傅里叶级数第七节ppt课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第七节第七节 傅里叶傅里叶(Foruier)(Foruier)级数级数 一、问题的提出一、问题的提出 二、三角级数二、三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性 三、函数展开成傅里叶级数三、函数展开成傅里叶级数 四、小结四、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(当当当当不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页

2、返回返回tusin4 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)3sin31(sin4ttu 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)5sin513sin31(sin4tttu 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)7sin715sin513sin31(sin4ttttu 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu)0,( tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、三角级数 三角函数系的正交性 10)sin

3、()(nnntnAAtf1.1.三角级数三角级数谐波分析谐波分析 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 三角级数三角级数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.三角函数系的正交性三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:上的积分等于零上的积分等于零任意两个不同函数在任意两个不同函数在正交正交 , 0cos1nxdx, 0sin1nxdx三角函数系三角函数系), 3 , 2 , 1( n,21dx上

4、页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回三、函数f(x)展开成傅里叶级数问题问题: :1.若能展开若能展开, 是什么是什么?iiba ,2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,220

5、 adxxfa)(10则kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxakkk上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxakkk, nb那么那么上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 ), 2 ,

6、 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或f(x)的傅里叶系数的傅里叶系数上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回f(x)的傅里叶级数的傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条条件件上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.2.狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛

7、定理) )(2) 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时, ,收收敛敛于于2)0()0( xfxf; ;(3) (3) 当当x为端点为端点 x时时, ,收敛于收敛于2)0()0( ff. .)(xf设是以是以 2为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它满足条件如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且并且( (1 1) ) 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时, ,级级数数收收敛敛于于)(xf; ;并且并且的傅里叶级数收敛的傅里叶级数收敛,至多只有有限个极值点至多只有有限个极值点,那么那么 xf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下

8、页返回返回注意注意: : 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多.解解例例 1 以以 2为周期的矩形脉冲的波形为周期的矩形脉冲的波形 tEtEtumm,0,)(将其展开为傅立叶级数将其展开为傅立叶级数.otumEmE 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.), 2, 1, 0(处处不不连连续续在在点点 kkt2mmEE 收收敛敛于于2)(mmEE , 0 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回).(,tukt收收敛敛于于时时当当 和函数图象为和函数图象为otumEmE ntdttuancos)(1

9、00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)cos1(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为（该级数也称为正弦级数）上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回( )f x2(, ) ( )f xx( )f x例例2 设设 是周期为是周期为 的周

10、期函数，它在的周期函数，它在 上的上的表达式为表达式为 ，将，将 展开成傅氏级数展开成傅氏级数. ( )f x解解 显然函数显然函数 满足狄氏条件满足狄氏条件 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回0(0,1,2,)nan0022( )sinsinnbf xnxdxxnxdx202cossin2cosxnxxnnnn 12( 1)(1,2,3,)nnn ( )f x2是周期为 的奇函数, 的傅氏系数为10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图4-3111( 1)( )2 sinsin2sin3sin23nf xxxxnxn)1

11、)2(kx0.20)(0)(12ff)k(x时，级数收敛于当上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 它显然满足狄氏条件它显然满足狄氏条件 00111( )cos()coscosnaf xnxdxnxdxxnxdx222(1,3,5,),1( 1)10,(2,4,6,).nnnnn000111( )()2af x dxdxxdx 00111( )sin()sinsinnbf xnxdxnxdxxnxdx3(1,3,5,),11 2( 1) 1(2,4,6,).nnnnnn22211( )(coscos3cos5)435f xxxx 131(3sinsin2sin3sin4)234x

12、xxx(,)xxkkZ 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图 4-4图 4-5上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回( )sin2tu t 例例4 将周期函数将周期函数 展开成傅氏级数展开成傅氏级数 解解 因为函数因为函数u(t)满足狄氏条件满足狄氏条件,且它在在整个数轴上连且它在在整个数轴上连续，所以续，所以u(t)的傅氏级数处处收敛于的傅氏级数处处收敛于u(t) 因为u(t)是周期为 的偶函数，所以 20nb 0022( )cossincos2ntau tntdtntdt0111sin()sin() 22ntnt dt011cos()cos()1221122ntnt

