广东广州增城高三数学上学期期中试卷理含解析

1、广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）"i=（i是虚数单位）（）1 -iA.iB.-iC.2iD.-2i2. （5分）已知集合A=x|2<x<4,B=x|3x-7>8-2x,贝UAAB=（）A.3,4）B.（3,4）C.2,3D.2,4）B.cos（兀a）=cosaC.COS（2兀a）3. （5分）下列等式中错误的是（）A.sin（兀+a）=sina=cosaD.sin（2兀+a）=sina0-一TD.一2y_24. （5分）化简

2、q工。（-3dy力+（-6工2y，）_1_1A.2xy3B-2xy3C2y5.（5分）若直线a不平行于平面a,则下列结论成立的是（）A.平面a内所有的直线都与a异面B.平面a内不存在与a平行的直线C.平面a内所有的直线都与“相交D.直线a与平面a有公共点一丁一B.2%C.3兀D.7. （5分）若logavl（a>0,awl）,则实数a的取值范围是（）3A(1,+8)B.1)C.(0,1)D,(0,1)U(1,+8)8. (5分)已知圆C:(x1)2+(y2)2=25,直线l:(2m+1x+(m+1y7m4=0,mCR,当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是()D.二、填空题：本大题共5

3、小题，每小题5分，共30分.其中1415题是选做题，只能做一题,两题全答的，只计算前一题得分.（一）必做题（913题）9. （5分）向量=（n,1）与b=（4,n）共线且方向相同，则n=.10. （5分）二项式（x-工）9的展开式中x3的系数是.11. （5分）如果函数f（x）=-+a是奇函数，则a的值是.2X+112. （5分）如图，是一问题的程序框图，输出的结果是1716,则设定循环控制条件（整数）13.（5分）已知实数x,y满足、,则4x+2y的取值范围是.(二)选做题(14、15题)【几何证明选讲】14. (5分)(选做题)圆内非直径的两条弦ARCD相交于圆内一点巳已知PA=PB=4P

4、CPR4则CD=【坐标系与参数方程】15. 曲线p=2cos。-2sin0(0W。2兀)与极轴交点的极坐标是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (12分)一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.(1)求摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率；(2)用E表示摸出的两个球中的白球个数，求E的分布列及数学期望.17. (12分)已知函数f(x)=2sinx(cosx+sinx)-1.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)若“为三角形的内角且f(-)=圭，求f(a)的值.28218. (14分)如图，在三棱锥V-A

5、BC中,VOL平面ABCOCCDVA=VB=,AD=BD=3BC=5.(1)求证：VCLAB;(2)当二面角/VDC=60时，求三棱锥V-ABC的体积.19. (14分)设f(x)一(b-1)J-bx,bCR(1)当b=1时，求f(x)的单调区间；(2)当f(x)在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.20. (14分)已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是Fi(0,-1),离心率为学.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点Fi作直线交椭圆于A,B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求£研f的取值范围21. （14分）在数列an中，已知ai=2,对任意正整数n都有nan+i=2（n+1）a

6、n.（1）求数列an的通项公式；（2）求数列an的前n项的和Sn；（3）如果对于一切非零自然数n都有nan>入（S-2）恒成立，求实数入的最大值.广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）"i=（i是虚数单位）（）1 -iA.iB.-iC.2iD.-2i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析:解答:直接利用复数代数形式的除法运算化简求值.解：_=J故选：A.点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，

7、采用分子分母同时乘以分母的共轲复数，是基础的计算题.2. (5分)已知集合A=x|2<x<4,B=x|3x-7>8-2x,贝UAAB=()A.3,4)B.(3,4)C.2,3D.2,4)考点：交集及其运算.专题：集合.分析：先求解集合B,再按照交集的定义求解计算.解答：解：A=x|2<x<4,B=x|3x-7>8-2x=x|x>3,.AnB=3,4）.故选A.点评：本题考查集合的基本运算，属于基础题.3. （5分）下列等式中错误的是（）A.sin（兀+a）=sinaB.cos（兀a）=cosaC.cos（2兀a）=cosaD.sin（2兀+a）=sin

