数值分析总复习

1、 (数 值 分 析 ) 数 值 代 数 数 值 逼 近 方 程 求 解 () 一 数值计算与分析在求解实际问题中位置。实际问题数学模型计算方法修正输出预测结果结果检验实际计算模型误差方法误差测量误差 舍入误差 数值分析 总复习 解线性方程组 矩阵特征值与特征向量 数值代数 直接方法 迭代法解线性方程组的直接方法 一般的线性方程组解法： 列（全）主元素Gauss消元法 LU分解（直接三角分解法） 特殊的线性方程组解法： 平方根法（改进）对称正定矩阵 追赶法 三对角方程组 矩阵表示与计算量 误差分析（条件数）： 向量、矩阵范数， 误差分析（条件数）误差分析（条件数）， 病态方程。右端项b的扰动对解

2、的影响11 , bbxxAbAAbxbxbA设 有 扰 动， 相 应 解 的 扰 动 记 为即系数矩阵A的扰动对解的影响1111 , 11AAxxAAAAAxAAxAAAAA如果右端项无扰动，系数矩阵 有扰动，相应的解 的扰动仍记为则误差分析* AxbxxrbAxrxr在求得方程组的一个近似解 后，检验精度的一个简单方法是将 代入方程组求得残量（余量）。如果很小，就认为解 比较准确。但在“病态”严重的方程组，也有即使残差量很小，近似解与准确解的差仍很大的情形。* - ().xxAxbxxrrcond Axb设 和分 别 是 方 程 组的 准 确 解 和 近 似 解 ，为 残 量 ， 则解线性方

3、程组的迭代法方法 迭代方法： 雅可比（Jacobi）迭代法 高斯赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法 松弛法 迭代矩阵的表示 迭代法的收敛判别：迭代法的收敛判别： 矩阵的谱半径 迭代法的收敛定理及推论（迭代矩阵） 对系数矩阵A的三条判别原则 误差估计与停机准则 雅可比(Jacobi)迭代法1111221n12112222n2n11n12nn 0 (1, 2,),nnnniiina xa xa xba xa xa xba xa xa xba若 系 数 矩 阵 非 奇 异 即则 有112213311221123322n112233 nnnnnnnngxb xb xb xgxb xb xb xx

4、b xb xb x,(, ,1, 2,),(1, 2,).ijiijiiiiiabbij i jnginaag 其 中(1)() nnxBxg11,BID AgD b高斯塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法(1)()()()112213311(1)(1)()()221123322(1)(1)112 kkkknnkkkknnkknnngxb xb xb xgxb xb xb xxb x(1)(1)2,11 kkn nnngb xbx121312123231321121(1)1( )11000000000()() () nnnnnnnnkkaaaaaaLUaaaaaaxD LUxD LbMD

5、LU为迭代矩阵。松弛法(1)( )(1)1(1)( )( )11 (1,2, ) kkkkiiiinkkkiijjijjiijj ixxxxxxxxb xb xgxinAxb 松弛法是将乘上一个参数因子 作为修正项而得到新的近似解，具体公式为即按上式计算的近似解序列的方法称为松弛法，称为松弛因111GaussSeidel子。当时称为低松弛；是迭代；时称为超松弛法。 ,1.JacobiGauss-Seidel2.01,3.02AxbAAA设有线性方程组下列结论成立：若 为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则迭代法和迭代法均收敛。若 为严格对角占优阵，则松弛法收敛。若 为对称正定阵，则松弛法收敛

6、的充要条件为。(0)(1)( )( ) (0,1,2,)()1.kkkxgxMxgkxM定理：对任意初始向量和右端项 ，由迭代格式产生的向量序列收敛的充要条件是(1)( )( )1 1, (0,1,2,) .kkkMxMxgkx推论若由迭代格式产生的向量序列收敛 2 02推论松弛法收敛的必要条件是。矩阵特征值与特征向量的计算 幂法（幂法加速）满足条件的实矩阵最大特征 值及其相应的特征向量。 反幂法满足条件的实矩阵最小特征值及其相应 的特征向量，某一特征值及特征向量的校正。 雅可比方法（旋转变换）实对称矩阵全部特征值 及其相应的特征向量。 QR算法（豪斯豪尔德方法） 中小型矩阵全部特 征值及其相

