小滑车倒摆系统的模糊数学建模

1、控制系统的数学模型 例例 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。 解：解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角。 （2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ，于是 cossinlylxxAA),(AAyx画出系统隔离体受力图如图2.5所示。oF图2.5 隔离体受力图yMxllAmgVVHHl coso图2.4 倒立摆系统1yFxmgllPMA第二章 控制系统的数学模型1

2、cossin22HlVldtdJ式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。 摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为HdtxdmA22Hlxdtdm)sin(22摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为mgVdtydmA22即（2.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为mgVldtdm)cos(22小车沿x轴方向运动方程式为22d xMFHdt（2.3）（2.4）方程（2.1）（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。 222sincos*(sin )*(4 3*cos()*(sincos )gFmllmmMFmlxMm1221121221

3、34221214sincos*(sin)*(4 3*cos()*(sincos)xxgxxFmlxxxlmxmMxxFmlxxxxxMm设1234 ( ),( ), ( ),( ) ,Xtt x t x tx x x x则有如下非线性状态方程组：对于线性时不变（LTI）系统：)()()()()()( tDutCxtytButAxtx反馈控制系统：反馈控制系统：假定有假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。用于反馈。KxVu（2）则有则有1DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）输出反馈输出反馈 采用采用HyVu（4）H 为为 常数矩阵常

4、数矩阵mr11xAxB(VHy)ABH(IDH) CxBBH(IDH) DVDVDHICxDHIy11)()(n两者比较：状态反馈效果较好；两者比较：状态反馈效果较好；n 输出反馈实现较方便。输出反馈实现较方便。线性二次型(LQ)最优控制器的任务是设定Q、R、N设计出最优控制器K（H）使线性二次型最优控制指标(代价函数)： fttTTTdtNuxRuuQxxJ0)(21最小n由于线性二次型的性能指标易于分析、计算、处理，可得到要求的代数结果，相角裕量的优点，因而在控制系统的各个领域内都得到了广泛地重视和应用。n 然而，线性二次型调节器(LQR)控制的闭环系统的动态响应与加权系数矩阵Q和R之间存

5、在着非常复杂的对应关系，这就给加权矩阵的选择带来许多困难，目前普遍采用的仿真试凑法无疑限制了LQR设计方法在工程上的推广应用。采用试凑法获得的最优控制是“人工”意义下的最优，而不是真正意义上的最优。因而采用基于仿真(Matlab)的优化方法求取最满意解是解决这类问题的最佳途径。LQ和LQG最优控制函数1假设线性控制系统的状态方程为：( )( )xAx tBu t01()2TTJx Qxu Ru dt寻求控制函数u(t)使得如下的二次目标函数最小：根据泛函分析的极值原理，可以得到最优控制规律：*11其中P为下列Riccati方程的正定解：PA+AP+PB0uRBPxKxRBPQ 设系统的状态方程

6、为：T00100()001()0()1461采 用 状 态 反 馈 ， 系 统 性 能 指 标 为 ：100J(010*)001x tx tu txxuu d t设计最优控制器KA=0,1,0;0,0,1;-1,4,-6;B=0,0,1;C=1,0,0;D=0Q=diag(1,1,1);R=1;K=lqr(A,B,Q,R)K1=K(1)Ac=A-B*K;Bc=B*K1;Cc=C;Dc=DStep（Ac,Bc,Cc,Dc）； )()()()(00yyxxiiBBAAi2100220011),(),(yxfyxfzJjjJjjjyxy11/)(pjnjjjxcxccy00110piiAjxji10

7、)(pijijiix12021exppijijiix12021exp,002010pxxxx0 xj)(0iAxjijiAjc0ix0JjnijijiijJjjJjjjxccxy121011021exp)(Jjjjjcc10) is (AND)AND is (AND) is (2211jppjjAxAxAxjBy is jAx is jBy is 1111111 Then , is and is ryqxpfzByAxR：2222222 Then , is and is ryqxpfzByAxR：2 , 1 ),(, 1iforxOiAi4 , 3 ),(2, 1iforyOiBiibiiAacxx211)(2 , 1 ),()(, 2iyxwOiiBAii2, 1 ,21, 3iwwwwOiii2, 1 ),(, 4iryqxpwfwOiiiiiiiiiiiitiiiwfwfwO,5 , ,mod(1.,0,0,0,0,0)A B C Dlincp mdl3 , 3,3 , 3 1 , 1,3 . 0 , 3 . 0 xx在每一个状态上均匀划分1000005000010000005QR=0.5 N=0用matlab函数：, ,( , , ,)K S Elqr A B Q R N。infis);,anfis(datah;2,2,2,2)ta,genfis1(dainfisendR