8、a考点：运用诱导公式化简求值.专题：三角函数的图像与性质.分析：直接利用诱导公式判断选项即可.解答：解：sin（兀+a）=sina正确；cos（兀a）=-cosa,所以B不正确；COS（2兀a）=COsa正确；sin（2兀+a）=sina正确；故选：B.点评：本题考查诱导公式的应用，基本知识的考查.21_1_24. （5分）化简4K4（3工3）+（-6工2y三）=（）_1_1A.2sy3B.-2工3C.2yD.-2y1考点：有理数指数哥的化简求值.专题：函数的性质及应用.分析：利用指数塞的运算法则即可得出.4xr3'）工+-（-4）（-2）解答：解：原式=41"二2T332=

9、2Xy5.故选：A.点评：本题考查了指数嘉的运算法则，属于基础题.5. （5分）若直线a不平行于平面a,则下列结论成立的是（）A.平面a内所有的直线都与a异面B.平面a内不存在与a平行的直线C.平面a内所有的直线都与“相交D.直线a与平面a有公共点考点：空间中直线与平面之间的位置关系.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：直线a不平行于平面a,直线a与平面”相交，或直线a?平面”，由此能求出结果.解答：解：:直线a不平行于平面a,直线a与平面”相交，或直线a?平面a.，直线a与平面a有公共点.故选D.点评：本题考查直线与平面的位置关系的判断和应用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.6.

10、（5分）如图是一个圆锥的三视图，则其侧面积是（）B.2兀D.4兀考点：专题：分析：解答:由三视图求面积、体积.计算题；空间位置关系与距离.求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式即可.解：由题意，圆锥的母线长为n=2,，侧面积是,I.|=271,2故选：B.点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，比较基础.7. (5分)若loga<1(a>0,awl),则实数a的取值范围是()3A.(1,+8)B.(11)C.(o,1)D.(0,4)U(1,+8)考点：指、对数不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：把1变成底数的对数，讨论底数与1的关系，确定函数的单调性，根

11、据函数的单调性整理出关于a的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果.解答：解：:logaA<1=logaa,当a>1时，函数是一个增函数，不等式成立，当0vav1时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有a<i,3综上可知a的取值是(0,1)U(1,+8),故选：D.点评：本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与1的关系，这里应用分类讨论思想来解题.8. (5分)已知圆C:(x1)2+(y2)2=25,直线l:(2m+1x+(m+1y7m4=0,mCR,当直线l被圆C截得的弦长最短时的m的值是()AtB-C.'D.：433

12、4考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.分析：由题意可得直线l经过定点A(3,1).要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有KcA?Ki=-1,再利用斜率公式求得m的值.解答：解：圆C:(x-1)2+(y-2)2=25的圆心C(1,2)、半径为5,直线l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0,即m(2x+y7)+(x+y4)=0,2-二°,求得，4=0廿二q:故直线l经过定点A(3,1).要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，故有&a?K=-1,即工二？(-生旦)1-3/1=-1,求得m=-,4故选：A.点评：本题主要考查直线过定点问题，直

13、线和圆的位置关系，直线的斜率公式，属于基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分.其中1415题是选做题，只能做一题,两题全答的，只计算前一题得分.(一)必做题(913题)9. (5分)向量a=(n,1)与b=(4,n)共线且方向相同，则n=2.考点：平行向量与共线向量.专题：平面向量及应用.分析：利用向量共线定理即可得出.解答：解：=向量=(n,1)与b=(4,n)共线，2-4=0,解得n=±2.当n=2时，(2,1),b-(4.2)=2a,日与b共线且方向相同.当n=-2时，2,1)，岸(4,2)二2二二与芯共线且方向相反，舍去故答案为2.点评：熟练掌握向量共线定理

14、是解题的关键.10. (5分)二项式(x-)9的展开式中x3的系数是-84.考点：二项式定理的应用.专题：计算题.分析：在二项展开式的通项公式中，令x的哥指数等于3,求出r的值，即可求得展开式中x3的系数.解答：解：由于二项式(X-4)9的通项公式为Tr+i=cE?x9r?(-1)r?xr=(1)r?x9X99-2r令9-2r=3,解得r=3，展开式中x3的系数是(一1),7五-84,故答案为-84.点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数,属于中档题.11. (5分)如果函数f(x)=-+a是奇函数，则a的值是-1.2k+1考点：函数奇偶性的判断.专题：

15、函数的性质及应用.分析：函数的定义域为R,利用奇函数f(0)=0,得到a.解答：解：因为函数的定义域为R,并且函数是奇函数，所以f(0)=0,即一:,解得a=-1；故答案为：-1.点评：本题考查了奇函数的性质；如果奇函数在x=0处有意义，那么f(0)=0.1716,则设定循环控制条件(整数)12. (5分)如图，是一问题的程序框图，输出的结果是是100.考点：程序框图.专题：算法和程序框图.分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S,i的值，寻找规律可知该程序的作用是利用循环计算S=4+7+10值并输出，由等差数列的通项公式即可求解.解答：解：执行程序框图，有i=4,S=0满足条件，有S=4,i

