平面图形中的解三角形

1、利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面图形问题1.如图，。是直角A45C斜边SC上一点，(I)若N£MC=30，求角8的大小;(II)若53=2。，且40=2，！，求。C的长.2 .如图，在平面四边形ABCD中，ABlADtAB=1,AC=/,ZABC=半,ZACD=3 .如图，在四边形45co中，A6=3,8C=7b，CO=14.6O=7,/64O=120。.(1)求A。边的长：(2)求AA5c的面积.4 .如图，在ABC中，BC边上的中线AD长为3,且cosB=4,cosZADC=-i(1)求sinNBAD的值;求AC边的长.5 .如图所示，在平面四边形A5c。中，ABLAD,ZA

2、DC=.七为A。边上一3点，CE=",DE=i,AE=2,NBEC=".DA(1)求sin/CEO的值;(2)求比:的长.6 .如图，在ABC中，点。在边43上，CD1BC9AC=5jJ，8=5,BD=2AD.(I)求的长；(II)求ASC的面积.7 .设锐角ABC的三内角AB,C的对边分别为a,b、c向量而_=(sinA,)_=(1,sinA+&COSA),n2,已知7与共线.(1)求角A的大小：(2)若a=2,c=4jlsin5,且A6C的面积小于JI,求角5的取值范围.8 .在A4BC中，内角A、B、C对应的边长分别为。、b、c,已知cacosB-h=a2-h

3、2.I2)(1)求角A；(2)若4=求+c的取值范围.9 .(2012东至县一模)在AABC中，内角A、B、C对边长分别是a,b,c,已知c=2,C3(I)若AABC的面积等于43，求明瓦(II)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ZkABC的面积.10 .已知?=(cosx+JIsmx,1),=(2cosx,-y)满足/小=0.(1)将y表示为x的函数/(x),并求/(x)的单调递增区间；fA(2)已知ABC三个内角4,6.C的对边分别为。力,c,若/一=3,且4=2,求A46c面枳的最大值.试卷第2页，总3页11 .如图，在A48C中，AB=12,AC=3&.8C=5&q

4、uot;,点。在边8C上，且ZADC=60.(1)求cosC；(2)求线段AO的长.参考答案1. (I)4=60。：(II)2.【解析】试题分析：(I)由正弦定理求出sin/AOC=G-,可得NAOC=120。：(II)设。C=x,在A45。中，由余弦定理整理出关于x的方程，解方程求出2.,试题解析：(I)在AABC中，根据正弦定理，有X_=_匹sinZADCsinZDAC又ZAOC=ZB+N8AO=N8+6(r>60°所以NA£>C=120。.于是NC=180°-120°-30°=30°,所以4=60°.(H)

5、设OC=x，则5O=2x,BC=3x,AC=O'.于是sin5=,cosB=,AB=V6.v.BC33在Mb。中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB,即（2。2=6丁+4/-2乂返犬乂2犬乂孚=2/，得戈=2.故DC=2.考点：正弦定理、余弦定理.J214>/72. (I)(II)士.【解析】忒题分析：（I）利用余弦定理，求出5c的值，再利用正弦定理即可求sm/ASC：（II）由A8_LA。及（1）可求得NC4Q的余弦值与正弦值，得用三角形内角和定理及两角和与差的正弦公式可求出smD,再利用正弦定理即可求DC的长.成题解析：（I）在A4BC中，由余弦定理得：

6、AC-=BC2+BA2-IBCBAcosB,即8（寸+8。一6=0,解得：8C=2，或BC=3（舍），由止弦定理得:BCsinZBACsmBAC./,“BCsinBVH=sin4BAC=-.AC7(II)由(I)有:cosACAD=sinABAC=,sinZC4D=7所以sin。=smZCAD+-3修亭呼亭本卷由系统门动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。26由正弦定理得:DCACvACsmZCADV7-4"sinZCADsinDsinD575考点：1.正弦定理与余弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和定理.3. (1)AZ>=5：(2)4【解析】试题分析：（1）在AMO

7、中，由余弦定理列出方程，即可求解4。边的长：（2）在AABD中，由余弦定理，得cos/A6O=l，进而得sin45C=N,利用三角形的面积公式,1414求解三角形的面积.试题解析：（1）在AZ»中，由余弦定理，得瓦尸=AZT+AO2-2A6Ar>cosl20。,I即7?=32+AQ2x34O-,解之得AZ)=5或4。=一8(舍去)，所以AO=5：I2)(2)由已知，BC2+BD2=CD，,所以NC6O=90°,在中，由余弦定理，得，所以smZABC=sin(ZABD+90。)=cosZABD=,所以sinZA8C=lx3x76x1=22144考点：正弦定理与余弦定理的

8、应用.4. (1)；(2)AC=4.4【解析】试题分析：根据同角三角函数关系式由cos8=叵，cosNAOC=J可求得sinB,84sin/AOC的值.因为4AO=ZA£>C-ZB,可由正弦的两角差公式求得sin/5A。的值.（2）在MBD中可由正弦定理求得BD的长，即DC的长,然后再在A4OC中用余弦定理求得AC的长.试题解析：解：（1）因为cos3=巫，所以5山5=还88又cosZAOC=-1,所以sinZAOC=44所以smABAD=sin(ZADC-4)答案第2页，总8页=sinZADCcosB-cos/ADCsinB(2)在AABO中,ADBD53BD=L得尸=t=s

9、inBsin/BAD35/65/6ST解得BD=2.故DC=2,从而在AADC中，由AC2=AD2+DC2-2ADDCcosZADC=3:+22-2x3x2x-lj=16,得4C=4.考点：1两角和差公式;2正弦定理，余弦定理.【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、两角和差公式，屈于中档题.解题时一定要注意角的范围，三角形内角的正弦值均为正，否则很容易失分.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键定三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.5.