13、nn21114(0,1,2,)11(41)22nnnn 2411111( )coscos2cos3cos23153541u ttttntn()x 所以u(t)的傅氏级数展开式为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回图 4-6. 2411111( )coscos2cos3cos23153541u ttttntn上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意注意: :作法作法: :),(),()(),2(xxfxFT使得周期延拓)0()0(21 ff端端点点处处收收敛敛于于对于非周期函数对于非周期函数,如果函数如果函数 只在只在 xf充分条件充分条件,也可展开成级数傅氏也可展开成级

14、数傅氏.区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄氏并且满足狄氏,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .)(xf, xy0 2 2 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 nxdxxfancos)(1 00cos1cos)(1nxdxxnxdxx)1(cos22 nn1)1(22 nn dxxfa)(10 001)(1xdxdxx, 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12

15、(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin1sin)(1nxdxxnxdxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为), 3 , 2 , 1( n上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回利用傅氏展开式求级数的和利用傅氏展开式求级数的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf, 0)0(,0 fx时时当当 222513118,4131211222 设设),8(513112221 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,6141212222 ,41312112223 ,44212

16、,243212 21 ,62 132.122 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回为周期的连续函数，且为周期的连续函数，且是以是以设设 2)(xf 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf可可逐逐项项积积分分，试证明：试证明：, )(2)(1122202 nnnbaadxxf.)(,的傅立叶系数为其中xfbann证证 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf 102sin)(cos)()(2)(nnnnxxfbnxxfaxfaxf例例 6上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回可可逐逐项项积积分分，)(xf dxxfa)(20 dxxf)(2 1sin)

17、(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa dxxfa)(20 1sin)(cos)(nnnnxdxxfbnxdxxfa0a na nb , )(2)(122202 nnnbaadxxf结论可证结论可证.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回播放播放1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近四、小结四、小结上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题 若若函函数数)()(xx ，问问：)(x 与与)(x 的的傅傅里

18、里叶叶系系数数na、nb与与n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之间间有有何何关关系系？上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答 nxdxxancos)(1 )()cos()(1tdntt nxdxx cos)(1 nxdxx cos)(1n ), 2 , 1 , 0( n上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 nxdxxbnsin)(1 )()sin()(1tdntt nxdxx sin)(1 nxdxx sin)(1n ), 2 , 1( n,nna .nnb 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 设周期为设周期为 2的周期函

19、数的周期函数)(xf在在), 上的表达式上的表达式为为)0(0,0,)( baxaxxbxxf常常数数 试将其试将其展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数 . .二、二、 将下列函数将下列函数)(xf展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数: : 1 1、 xxexfx0,10,)(； 2 2、)sin(arcsin)( xxf . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一一、)(4)(baxf 112sin)()1(cos)()1(1nnnnxnbanxnab ), 2, 1, 0,)12( nnx . .二二、1 1、nxneexfnncos1)1(1121)(12 nxnn

20、ennnnsin)1(11)1(112 ( ( x) ). .练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2、),(sin2)1()(11 nxnxfnn. . ( (提示提示: : xxxxf,)sin(arcsin)() )上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、小结四、小结1.基本概念；基本概念；2.傅里叶系数；傅里叶系数；3.狄利克雷充分狄利克雷充分条件；条件；4.非周期函数的非周期函数的傅氏展开式；傅氏展开式；5. 傅氏级数的意义傅氏级数的意义整体逼近整体逼近上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回五五. 函数函数f (x)在在 0，上

21、展开成正弦级数与余弦级数上展开成正弦级数与余弦级数以上研究了将以以上研究了将以2为周期的函数为周期的函数f (x)展开成傅氏级数的方展开成傅氏级数的方法下面介绍将定义在区间法下面介绍将定义在区间0，上函数展开成傅氏级数的方上函数展开成傅氏级数的方法法设函数设函数f(x)定义在区间定义在区间0，上，上，有一个函数有一个函数(x)，在（，在（-，+）上以）上以 2为周期的函数，为周期的函数，而在而在0，上，上，(x)=f(x)如果如果(x)满足狄氏条件，满足狄氏条件，那么那么(x)在（在（-，+）就可展开成傅氏级数，取其）就可展开成傅氏级数，取其0，上一上一段，即为段，即为f (x)在在0，上的傅

22、氏级数，上的傅氏级数， (x)称为称为f (x)的周期延拓函数的周期延拓函数 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回在理论上或实际工作中，下面的周期延拓最为常用.将f (x)先延拓到(-，0)，使延拓后的函数成为奇函数，然后再延拓成以2为周期的函数这种延拓称为周期奇延拓(如图4-7所示)；图4-7上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回将先延拓到(-，0)，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓成以2为周期的函数，这种延拓称为周期偶延拓(如图4-8所示) 图 4-8上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，注意到在区间0，上, (x)=f(