16、=7满足条件，有S=11,i=10满足条件，有S=21,i=13满足条件，有S=34,i=16不满足条件，输出S的值为1716.分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S=4+7+10值并输出，因为4+7+-=1716所以由等差数列的求和公式可知：17以=4n+“I'X3,从而解得n=33,所以最后一个加数i=4+(n-1)x3=100,故设定循环控制条件(整数)是：iW100故答案为：100.点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了等差数列的通项公式的求法，属于中档题.13.(5分)已知实数x,y满足,则4x+2y的取值范围是2,10

17、.考点：专题：不等关系与不等式；简单线性规划.不等式的解法及应用.分析:方法一：根据实数x,y满足、广广,可得0W2xW4,即0<4x<8,即-Kx-y<l2<2y<2,进而得到2W4x+2yW10；方法二：令4x+2y=m(x+y)+n(x-y),构造方程组可求出mn值，进而根据不等式的基本性质可得2W3(x+y)+(x-y)<10.解答：解：方法一：1Wx+yW3-1<x_y<1,由+，得到0W2xW4X2得到0W4xW8由-，得到2W2yW2最后+得到2W4x+2yW10故答案为：2,10方法二：令4x+2y=m(x+y)+n(xy)nri

18、-n=4m-n=2解得（诟3Ln1即4x+2y=3（x+y）+（x-y）1<x+y<3.3<3（x+y）W9又1Wxywi,-2<3（x+y）+（x-y）<10故答案为：2,10点评：本题考查的知识点是不等式的性质，其中方法二中，使用待定系数法，结合不等式的基本性质求解要求熟练掌握.（二）选做题（14、15题）【几何证明选讲】14.（5分）（选做题）圆内非直径的两条弦ARCD相交于圆内一点巳已知PA=PB=4PCPR4贝UCD=1Q考点：与圆有关的比例线段.专题：压轴题；选作题.分析：先做出辅助线，连接AGDB,根据同弧所对的圆周角相等，证出AC口DBP然后根据相

19、似三角形的性质得出对应边成比例，代入数据，做出结果.解答：解：连接AGBD ./A=/D,/C=/B, .AC回ADBF?PDPB'PD'4PD2=64 .PD=8 .CD=PD+PC=8+2=10故答案为：10点评：本题考查相似三角形的性质及相交弦定理，本题解题的关键是根据圆周角定理求出相等的角，得到三角形相似，本题是一个基础题.【坐标系与参数方程】_15. 曲线p=2cos0-2的sin0（0W。<2兀）与极轴交点的极坐标是（0,0）和（2,0）.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析：首先把曲线p=2cos。-2sin0（0。2兀）转化为：篡2K-

20、2JJy，进一步利用y=0,求出x,最后把交点的直角坐标转化为极坐标.解答：解：曲线p=2cos02bsin0（0W。2兀）转化为：工.，：二，方程与x轴的交点令y=0解得x=0或2则极坐标为：（0,0）和（2,0）点评：本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的互化，及直角坐标和极坐标的互化.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. （12分）一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球.（1）求摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率；（2）用E表示摸出的两个球中的白球个数，求E的分布列及数学期望.考点：离散型随机变量及

21、其分布列；离散型随机变量的期望与方差.专题：概率与统计.分析：（1）运用排列组合知识求解个数，再运用古典概率知识求解，（2）求出可能取的值E=0,1,2,再分别求出概率，列出分布列，运用数学期望公式求解.解答：解：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C=10中情况,1个白球和一个红球的事件为A（1）设摸出的两个球中有clxci=6中情况，P(A)即摸出的两个球中有1个白球和一个红球的概率为5（2）用E表示摸出的两个球中的白球个数，E=0,1,2,-P(E=0)mo10W1,、3,、合志。()=1P(*)七的分布列:10即w的数学期望为：0X_X+1x-+2x

22、=-1015105点评：本题考察了古典概率的求解，以及分布列，数学期望的求解.17. (12分)已知函数f(x)=2sinx(cosx+sinx)-1.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)若“为三角形的内角且f(2-三)彦,求f(a)的值.232考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质.分析：(1)利用三角恒等变换把函数f(x)化为一个角的三角函数，求出最小正周期与最大值；(2)由f(工-三)=H2,且a为三角形的内角，求出a的值，计算f1a)即可.282解答：解：(1),函数f(x)=2sinx(cosx+sinx)-1=2sinxc