10、（1）:（2）.7【解析】/TT试题分析:（1）在COE中，由余弦定理求解CO,再利用正弦定理求出srnNCED=当一（2）利用三角函数的诱导公式与和角公式求出cos/AE8的值，再在RtAASE中,BE=4".试题解析：（I）在。七中，由余弦定理得：CE=CD2+DE，-2CDDEcosNCDE,整理得：。2+86=0即8=2,又由正弦定理得CDsmNCEDCEsinZCDE,所以sin/CED叩2_"suiZ.CED.2/rsin,又AAEB卫-乙CED、733(H)因为NCEOwO,j,所以cos/CEO=本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,本案仅供参考所以cosZ

11、AEB=cos=coscosZ.CED+sinsinNCED331 266V21=XHX2 72714所以在RtZABE中，BE=-=40.cosZAEB考点：正、余弦定理的应用；三角函数的诱导公式及和角公式的应用.6. (I)5：(II)4【解析】试题分析：(I)设AD=x(x>0),则8。=2工.因为CDJ_8C,CD=5,BD=2x,所以cosZCD=由余弦定理得BD2xcosZADC=+840=1+标-因为cosZADC=-cos4CDB,2xADxCD2xjx5即K-+:一。")-=一上.解得x=5.所以AD的长为5:(11)由(1)AB=3.X=15，2xxx52x

12、所以SM&=xA5x8CxsmNC84可得正确答案IOL2试题解析：（I）在A4BC中，因为BD=2AD,设AD=x（工0）,则BO=Zr.在AFCD中，因为CDJ.BC,CD=5,BD=2x.所以cosNC£>B=2.在AACQ中，因为CD=5,AC=5，J,x2+52-(5>/3)22xxx5BD2x由余弦定理得COSZADC=AD+CADxCDZCDB+Z4DC=7t,所以cosZADC=-cosZ.CDB,即厂+5-一(八后)-=_2,解得x=5.所以的长为5.2xxx52x(II)由(1)求得A8=3&=15,6C=>/4C-25=*.所以

13、C0S/C6O=-=BD2答案第4页，总8页从而suiZ.CBD=L，所以S»bC=xABxBCxsinZ.CBA=-x15x5寿x-=.22224考点：余弦定理及三角形面积公式.A=(7. (1)3(2)0.I6J【解析】试题分析：(I)利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；(II)通过a=2,c=4sinB,且ABC的面枳小于,得到B的余弦值的范用，然后求角B的取值范用3.sinA(smA+君cosA)=试题解析：(1)因为，与“共线，则23sin-A+y/3smAcosA=即21-cos2A下.、八3十sin2A=/汽、所以22

14、2即sm2A=16j2A-=-A为锐角，则62,所以7TA3(2)因为=2,c=4jJsin8,则SApr=-acsmB=-x2x4>/3sin2B)2=4>/3sm"B3S25.cos2>由已知，2jJ2jIcos26<JT,即20<2<-0<B<-因为8是锐角，所以3,即6,故角8的取值范围是10.考点：1.三角函数的恒等变换及化简求值：2.解三角形【答案】(1)1：(2)(>/3,2.本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考.【解析】试题分析：(1)由余弦定理得cosA=J，所以A=U：(2)利用正弦定理得23+c

15、=2sm5+2sinC,利用诱导公式和辅助角公式转化为三角函数求范围.试题解析：(1)c(acos6)=/一，由余弦定理az+c2-h2-he=ler-2h29a2=h2+c2-bcVaz=b2+c2-2bccosA,cosA=-2:A6(0,7l),A=y(2)由余弦定理得一-=-=-=2,b=2smB,c=2sinCsinAsin5sillC:./?+c=2sin6+2sinC=2sin6+2sin(A+8)=2sin5+2sinAcos8+2cosAsin5=2sin6+2xcosB+2xsin22=3sin8+>/Jcos6=2有S1116+与；6)5w隋卜5+演需口nsinB+

16、g6所以+c£(/,2>/r考点：正弦定理、余弦定理、三角变换.9. (I)a二2，b=2：(II)S=-at)sinC=,【解析】试题分析：(I)由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c)把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于、后，利用而积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值：(H)由三角形的内角和定理得到C二三-(A+B),进而利用诱导公式得到sinC=sin(A+B),代入己知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0,得

17、到A和B的度数，进而根据宜角三角形的性质求出a与b的值；若cosA不为0,等式两边除以cosA,得到sinB=2sinA,再利用正弦定理化而得到b=2a,与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b答案第6页，总8页的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面枳公式即可求出三角形ABC的面枳.解：（I）Vc=2,C=60°,由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：a2+b'-ab=4»根据三角形的面积sJbsinC二«，可得ab=4,2联立方程组a2+bab=42-ab=4解得a=2,b=2：(H)由题意si

18、n(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA»即sinBcosA=2sinAcosAt当cosAR时，A或，B哼，a=,当cosAKO时,得sinB二2sinA,由正弦定理得b=2a>联立方程组卜不2-ab二4b=2a解得a二竽，卜聋3.所以AABC的面积sjabsinC二2亚。23考点：余弦定理；正弦定理.10. （1）xw1k五一巴上再/"K即为/（八的单调递增区间：（2）A42厂面积的最3u大值为【解析】艮题分析：（1）根据数量积的坐标表示建立关于的等式关系，再借助两角和与差的正余A弦公式化简可得/（x）的表达式；（2）先求5）=3,确定出角4的大小，再根据4=2,利用余弦定理可知a2=b2+c2-2/?ccosA=b2+c