7、应的特征向量的最有效方法。 数值积分与微分数值逼近基本思想：基函数方法插值法函数逼近插值法 拉格朗日（Lagrange）插值及误差公式： 构造基函数 牛顿（Newton）插值及误差公式： 差商、牛顿插值公式； 差分（向前、向后、中心）、等距节 点插值公式。 埃尔米特（Hermite )插值及误差公式： 构造基函数、特殊及一般形式。 分段低次插值： 分段线性插值、分段埃尔米特插值。 样条插值构造方法 构造满足条件要求的多项式插值函数并给出构造满足条件要求的多项式插值函数并给出截断误差（误差公式）。截断误差（误差公式）。拉格朗日（Lagrange）插值及误差公式0 01 10( )( )( )(

8、)( )nnn nk kkP xy l xy l xy lxy lx11( )( )()()niinixl xxxx011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxxxxxx101( )()()()nnxxxxxxx1011( )()()()()niiiiiiinxxxxxxxxx(1)11( )( )( )(1)!nnnRxfxn 牛顿（Newton）插值及误差公式( )(),(),()(),()()()n00100120101n01n 1Nxf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx 0101( ) ,()()()

9、nnnRxf x xxxxxxxxx埃尔米特（Hermite )插值及误差公式210( )( )( ).nnjjjjjHxyxmx201( )1 2()( ).njjjkjkkja xxxlxxx2( ) () ( ).jjjxx x l x011011()()()()( )()()()()jjnjjjjjjjnx xx xx xx xl xxxxxxxxx0,( )( )0,1,( )0,( )( ,0, 1,),jkjkjkjkjkjkjkxxjkxxj kn(22)2211( )( )( )( )( )(22)!nnnfR xf xHxxn(2)10( )( )( )( )( )()(2

10、)!km nmnjkfR xf xH xxxxmn 分段低次插值龙格现象分段线性插值：分段三次埃尔米特插值：11111( )()kkhkkkkkkkkxxxxI xffxxxxxxx 2101( )( )( )8max (),max( )hiii nax bhR xf xIxMhxxMfx 函数逼近 最佳平方逼近： 函数逼近： 法方程、正交多项式（格拉姆施密特 方法、勒让德多项式、第一类切比雪夫、 其它正交多项式）及其误差。 数据拟合： 法方程、正交多项式（格拉姆施密特 方法）及其误差。 函数最佳一致逼近： 近似最佳一致逼近（第一类切比雪夫性质）。构造最佳平方逼近（法方程、正交多项式法）多项式

11、，给构造最佳平方逼近（法方程、正交多项式法）多项式，给出误差；出误差；20100( , ,)( )( )( )mnnijjiiijI a aaxaxf x002( )( )( )( )0mnijjiikiijkIxaxf xxa0 (,)()()()mjkijikiixxx记0( ,)() ()()mkiikikifxf xxd00010011011112011(,)(,)(,)(,)(,)(,)=(,)(,)(,)nnnnnnnnadadad 法方程正交多项式00,;(,)( )( )( )0,.mjkijikiikjkxxxAjk *020()()()(,)(,)()()miikikikm

12、kkikiixf xxfaxx22*2220() .nkkkfAa平方误差为平方误差为 (0,1, )kn勒让德多项式 当区间为1,1，权函数 时，由 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre) 多项式 。()1x1, ,nxx012233424()1()1()( 31 )21()( 53)21()( 3 53 03 )8PxPxxPxxPxxxPxxx 110,;( )( )2,.21nmmnP x P x dxmnn第一类切比雪夫多项式 当区间为1，1，权函数 时，由序列 正交化得到的正交多项式。 21( )1xx1, ,nxx( )cos( arccos ),1.cos ( )c

