广义积分的收敛判别法

1、第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算，在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件一积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的.定理9.1(Cauchy收敛原理)f(x)在a,+)上的广义积分广f(x)dx收敛的充分必要条件是：v80,存在A0,使得b,bA时，恒有b/Ibf(x)dx卜；证明：对Jimbf(x)dx=0使用柯西收敛原理立即得此结论.同样

2、对瑕积分ff(x)dx(b为瑕点)，我们有定理9.2(瑕积分的Cauchy收敛原理)设函数f(x)在a,b)上有定义，在其任何闭子区间a,b-上常义可积，则瑕积分jf(x)dx收敛的充要条件是：V名0,m30,只要0/6,就有b-/Ib_f(x)dx|定义9.5如果广义积分广|f(x)|dx收敛，我们称广义积分f(x)dxaa绝对收敛(也称f(x)在a,+8)上绝对可积;如:f(x)dx收敛而非绝对收敛，则称f(x)dx条件收敛，也称f(x)在a,+)上条件可积.a由于va,A之a,均有AA/IAf(x)dx|E|f(x)|dx因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理.定理9.3如果广义

3、积分f(x)dx绝对收敛，则广义积分f(x)dx必aa收敛.它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质.下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法.比较判别法：定理9.4(无限区间上的广义积分)设在a,+8)上恒有0wf(x)wk中(x),(k为正常数)则当也*(x)dx收敛时，f(x)dx也收敛；aa当ff(x)dx发散时，/%(x)dx也发散.aa证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立.对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k

4、,使0Mf(x)Ekg(x),Vxwa,b),贝U，b，一-b,1)如1g(x)dx收敛，则ff(a)dx也收敛。aabb2)如ff(x)dx发散,则gg(x)dx也发散.aa比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式.定理9.6如果f(x)g(x)是a,+)上的非负函数，且lim工(x)=l,则八二g(x)(1)如果0Ml,且广g(x)dx收敛，则积分产f(x)dx也收敛.aa(2)如果00(l-s0),存在A,x:g(x)当x2A时，0l-Sf(x)l+名g(x)即(l-s)g(x)f(x)(l+)g(x)成立.显然f(x)dx与g(x)dx同时收敛或同时发散，在l=0或l=g时，可类

5、似地讨论.a使用同样的方法，我们有bb，一定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分f(x)dx与Ig(x)dx如果aaf(x)，g(x)是非负函数，且lim_*=l,则x-g(x),_一bb(1)当0lm+8,且g(x)dx收敛时,则ff(x)dx也收敛.aa当01,那么积分f(x)dx收敛，如xpacf(x卢二，p1,则积分ff(x)dx发散.xpa其极限形式为定理9.9如limxpf(x)=l(0ml1),则积分f(x)dx收则f(x)dxa敛.如limxpf(x)=l，而0lw+七，p0,n0)1 1x11解：(1)因为0win(1+)x1x11112x1xx(1x)x:11-2dx收收推

6、出(pn(1十一)bx收敛.1xxm(2)因为limxn-=1,x；,：1xn所以当n-m1时，积分积分f1m-He：V八ndx发散.11xxmndx收敛.当nm0),p0),p21,贝Uff(x)dx发散.(x-a)a瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为te理9.11设lim(x-a)pf(x)=kxa-,b如0kg,p1,则f(x)dx收敛ab如00)sinxcosx解：(1)1是被积函数的唯一瑕点因为1lim(1-x)2x1一dx(1-x2)(1-k2x2)二12(1-k2),1由p=-知瑕积分收敛.2(2) 0与都是被积函数的瑕点.2dx,.1先讨论4,由11mxp=10sinpxc

7、osqxxos1npxcosqxdx知：当p1时，瑕积分L4收敛；当p之1时,瑕积分0sinpxcosqx4dx)sinpxcosqx发散.三dx再讨论:前/1因lim(x)p-二12sinpxcosqxdx所以当q1时，瑕积分像一13dx收敛,4sinpxcosqxdx,山当q之1时，瑕积分2dx发散.pq4sinxcosxdx人，八一综上所述，当p1且q1时，瑕积分一0a收敛;其他情况0sinpxcosqx发散.、一一一.1例9.10求证：若瑕积分Jf(x)dx收敛，且当xt0时函数f(x)单调趋向于+必，则iim+xf(x)=0.x0证明：不妨设Vxe(0,1,f(x)0,且f(x)在(

8、0,1)上单调减少。1_已知0f(x)dx收敛，由柯西收敛准则，有-0,0(,1),-0x:有xxf(t)dt:二、2从而xx0-f(x)三xf(t)dt22或00),当九x(1-cosx)x。x1.=lim；=23l-COSx2xJ所以当3人1时，即九1时，瑕积分收敛.当3九之1,即九至1时，33瑕积分发散.前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果.定理9.12(积分第二中值定理)设g(x)在a,b上可积，f(x)在a,b上单调，则存在七a,b使bf(x)g(x)dx=g(a)f(x)dxg(b)f(x)dxaaa为了证明定

