确的是（）.车站的位置设在c点好于B点； 车站的位置设在B点与C点之问公路上任何一点效果一样;车站位置的设置与各段小公路的长度无关.A.uB.C.D. X3)5.如图，在AA3C中，3C = 10, CO是NAC8

3、的平分线.若P,。分别是CO和AC上的动点，且AA3C的面积为24,则PA + PQ的最小值是（）12A.5B. 424C.5D. 56 .在ZU3C中，AB=BC,点。在KC上，BD=6cm, E,尸分别是,45, 8C边上的动点，ADE产周长的最小值为6 cm.则 ZABC =()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35。7 .如图，NAOB=60。，点P是/AOB内的定点且OP=JJ,若点M：N分别是射线OA22OB上异于点O的动点，贝SPMN周长的最小值是（D. 3C. 68 .如图，在等边A15C中，8F是边上的中线，点D在BF上,连接,口，在乂。

4、的右侧作等边连接石尸，当XE产周长最小时，NCFE的大小是（）B. 45°C. 60°D. 90°9 .如图，某公司有三个住宅区，A, B, C各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上（A, B, C 三点共线），已知AB = 150m, BC=90m.为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所 有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）卜1< 卜AB CA.点AB.点BC.点A, B之间 D.点C10 .如图，ZAOB = 30。，M,N分别是边上的定点,P, O分别是边04上的动点，记ZO

5、PM = a/OQN = p ,当MP + PQ + QN的值最小时，关于。，4的数量关系正确的是（）A.（一。=60。 b. Z? + a = 210° c,4一2=30。 d. p + 2a = 240°二、填空题11 .如图，.10为等边&1BC的高，E、尸分别为线段,4。、上的动点，且，E=CF,当昉+CE取得最小值时，NAFB -O12 .如图，NAOB=60° ,点P是NAOB内的定点且OP=4,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是.13 .已知NAOB=45。，点P在/AOB内部，点P1与点P关于0A对称，点

6、P?与点P关于0B对称，连接PR交OA、0B 于E、F,若P止=!，0P=点，则EF的长度是.14 .如图，在锐角MBC中，4C = &7，Smsc = 18c/, AO平分C, M、N分别是AO和A3上的动点,则BM +MN的最小值是cm .15 .如图，在RhXABC中，NACB=4。° , NABC=60° , AB=4,点D是BC上一动点，以BD为边在的右侧作等边BDE, F是DE的中点，连结AF，CF，则AF+CF的最小值是.三、解答题16 .在平面直角坐标系中，B(2, 2JJ),以0B为一边作等边aOAB (点A在x轴正半轴上).（1）若点C是y轴上任

7、意一点，连接AC,在直线AC上方以AC为一边作等边aACD.如图1，当点D落在第二象限时，连接BD,求证：AB±BD；若4ABD是等腰三角形，求点C的坐标：（2）如图2,若FB是0A边上的中线，点M是FB 一动点，点N是OB 一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画 出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值.17 .如图1,已知直线/的同侧有两个点A、B,在直线/上找一点P,使夕点到A、8两点的距离之和最短的问题， 可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线/的对称点，对称点与另一点的连线与直线/的交点就是所要找的点, 通过这种方法可以求解很多问题.（1）如图2,在平而直角坐标

8、系内，点A的坐标为（1,1）,点3的坐标为（4,3）,动点夕在x轴上，求月4 +08的最小值；（2）如图3,在锐角三角形ABC中，AB = 6, C = 600, NBA。的角平分线交8c于点。，M、N分别是AO和 A3上的动点，则8W+MN的最小值为.（3）如图4, ZAOB=30P, OC = 5, OD = 12,点E，尸分别是射线。4，08上的动点，则CF + EF + OE的最 小值为.18 .如图所示，已知点4是锐角NMON内一点，试分别在。河,CW上确定两点，使三角形48c的周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.19 .匚1）如图1,在aABC中NA二60。二BD二CE

