苏教直线的参数方程及应用学习教案

1、会计学1苏教直线的参数方程苏教直线的参数方程(fngchng)及应用及应用第一页，共57页。000()Mxy 已已知知一一条条直直线线过过点点， ，倾倾斜斜角角 ，求求这这条条直直线线的的方方程程. .00tan()yyxx 解解：直直线线的的普普通通方方程程为为00sin()cosyyxx 把把它它变变成成00sincosyyxx 进进一一步步整整理理，得得：00.sincosyyxxtt令令该该比比例例式式的的比比值值为为 ，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是参参数数第2页/共57页第二页，共57页。000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求

2、这条直线(zhxin)的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin)0M M xOy解：解： 在直线在直线(zhxin)上任取一点上任取一点M(x,y),则则00, )()x yxy（00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos,sin)e00/ ,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos ,sin)xxyyt00cos ,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，第3页/共57页第三页，共57页。000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线求这条直线(zhxin)的方程的方程.M0(x0,y0)M(x,y

3、)exOy00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（ 为参数）第4页/共57页第四页，共57页。0,M Mtelt 由你能得到直线 的参数方程中参数 的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0Me解解:0M Mte 0M Mte 1ee又是单位向量，0M Mt e t所以所以, ,直线参数方程直线参数方程(fngchng)(fngchng)中参数中参数t t的绝的绝对值等于直线上动点对值等于直线上动点M M到到定点定点M0M0的距离的距离. .这就是这就是t的几何意义的几何意义(yy),要牢记要牢记第5页/共57页第五页，共57页。直线直线(zh

4、xin)(zhxin)的参数方程的参数方程( (标准式）标准式）)(sinyycosxx00为参数为参数直线的参数方程直线的参数方程ttt 0000000000(x ,),;()t,), )(.yyyk xxxxMxyM x yMM P其中时直线上的定点是倾斜角 其对应的普通方程为或。表示几何意义：（到直线上的点 （不同于点）的有向线段的数量第6页/共57页第六页，共57页。el 我我们们知知道道， 是是直直线线 的的单单位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向应应该该是是向向上上还还是是向向下下的的？还还是是有有时时向向上上有有时时向向下下呢呢？0tM M我我们们是是否否可可以以根根据

5、据 的的值值来来确确定定向向量量思思考考的的方方向向呢呢？第7页/共57页第七页，共57页。0sin0sin0eeee 由由于于 是是直直线线的的倾倾斜斜角角，因因此此，当当时时，又又因因为为表表示示 的的纵纵坐坐标标，所所以以的的纵纵坐坐标标都都大大于于 ，那那么么 的的终终点点就就会会都都在在第第一一，二二象象限限，所所以以 的的方方向向就就总总会会向向上上. .000000.tM MtM MtMM 此此时时，若若，则则的的方方向向向向上上；若若，则则的的方方向向向向下下；若若，则则点点与与重重合合第8页/共57页第八页，共57页。注意向量工具注意向量工具(gngj)的使用的使用.exM(

6、x,y)OM0(x0,y0)y|t|=|M0M|并且，直线参数方程中参数并且，直线参数方程中参数t t的绝的绝对值等于直线上动点对值等于直线上动点M M到定点到定点(dn din)M0(dn din)M0的距离的距离. .第9页/共57页第九页，共57页。12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直线线与与曲曲线线，交交于于，两两点点，对对应应的的参参数数分分别别为为 ，曲曲线线的的弦弦的的长长是是多多少少？线线段段的的中中点点对对应应的的参参数数 的的值值是是多多少少？第10页/共57页第十页，共57页。M0（x0，y0） M（x，y）xyO是参数）ttyyt

