平面向量七种解法及四心问题及常见题型汇总

1、青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。向量的解法总结一、基底法例1.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点，AD=1AB,B已2BC.若是23入lAfe+入2AC（入1,入2为实数），则入1+入2的值为.在平行四边形ABCD中，AD=1,/BA氏60°,E为CD的中点，若ACBfe=1,则AB的长为.例3.如图，在ABC中,BAC120°,AB2,AC1,D是边BC上一点,亚1码，西三画=1,而二福十访.若I屈1京则区IDC2BD,WJADBC二、坐标法的取值范围是（人9,：例4.在平面上,例5.设AABCP0是边AB上一定点，满足P十二施，且对于边AB上任一点P,恒

2、有西无P0D-Pcc'则（）A./ABC=90B./BAC=90C,AB=ACD.AC=BC三、模方法例6.AABC内接于以O为圆心的圆，且3欣+4瓦5而=5.则/C=cosA=.例7.（2013?折江）设曷、司为单位向量，非零向量汇国+再，x、yCR.若司、司的夹角为30。，则鲁的最大值等于.青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。四、数量积法例8.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为1200.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧而上变动.若OCxOAyOB,其中x,yR,则xy的最大值是.例9.在4ABC中，AB=2AC=2/BAC=120,屈面二-若记武+叼园（O是A

3、BC的外心）,贝UX1+X2的值为几何法例10.在ABC,若对任意kCR,有|浜-版|，豆|,则ABC勺形状是（A.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形B.等腰三角形D.等腰直角三角形例11.已知心b是单位向量，a,b=0,若向量心满足RW卜1,则IcI的取值范围为（）A.l®+3B.典7，V2+2C.口,6+1D.口,也+2例12.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OHm（OAObOC）,则实数m=六、面积法例13.已知O是ABC内一点，OA+OC=-3oK,则AOBfAAOC勺面积的比值为.七、射影法则靠？BC等于例14.已知P为4ABC勺外心s且|面=4,|画=

4、2,例15.已知O为4ABC的外心，8sA二日，若前二口话+B葭，则口十B的最大值为（A._1B.。C平D.33234青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。“四心”问题1-重心一一三角形的三条中线的交点；2-垂心一一三角形的三条垂线的交点；3-内心一一三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；4-外心一一三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件.比如：重心将中线长度分成2:1;垂线与对应边的向量积为0;角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等.与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：设0,则向量设0,

5、则向量设0,则向量ABC的垂心(空ABAB9ABABAC.一.=）必平分/BAC该向量必过ABC勺内心;ACAC当）必平分/BAC的邻补角ACABcosBACACcosC）必垂直于边BC,该向量必通过zABCtABAC一定过BC的中点，通过ABC勺重心点O是ABC勺外心-：.2OA2OB-2OC点O是ABC勺重心OAOBOC0点O是ABC勺垂心OAOBOBOCOCOAOA123BC2网2I可2I56(2AB点O是ABC勺内心aOAbOBcOC0(其中a、b、c为ABCS边）ABOA(|AB|BAOB(|BA|BC-CA)OC(|BC|CA|设O为ABCf在平面内任意一点，G为ABC勺重心,Xa

6、+Xs+%Ya+YB+YC并且重心G(一-一，一-33例1P满足:已知O是平面上一5?二五彳十兄（初十0?）定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点,则P的轨迹一定通过ABC勺（A外心B内心C重心D垂心青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。例2P是ABCT在平面上一点，若PAPSP5PC=PC-PA,则P是4AB的（）.A.外心B.内心C.重心D.垂心例3已知P是ABCff在平面内的一动点，且点P满足OP=OAA咎+谷屈klj则动点P定过ABC勺A、重心B、垂心四、外心问题C、外心D、内心例4已知O是ABC内的一点，若则O是4ABC的A.重心B.垂心C.外D.内心练习1:已知O为三角形

7、ABC所在平面内一点，且满足1oa.2BC,2OBF2OC网二则点O是三角形ABC的（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2:设O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点p满足OpOAABABcosBACACcosC0,则动点P的轨迹一定通过ABC勺（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心OP30,|OP|OF2|0即1,3、已知向量OR,OE,OP3满足条件OPOP，求证：PP2F3是正三角形.4、ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,OHm（OA0b0c）,则实数m=.青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。平面向量常见习题汇总：1一一一1. （2020?北

8、京卷）已知正万形ABCD的边长为2,点P满足AP-（ABAC）,则|PD|;PBPD.（建系）2. （2020?全国1卷）设a,b为单位向量，且|ab|1,则|ab|（模方）3. （2020?全国2卷）已知单位向量a,b的夹角为45。，kab与a垂直，则k=（垂直）4. （2020?全国3卷）已知向量a,b满足|a|5,|b|6,ab6,则cos（a,ab）=（夹角）5. （2020?江苏卷）在ABC中，AB4,AC3,ZBAC=90,D在边BC上，延长AD3到P,使得AP=9,若PAmPB（-m）PC（m为常数），则CD的长度是（相交问题运用向量共线定理）青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒

9、于水。6. （2020?新全国1山东）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则APAB的取值范用是（）（射影）B.(6,2)A.(2,6)C.(2,4)D.(4,6)7. (2020?天津卷)如图，在四边形ABCD中，B60,AB3,BC6,且-3.ADBC,ADAB则实数的值为,若M,N是线段BC上2（建系转化为函数最值问题）的动点，且|MN|1,则DMDN的最小值为.&.（2020?浙江卷）设0,a为单位向量，满足|24易|衣，a062,b3G62,设a,b的夹角为，则cos2的最小值为.【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。9.已知向量=(3,1),=(-1,3,0=mOA-nOB(in>0>>0)j若m+2.KUICJ'I的取值范围是()A.倔2月民十,2校)C(75.21/10)D.Z5.2v1610 .如图所示，儿孙是圆。上的