9、理9.12,我们先讨论下列特殊情况.引理9.1设f(x)在a,b上单调下降并且非负，函数g(x)在a,b上可积，则存在ca,b,使bcf(x)g(x)dx=f(a)g(x)dxaax证明：作辅助函数(x)=f(a)fg(t)dt,对a,b的任一分法P:a=Mx1x2xn=b我们有bnf(x)g(x)dx=xf(x)g(x)dxaXi_l由此得到bn%|if(x)g(x)dx-Zf(x-)fg(x)dx|a.xi1i二1一nx=f(x)-f(x)g(x)dx|xi1i1inxX|f(x)-f(xi_i)|g(x)|dxxi1i=1nf(x)g(x)dxi=1xia我们来证明Jxxm?a,bn(x

10、)；if()xJg(x)dxaibx(x)为此，引入记号xG(x)=g(t)dt并作如下变换nxif(x-i)g(x)dxxi1i1n=-f(xi_i)G(xi)-G(xi,)i=1nnyf(xy)G(xi)-为-后9-)iWiinnV二”为-后3)-f(xi)G(xJini毛=-f(xiJ)G(xi)-f(xi)G(xi)(G(%)=G(a)=0)=an=。f(x)-f(xJG(xi)f(xn)G(xn)iV因为f(x-f(xJ-0,f(4)-0，所以xi,、.f(x-i)xg(x)dxxi1n八f(xi)-f(xJG(xi)f(xn)G(xn)i1n-”为)-f(xi)f(xn)minG(

11、x)yxa,b=fxmanb9x)同样可证f(x”,g(x)dxf罂x】G我们证明了不等式xif(a)minG(x)-f(xi_1)g(x)dx三f(a)maxG(x)xa,by1Txyxa,bnxmin(x)m%f(xi.)g(x)dxmax(x)xa,bi1xi1xa,b现令|P|T0,取极限，就得到min1xa,bb(x)三f(x)g(x)dx工max1(x)axa,b因此，存在c+a,b,使得中(c)=fbf(x)g(x)dx(因为中(x)在a,b上是连续函数)a,、.一bc、也就是jaf(x)g(x)dx=f(a)g(x)dx证毕下面我们证明定理9.12证明：如f(x)是单调下降的，

12、则f(x)f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在cwa,b),使bcf(x)-f(b)g(x)dx=f(x)-f(b)g(x)dxaa即bcbf(x)g(x)dx=f(a)g(x)dxf(b)g(x)dx,aac对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则f(x)g(x)dx收敛,a(1) (Abel判别法)Jf(x)dx收敛,g(x)在a,00上单调有界；aA,-一,(2) (Dirichlet判力U法)设F(A)=f(x)dx在a,上有界，g(x)在一产)上单调,且limg(x)

13、=0.x二:证明：(1)VS0,设|g(x)尸M,寸xa,8),因/f(x)dx收敛,由aCauchy收敛原理，m/Aa,使vA,A之儿时，有A1Af(x)dx|2M由积分第二中值定理，我们得到AA|：f(x)g(x)dx|三|g(A)|f(x)dx|g(A)|f(x)dx|AAj-A-M|f(x)dx|M|.f(x)dx|Azz一一+=.A,A2a,显然有当xAo时，有A1f(x)dx|再由Cauchy收敛原理知f(x)g(x)dx收敛a(2)设M为F(A)在a,+-)上的一个上界，则VAi|Af(x)dx|：2MAg(x)|b证明：(1)只须用第二中值定理估计bb_f(x)g(x)dx读者

14、可以仿照定理11.2,8(1)的作法完成(1)的证明.(2)读者可以仿照定理11.2,8(2)的作法完成(2)的证明.,11Sin例9.14讨论积分(-xdx(0p2)的敛散性0xp解：对于0p1,因为.1sinxpxxp,11由二dx收敛知0xpdx1-xinX绝对收敛敛对于0Wp2,因为函数f(x)=x2T当XT0时单调趋于0,而函数.1sin一g(x)=2XX满足所以积分sini,1sin一xxpdx.1三|cos1-cos92Fdx二12-p0x.1sin2xdx收敛.x但在这种情况下,.1sin一xxpdx是发散的事实上.1sinxxpsin21xp2dcos1.x2xp2xp一11，因7dx发散,02xp2cos0声dx收敛，知0.1sin一xxpdx发散从而当0Mp0).xi2.证明：若瑕积分j0f(x)dx收敛，且当xt0+时，函数f(x)单调趋于十,则limxf(x)=0.x)03,若函数式乂)在2,+)有连续导数flx),且无穷积分f(x)dxa与产f/(x)dx都收敛，则limf(x)=0.aXT*；、4,设f(x)在a,+a)上可导，且单调减少，limf(x尸0,xy*、咦求证：Ef(x)dx收敛ufxf/(x)dx收敛.aa5,证明：若函数f(x)在a,+o0)上一致连续，且无穷积分Jf(x)dx收敛，则limf(x)=0.ax，、)6 .