机械振动学习题解答(四)

1、机械振动学机械振动学习题解答（四）习题解答（四）2013-06-051 微分方程微分方程杆的纵向振动轴的扭转振动弦的横向振动梁的横向振动连续系统振动问题的解题思路连续系统振动问题的解题思路2222( , )uuAEAf x ttx22222Luuctx受迫振动自由振动2LEc2222( , )ppIGIT x ttx22222Tctx2TGc2222( , )yyTf x ttx22222yyctx2Tc2424( , )yyAEIf x ttx242240yyctx2EIcA波动方程波动方程2 边界条件边界条件杆纵向位移轴扭转角度弦横向挠度梁横向挠度连续系统振动问题的解题思路连续系统振动问题

2、的解题思路ufEAxu纵向力固定端0u 自由端0f pTGIx扭矩固定端0自由端0T yfTxy横向力固定端0y 自由端0f yxy转角固定端0, 0y简支端22yMEIx弯矩剪力33yVEIx0, 0yM自由端0, 0MV3 自由振动的解自由振动的解杆、轴、弦的波动方程（以杆为例）令 ，代入方程得解得所以梁的自由振动方程令 ，代入方程得解得或连续系统振动问题的解题思路连续系统振动问题的解题思路22222Luuctx( , )( )i tu x tU x e220LUUccossinUCkxDkx/Lkc()1cossinnitnnnnnuCk xDk x eC、D和k由边界条件确定24224

3、0yyctx2EIcA( , )( )i ty x tY x e2(4)20YYc1234kxkxikxikxYC eC eC eC e/kc1234cossincoshsinhYDkxDkxDkxDkx()cossinnitnnnneAtBt也可写为（）(a)4 强迫振动的解强迫振动的解(1)直接法当激励恰好作用在边界上时，把激励写到边界条件里，然后用类似于求解自由振动的方法（例如习题8-3）(2)模态法（以梁为例）运动方程令其中Yn(x)为通过自由振动方程求解出的振型函数，它满足把(2)代入(1)，并利用(3)，得连续系统振动问题的解题思路连续系统振动问题的解题思路2424( , )yyA

4、EIf x ttx1( , )( )( )nnny x tY xt(4)4nnnYk Y4222/, /()nkccEIA其中(1)(2)(3)411( , )nnnnnnnAYEIk Yf x t(4)（即上页(a)式）对(4)两边同乘以Ym(x) ，再沿长度积分，并利用振型函数的正交性得即其中按单自由度受迫振动的求解方法即可求出(5)式的解。连续系统振动问题的解题思路连续系统振动问题的解题思路2( )nnnnQ tAb 0( )( )0 LnmY x Yx dxnm200( )( , ), LLnnnQ tY f x t dxbY dx(5)242000( , )LLLnnnnnnAY d

5、xEIkY dxY f x t dx 81 求图示阶梯杆纵向振动的频率方程。解：解：微分方程振型函数代入边界条件：振型函数：22222211222222, LLuuuucctxtx2LEcu1u21111222112( )cossin, 0( )cossin, U xCkxDkxxlUxCkxDkxlxll1(0)0U212()0U ll1121( )( )U lU l111221( )( )EAU lEAU l10C 2212tan ()DCk ll112121sincossinDklCklDkl11122121coscossinADklA DklCkl消去C1，D1，C2，D2 ，得频率方

6、程1121121211tantan ()tantan ()tan/klk llklk llklAA1122tantanAklklA/Lkc82 长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0的圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在Is I0的情形下校验频率方程的正确性。解：解：微分方程令 ，得振型函数：边界条件：即注：圆盘的转动惯量2200(0)(0), ( )( )ssGI QIQGI Q LIQ L 22222Tctx2TGc( , )( )i tx tQ x e( )cossin, /TQ xCkxDkxkc220022(0, )(0, )( , )( , ), s

7、sttL tL tGIIGIIxtxt 0JI，是因为：4420002111,3222mIdrJmrIIr注：圆轴两端的扭矩方向必定相反振型函数代入边界条件，得：两式联立，得：00, (tan)(tan)sskI CI DkI CDkLIDCkL 022202/tan/1sskIIkLk II 所以频率方程：当Is I0时，(*)式左边(*)式左边所以此时系统近似为一个忽略轴的惯性的二自由度系统，其微分方程为220022tantanssIIkkkLkLII (*)tan/kLkLLG0222002/2/ssskIIIGk III 202/2stGILkIJ频率只能是正数，所以负号应舍去ktJJ

8、11220ttttkkJkkJ220ttttkJkkkJ方程的解2120, 2/tkJ83 长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sint施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为。解：解：（直接法）微分方程令 ，得振型函数边界条件：即22222Tctx2TGc0( , )(0, )0, sinpL ttGITtx( , )( )sinx tQ xt( )cossin, /TQ xCkxDkx kc0(0)0, ( )pQGI Q LT振型函数代入边界条件，得：00, cospCGI DkkLT0cospTDGI kkL所以稳态响应0( , )sinsincospTx

9、 tkxtGI kkL注：此题也可用模态法，得到的结果将是模态叠加的形式。84 初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。解：解：（模态法，首先进行自由振动分析）( )cossinY xCkxDkx代入边界条件：解得所以振型函数（再进行受迫振动分析）(0)0, ( )0YY l/kT 设振型函数( )sin, /nnnnnY xDk xkTnl2222( ) ()2yylTPu txtx0, sin0Ckl1( , )( )( )nnny x tY xt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)满足(3)2nnnYk Y0 0( )1 0t

10、u tt根据单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应公式（课本p110式(2)），(5)式的解为所以系统响应式中2( )nnnnQ tb 将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得21200sin(1 cos2)/ 2llnnbk xdxk x dxl221( )sin1 cos2nnnPnttl 0( )( ) ()sin( )sin( )sin222lnnnllnQ tPu txk xdxPu tkPu t2111 cos2( , )( )( )sinsin2nnnnnntPnny x tY xtxll所以(4)式变为(5)(4)22sin( )2nn

11、nPnu tl 将Yn代入公式时没写系数Dn ，因为即使写了最后也会约掉注： 函数有以下性质000( ) ()()lf xxx dxf x85 当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t = 0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。解：解：（模态法，首先进行自由振动分析）1234( )cossincoshsinhY xCkxCkxCkxCkx式中代入边界条件：解得振型函数（再进行受迫振动分析）(0)0, (0)0, ( )0, ( )0YYY lY l42/()kAEI 设振型函数( )sin, /nnnnY xCk xknl2424()yyAEIPxvttx1( , )( )( )nnny x tY xt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)满足(3)(4)4nnnYk Y根据单自由度无阻尼系统受简谐激励的总响应公式（课本p98式(4-32)）(5)式的解为式中2( )nnnnQ tAb 将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得21200sin(1 cos2)/ 2l