9、均为ABC的角平分线且相交于点0.填空二NBO。度；求证二BC二BE+CD二（写出求证过程）匚2）如图 2,在aABC 中，AB=AC=m二BC=nn CE 平分NACB二若ABC的面积为S,在线段CE上找一点M,在线段AC上找一点N,使得AM+MN的值最小，则AM+MN的最小值是 二（直接写出答案）:：若NA=20。，则aBCE的周长等于 二（直接写出答案方20 .如图所示，两条河卜交于点。，某人牧马，早上从家点C出发，先到河岸4的点6处让马饮水， 然后再到河岸的点鸟处放牧，傍晚骑马到达马舍点。.他应如何选择马的饮水点A和放牧点鸟，才 能使所走的路程最短？（假定人都是直线）21 .如图二在回

10、（：的一边AB上有一点P.（1）能否在另外两边AC和BC上各找一点M二N：使得PMN的周长最短？若能二请画出点NUN的位置二若不能二请说明理由:若NACB二52。二在的条件下二求出NMPN的度数.22 .如图所示，在二/C中，二”。和二4C3的平分线交于点O,过点。作E尸二8C,交乂8于点瓦交乂。于点E（1）若二.0C=40。、二工。8=60。,求二BOE+ 二 COF 的度数;(2)若二IE尸的周长为8 cm,且3c=4 cn求二BC的周长.23.如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B, C, D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间3 的距离(单位：千米).一位游客从A处

11、出发，以2千米/时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为二小时.4(1)当他沿着路线ADCfE-A游览回到A处时，共用了 4小时，求CE的长：(2)若此学生打算从A处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你 为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由。【参考答案】1. D 2. C 3. D 4. C 5. C 6. C 7. D 8. D 9. D 10. B11. 105°12. 4015 . 2a.16 .解：（1）证明：OAB和4ACD是等边三角形,/.BO=AO=AB> AC=AD, ZOAB= ZCAD=60°,，N

12、BAD=NOAC,AB = AO在ABD 和aAOC 中，zBAD = AOAC .AD = ACAAABDAAOC (SAS),，ZABD=ZAOC=90°,AAB±BD；解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作 BMLOA 于 M,VB (2, 2存，.OM=2, BM=26,V AOAB是等边三角形，AAO=2OM=4,同得：ABDg/kAOC (SAS),，BD=OC, ZABD=ZOAC=90°,若ABD是等腰三角形，则BD=AB,/. OC=AB = OA=4,：.C (0, -4)：当点D落在第一象限时，如图1-1所示：作 BMLOA

13、于 M,VB (2, 273)，0M=2, BM=25vaoab是等边三角形，AAO=2OM=4,同得：ABDg/AOC (SAS),，BD=OC, ZABD=ZOAC=90°,若AABD是等腰三角形，则BD=AB,，OC=AB=OA=4,：.C (0, 4)；综上所述，若AABD是等腰三角形，点C的坐标为(0, -4)或(0, 4)：(2)解：作ONUAB于N，作MNLOB于N,如图2所示：.,OAB是等边三角形，ON_LAB, FB是OA边上的中线，AN，=LaB=2, BF±OA, BF 平分NABO, 2VON*±AB, NIN1OB,，MN=MbT,.N

14、和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，OM+MN=OM+MN'=ON,TON = yjAO1 -AN1 =-2? =2AOM+MN=2V3 ：即OM十NM的最小值为2jJ.17.解：(1)作点A关于x轴的对称点大，连接A8，24 +必的最小值即为A8的长，构造以48为斜边的直角三角形v A(l,l),.-. A (1,-1) 8(4,3)AC = 4-1=3,BC = 3 + 1=4在MAA8C中，由勾股定理得+即 AB = 732 + 42 =5所以P4+尸3的最小值为5.(2)作8_LAC于点H,交AD与点过点'作A/W'_L A3于点M,则 , BM+MN的最