13、os,0nnT xnxxxT xn若令，0122233( )cos 01( )cos( )cos 22 cos121( )cos343TxTxxTxxTxxx1210,( )( ),0;21,0.nmnmT x Tx dxnmxnm数值微分与数值积分 数值微分： 差商型、插值型求导公式及截断误差， 样条函数求数值微分（非节点处）。 数值积分： 牛顿柯特斯(Newton-Cotes)求积公式（对近 似多项式插值函数求积，机械公式） 复化求积公式 (对近似分段低次插值函数求积) 龙贝格（Romberg)求积公式 (提高收敛速度) Gauss型求积公式(两组参数:节点xk、求积 系数Ak，最高代数精

14、度代数精度为2n+1.Gauss 点与正交多项式的关系，几种公式。) 确定求积公式中的待定参数确定求积公式中的待定参数,代数精度的概念。代数精度的概念。牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a, b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。次代数精确度。公式有立，则称该求积次多项式时不全精确成是等号成立；而对的代数多项式时，式中次数不高于为任意一个若的常数。是不依赖于其中：对一个一般的求积公式定义（代数精确度）。 1 k0knn)x(fn)x(f)x(fA)x(fAdx)x(fknkba+=高斯勒让德

15、公式110 ( )() ( )nkkkf x dxA f xxn+1此为高斯勒让德公式，区间为-1,1,勒让德正交多项式P的零点就是其高斯点。0 ( )() 22,(0,1,),(0,1,)nbkkakkfx dxA fxnAknknkk求积公式含有个待定参数x适当选择这些参数使其具有2n+1次代数精度。这类求积公式称为高斯公式。x是高斯点。高斯公式高斯公式212101 (),1,11() ()1 21co s(0 ,1,).22nkkkkxxxfxd xAfxxkxknn当时 ， 所 建 立 的高 斯 公 式称 为 高 斯 切 比 雪 夫 公 式 。 高 斯 点 为 n + 1 次 切比 雪

16、 夫 多 项 式 的 零 点 。一般的高斯公式求取（由代数精确度）0 21 ( )( )()( )0nbkkaknxfx dxA fxx对 于 任 意 次 数 不 超 过的 多 项 式 均 能 准 确成 立称 其 为 带 权 的 高 斯 公 式 。 其 中为 权 函 数 。带权的高斯公式 非线性代数方程 微分方程方程求解 常微分方程 偏微分方程非线性方程解法 二分法及其条件 简单迭代法及收敛条件 如何判断简单迭代式是否收敛如何判断简单迭代式是否收敛 Newton法 非线性方程线性化，切线法。 弦截法 用差商代替导数 抛物线法 由根的三个近似点构造函数的二次 插值多项式。 收敛充分性定理*01*

17、 ( )(,)( )( )1, () (0,1,2,).nnxxO xxxxxxxxxxnx 定理：如果函数在 的一邻域内连续可微， 为方程的根，且则存在正数使得对任意迭代序列收敛于 收敛充分性定理(三) 常微分方程数值解法 常微分方程离散化方法：差商近似导数、数 值积分、Taylor多项式展开多项式展开。 Euler 方法的理论解释、误差分析、收敛性。 数值稳定性概念与分析方法。 Runge-Katta 方法 的算法产生与稳定性分析。 线性多步法的算法产生。 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法。 选取参数使某种形式的选取参数使某种形式的RK公式或线性多步公式或线性多步为为n阶方法，并估计

18、其局部误差。阶方法，并估计其局部误差。 泰勒展开公式泰勒展开公式Runge-Kutta法的基本思想11111(,)(,)(2,3,)pnniiinniininijjjyyhc KKfxyKfxa h yhb Kip ( ,)(,)( )nnnf x yxyTaylory xxTaylor于是可考虑用函数在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造是要求近似公式在处的展开式与解在处的展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。即避免求偏导，又提高了方法的精度，此为RK方法的基本思想。线性多步法10111n ,(,)00 TaylorTaylorxTaylor)rrnin iin iiiiikkkyyhfff xyn+1线性多步法，其一般形式为其中均为常数，。若 ，显式；，隐式。构造线性多步公式常用展开和数