7、xx(sincos00t表示有向线段表示有向线段(xindun)M0P的数量的数量.|t|=| M0M|t只有在标准只有在标准(biozhn)式中才有上述几何式中才有上述几何意义意义 设设M1,M2M1,M2为直线上任意两点，它们所对应为直线上任意两点，它们所对应(duyng)(duyng)的参数值分别为的参数值分别为t1,t2.t1,t2.（1 1）|M|M1 1M M2 2| | （2 2）M M是是M M1 1M M2 2的中点，则的中点，则M M对应的参数值对应的参数值21tt 221tttM1M200,21210tttMMM中点为若第11页/共57页第十一页，共57页。的一个参数方程

8、是）直线（）为参数）的倾斜角是（）直线（012160.110.70.20.20cos20sin31000000yxDCBAttytxB为参数）为参数）（ttytx 22221第12页/共57页第十二页，共57页。直线的参数直线的参数(cnsh)方程可以写成这样方程可以写成这样的形式的形式:2202211abttM Mabt当时， 有明确的几何意义，即当时， 没有明确的几何意义。00(xxattyybt为参数）|tbaMM220|212221ttbaMM直线的参数方程直线的参数方程(fngchng)(fngchng)(一般式）一般式）第13页/共57页第十三页，共57页。小结(xioji):1.

9、直线参数直线参数(cnsh)方程的标准方程的标准式式0cos(sinttyyt0 x=x是参数）|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）2.直线直线(zhxin)参数方程的一参数方程的一般式般式2202211abttM Mabt当时， 有明确的几何意义，即当时， 没有明确的几何意义。|tbaMM220|212221ttbaMM第14页/共57页第十四页，共57页。第15页/共57页第十五页，共57页。第16页/共57页第十六页，共57页。1. 求线段求线段(xindun)（弦）长（弦）长3. 求轨迹求轨迹(guj)问题问题2. 线段线段(xindun)的中点问题的中点问题直线参数方程

10、的应用直线参数方程的应用第17页/共57页第十七页，共57页。21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析分析(fnx):3.点点M是否是否(sh fu)在直线上在直线上1.用普通方程去解还是用普通方程去解还是(hi shi)用参数方程用参数方程去解去解;2.分别如何解分别如何解.ABM(-1,2)xyO例题选讲例题选讲第18页/共57页第十八页，共57页。因为因为(yn wi)把点把点M的坐标代的坐标代入直线方程后，符合直线方入直线方程后，符合直线方程，所以点程，所以点M在直线上在直线上.21.:10( 1 2)

11、lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直线线与与抛抛物物线线交交于于， 两两点点，求求线线段段的的长长度度和和点点， 到到 ，两两点点的的距距离离之之积积. .M(-1，2)ABxOy第19页/共57页第十九页，共57页。(*)010122 xxxyyx得：得：解：由解：由112121 xxxx，由韦达定理得：由韦达定理得：10524)(1212212 xxxxkAB251251(*)21 xx，解得：解得：由由25325321 yy，)253,251()253,251( BA，坐坐标标记记直直线线与与抛抛物物线线的的交交点点2222)2532()2511()2532()2511( MB

12、MA则则245353 第20页/共57页第二十页，共57页。的参数方程？）如何写出直线（l1?221ttBA，所对应的参数，）如何求出交点（有有什什么么关关系系？，与与、）（213ttMBMAAB 第21页/共57页第二十一页，共57页。4 3练习练习(linx)：_5, 1, 0325211. 123）间的距离是则两直线的交点与点（另一条直线的方程是为参数），（一条直线的参数方程是yxttytx第22页/共57页第二十二页，共57页。第23页/共57页第二十三页，共57页。第24页/共57页第二十四页，共57页。第25页/共57页第二十五页，共57页。.9322122所交弦长与圆求直线练习：