15、小 值为 BM.+W,.AO 平分 ZaAC, BH 工 AC，M NAB,:.M N =M HBM t M N = BM + M H = BH在RtMBH中, ABAC = 60°ZABH = 30° AH =-AB = -x6 = 3 22由勾股定理得A2 + 82=A82BH = >jAB2 -AH2 = V62 - 32 = 36:.BM +M N =BH =3抠所以8W + MN的最小值为3J5-（3）作点C关于OB的对称点C，作点D关于OA的对称点D，连接C力分别交OA、OB于点E；F ,连接OCOD ,则CF + EF + DE的最小值为C'。&

16、#39;的长.由对称可得OA垂直平分。°,，OB垂直平分CC',. OD =。= 12, ZAOD = ZAOB = 30°。=OC = 5,/COD = ZAOB = 30°. ZD OC = ZAOD + ZAOB + /C OD = 90°在即AQ OC中由勾股定理得OC=+OO= =0。2/. CD =ylOC2+OD2 =V122+52 =13所以CF + EF + OE的最小值为13.18 .作法：（1）分别作点A关于射线OM、ON的对称点P、Q,（2）连结PQ,分别交OM、ON于点B、C.则B、C就是所要求的点.19 .匚 1 二在

17、aOBC 中，ZBOC=1SO°-ZOBC-ZOCBZ，2 ZBOC=360°-2 ZOBC-2 ZOCB 二VBDJCE均为aABC的角平分线，:.ZABC=2ZOBCO ZACB=2ZOCBZJ 2 ZBOC=360°-ZABC- ZACB 二1/. ZBOC=90°+- ZA32 I NA二60。口/. ZBOC=90°+-!-x60 °=120°Z2故答案为：120。二 证明：由（1二NBOC二120。二Z. ZBOEZ NCOD二 180。二 120。二60。二在BC上截取BF二BE,连接OF二 BD 平分 NAB

18、C 二AZEBOCZFBOZ又TBO二BO(公共边相等)，AEBOAFBO(SAS) NBOFZINBOE 二 60。口/.ZCOFjZBOCuZBOFZ120oZ60oZ600aZCODZ,CE 平分 NACB口:.NDCO23NFCO 二又.CCCCO(公共边相等):.ADCOAFCO(ASA)ACDCFZ，BC 二 BF+CF 二 BE+CD 二 二2二如图:当AMLBC时，与BC交于点D,过M作MN_LAC交AC与点DZ：CE 平分 NACB 口Z.DM=DNZ/. AD=AM+MD=AM+MN,此时，AM+MN的值最小,由 Saabc=-BC ADlBC=iiZaABC 的而积为 S

19、Z 2得AD=兰口 n或AB=AC,AD±BC. AB=AC=m 二 BC=iUABD=CD=-,2在RtAACD中，由勾股定理得AD=一:二故答案为：，（或）二n V 4如图：在CA上截取CD=CB.以E为圆心EC为半径画弧，与AC交于点F二AB=AC=m 二 NA=20°二，ZB=ZC=80°.CE 平分 NACB,，NBCE=/DCE=40。、CE=CE,/. BCEQDCE,.ZCDE=ZB=80°,ZDEC=ZBEC=60°,BE=DE,/. NCDE=40。，VEC=EEZEFC=ZECF=40°,，ZDEF=ZCDE-Z

20、DFE=40°,DE=DEZAEF=ZDFE-ZA=40°.20o=20o.Z.EF=AF,，BE=DF,CE=AE aBCE 的周长=BC+CE-BE=CD+AF+DF=AC=m.解：如图，作点C关于6的对称点C',作点D关于4的对称点O'，连结C'。'分别交直线6、"于点Pi、上，则点必、P2即为所求的点.21. (1)作出点P关于AC二BC的对称点DDG.连接DG交ACZBC于点M二N.点MZN即为所求.(2)设PD交AC于EZPG交BC于F二VPD±ACZPG±BCn/.zPECZZPFCZ900ZA NU/EPF二 180。. NC二52。二，NEPFZH28。./