23、x),其傅氏系数直接按下式计算，即有 周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅氏系数直接按下式计算,即有 0(0,1,2,)nan0022( )sin( )sin(1,2,3,)nbxnxdxf xnxdxn0022( )cos( )cos(0,1,2,)naxnxdxf xnxdxn0(1,2,3,)nbn , . 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例7 将函数将函数f (x)=x (0 x)分别展开成正弦级数、余弦级数分别展开成正弦级数、余弦级数解解 函数函数f (x)满足狄氏条件满足狄氏条件.（1将函数将函数f (x)展开成正弦级数展开成正弦级数,计算傅氏系数计算傅氏系数0na

24、(0,1,2,)n 0022( )sinsinnbf xnxdxxnxdx1202cossin2( 1)nxnxnxnnn 11( 1)( )2sinnnf xnxn(0)x上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回（2将函数f (x)展开成余弦级数, 计算傅氏系数 例例7 将函数将函数f (x)=x (0 x0)2L (L0)为周期的脉冲电压的脉冲波形状为周期的脉冲电压的脉冲波形状 如图如图4-94-9所示，其中所示，其中t t为时间为时间. .(1) (1) 将脉冲电压将脉冲电压f (t)f (t)在在-L-L，LL上展开成以上展开成以2L2L为周期的傅氏级数；为周期的傅氏级数；(2

25、) 将脉冲电压f (t)在0，2L上展开成以2L为周期的傅氏级数.图4-9上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回0,0,( ),0.ltf tttl 0011( )2llllaf t dttdtll011( )coscosllnln tn taf tdttdtllll221(cos1)nn(1,2,3,)n 011( )sinsinllnln tn tbf tdttdtllll11cos( 1)nlllnlnn (1,2,3,)n 122112(21)( 1)( )cossin4(21)nnnllntln tf tnlnl,(21) ,ttkl kZ 解解 (1) (1) 因为因为f

26、 (t)f (t)在在-L-L，LL上的表达式为上的表达式为满足狄氏条件,所以 故当t-L，L时,下式成立,且有 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,0,( )0,2 .ttlf tltl 200011( )2lllaf t dttdtll20011( )coscosllnn tn taf tdttdtllll221(cos1)nn(1,2,3,)n 20011( )sinsinllnn tn tbf tdttdtllll11cos( 1)nlllnlnn 122112(21)( 1)( )cossin4(21)nnnllntln tf tnlnl,(21) ,ttkl kZ (

27、2) 因为f (t)在0，2L上的表达式为满足狄氏条件,所以故当t0，2L时,下式成立,且有上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)(tfto0d) 1sin() 1sin(ttntn例例7. 交流电压交流电压tEtEsin)(经半波整流后负压消失,试求半波整流函数的解解: 这个半波整流函数这个半波整流函数2,它在)(tfna0dcossinttntE,sintE,0傅里叶级数.,上的表达式为0t t02E的周期是22机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回000d2sintt21Ea 2cos212E时1n0d) 1sin() 1sin(

28、ttntn2Eantnn) 1cos() 1(12E0tnn) 1cos() 1(1111) 1(111) 1(21nnnnEnn) 1(1) 1(21nEn32 ,0 kn,)41 (22kE), 1,0(kkn2机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回tttEbdsinsin01ttntnEd) 1cos() 1cos(20) 1() 1sin(2ntnEbn0) 1() 1sin(0ntnttntEbndsinsin0ttEd)2cos1 (20022sin2ttE2En 1 时机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上页上页下页下页返回返回上页上

29、页下页下页返回返回由于半波整流函数 f ( t ),),(上连续在Etf)(tEsin2tkkEk2cos411212)(t直流部分说明说明:交流部分由收收敛定理可得2 k 次谐波的振幅为,14122kEAk k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.to22)(tf上述级数可分解为直流部分与交流部分的和. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例8. 把把展开成)20()(xxxf(1) 正弦级数; (2) 余弦级数.解解: (1) 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 则有则有2oyx),2, 1,0(0nan2022xbnxxnd2sin0222sin22cos2xnnxnxnnncos4),2, 1() 1(41nnn14)(nxf2sin) 1(1xnnn)20( x机动 目录 上页 下页 返回