23、osx+2sin2x-1=sin2xcos2x=&sin(2x-三),41. f(x)的最小正周期是兀-f，诋sin2(-)一工尸&sina-=2(cosa)2842又a为三角形的内角,=f(空)=sin(2X空)-cos(2x22£)333=sin"-cos3点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题,考查了三角函数的求值问题，是综合题目.18. (14分)如图，在三棱锥V-ABC中,VOL平面ABCOCCDVA=VB=V2,AD=BD=3BC=5.(1)求证：VCLAB;(2)当二面角/VDC=60时，求三棱锥V-AB

24、C的体积.考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积.专题：空间位置关系与距离.分析：(1)结合线面垂直的判定定理，从而证明线线垂直；(2)只需求出VO,CD的长,从而求出四面体的体积.解答：(1)证明：连接VD,AD=BD=3,是AB中点，.VA=VB=>/2,VDLAB.VOL平面ABC-AB±VO又VDHVO=VVCLAB;(2)在R3VAD中，VA=3/iLAD=3.VD=3在R3VDO中，/VDC=60,VD=3，VO=1,在R3BCD中，BD=3BC=5.CD=4Vv-abcFlxlx6X4xA/s=6/3.322点评：本题考查了线面垂直的判定定理，考查了椎

25、体的体积，是一道基础题.19.(14分)设f(x)=.(b-1)J-bx,bCR2(1)当b=1时，求f(x)的单调区间；(2)当f(x)在R上有且仅有一个零点时，求b的取值范围.考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点.专题：计算题；导数的综合应用.分析：(1)首先求出函数的导数，然后分别令f'(x)<0,f'(x)>0,求出函数的单调区间；(2)求出导数，对b讨论，由于函数f(x)在R上有且仅有一个零点，则函数的极大值小于0,或者是函数的极小值大于0,解出参数范围即可.解答：解：(1)(x)=x2+(b1)x-b,由于b=1,则有f'(x)=x2-1,

26、令f'(x)>0,得x>1或xv-1,令f'(x)v0,得-1<x<1,.f(x)的单调递增区间是1)和(1,+°0),单调递减区间是(-1,1).(2)f'(x)=x+(bT)x-b=(x+b)(x-1),则-b,1为方程f'(x)=0的两根，若b=-1,则f'(x)>0,f(x)递增，成立；若b>-1,则f(x)在(-8,b),(1,+8)递增，在(-b,1)递减，2.则f(1)为函数f(x)极小值，且为-2-工，f(-b)为极大值，且为4.lu3.26260由于函数f(x)在R上有且仅有一个零点，则一上

27、一工>0或且+工卜0解得1vbv-2626口3若bv-1时，则f(x)在(-8,b),(1,+8)递减，在(-b,1)递增.2则f(1)为函数f(x)极大值，且为,f(-b)为极小值，且为2626由于函数f(x)在R上有且仅有一个零点，2则一上-0或互十工卜3>0,解得，3<b<-1.26260则b的取值范围为：-3<b<-3点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大.20.(14分)已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1(0,-1),离心率为亚.

28、3(1)求椭圆的标准方程；(2)过点F1作直线交椭圆于A,B两点，F2是椭圆的另一个焦点，求£处f的取值范围.考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(1)由焦点求得c=1,再由离心率公式，求得a,再由a,b,c的关系，求得b,进而得到椭圆方程；(2)设直线AB的方程为：y=kx-1,联立椭圆方程，消去V,得到x的方程，运用韦达定理，求出|x1-x2|的范围，注意运用单调性求范围，再由面积公式，即可得到所求范围.解答：解：(1)椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是F1(0,-1),即有c=1,且离心率为立,即有三金，3a3解得，a=正，则b=y.二匚2=我,/x2则椭圆方程为=1;(2)设直线AB的方程为：y=kx-1,联立椭圆方程，消去y,得，(3+2k2)x2-4kx-4=0,Xi+X2=4k一4己，玄刈=5,3+23+2kz则|X1-X2|=16k2116(3+2k2)23+2k2=4行金，令t=Vi+k2(t>1),3+2k2v贝U|x1-X2|=4f=4>y.1+212(2t+-)'=2->0在t>l成立，