13、yxtytx分析：此处的分析：此处的t t的系数平方和不等于的系数平方和不等于1 1，且，且 30 30因此因此(ync)t(ync)t不具有参数方程标准式中不具有参数方程标准式中t t的的几何意几何意 义义. .要先化为标准式要先化为标准式. .第26页/共57页第二十六页，共57页。.93221.22所交弦长与圆求直线练习yxtytx解：解：)()(tytx131332131321t13t令tt13321321yx方方程程可可化化为为代入方程代入方程(fngchng)得：得：0941312139113413422tttt.)(;,;131744413804138212212121212tt

14、tttttttttt第27页/共57页第二十七页，共57页。233或或_0144. 322倾斜角为相切，则这条直线的为参数）与曲线（若直线xyxtbtyatx练习练习(linx)：第28页/共57页第二十八页，共57页。222(2 1)1164yxMlA BMABl例例经经过过点点， 作作直直线线 ，交交椭椭圆圆于于 ， 两两点点. . 如如果果点点恰恰好好为为线线段段的的中中点点，求求直直线线 的的方方程程. .22121222cos(2 1)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：设设过过点点， 的的

15、直直线线 的的参参数数方方程程为为为为参参数数 代代入入椭椭圆圆方方程程得得由由 的的几几何何意意义义知知，因因为为点点在在椭椭圆圆内内，这这个个方方程程必必有有两两个个实实根根，所所以以第29页/共57页第二十九页，共57页。1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因为为点点为为线线段段的的中中点点，所所以以，即即，于于是是直直线线 的的斜斜率率为为，因因此此直直线线 的的方方程程为为，即即第30页/共57页第三十页，共57页。练习练习(linx)：第31页/共57页第三十一页，共57页。例3.当前台风(tifng)中心P在某海滨城市O向东300Km

16、处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风(tifng)中心250km以内的地方都属于台风(tifng)侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风(tifng)侵袭?pMOy第32页/共57页第三十二页，共57页。pMOy第33页/共57页第三十三页，共57页。xyoMP045第34页/共57页第三十四页，共57页。)0(135sin40135cos40300),(250250)0 ,300(00222tttytxlMyxMtyxOOOOMOkmOPxOPO为参数，的方程为移动形成的直线条件知台风中心，根据的坐标为后，台风中心设经过时间的方程为圆将受到台风侵袭。上时

17、，城市内或以圆在圆移动后的位置，当台风中心为半径作圆为圆心，以的坐标为角坐标系，如图，则点轴，建立直所在直线为为原点，解：取第35页/共57页第三十五页，共57页。侵袭后该城市开始受到台风所以，大约在的范围约为由计算器计算得，解得时有上内或在圆在圆当点为参数，即htttttOOttMtttytx26 . 80 . 2475215475215250)220()220300()220,220300()0(220220300222第36页/共57页第三十六页，共57页。思考：思考：在例在例3中，海滨城市中，海滨城市(chngsh)O受受台风侵袭大概持续多长时间？台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭

18、的半径也发生变化如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：比如：当前半径为当前半径为250KM，并以，并以10KM/h的速度不断增大的速度不断增大)，那么问题又该如何，那么问题又该如何解决？解决？第37页/共57页第三十七页，共57页。1. 直线直线(zhxin)参数方程参数方程2. 利用直线参数利用直线参数(cnsh)方程中参数方程中参数(cnsh) t 的的几何意义，简化求直线上两点间的距离几何意义，简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用注意向量工具的使用.00cos()sinxxttyyt 是是参参数数探究探究:直线的直线的参数方程形式参数方程形式是不是唯一的是不是唯一的| t |

19、= | M0M |00()xxattyybt 为为参参数数221abt当当时时，才才具具有有此此几几何何意意义义其其它它情情况况不不能能用用. .第38页/共57页第三十八页，共57页。第39页/共57页第三十九页，共57页。第40页/共57页第四十页，共57页。第41页/共57页第四十一页，共57页。OAMxyNB第42页/共57页第四十二页，共57页。OAMxyNB sinbycosax)( 为为参参数数 ,bya12222x第43页/共57页第四十三页，共57页。cosxasinyb0,2 ) sincos)1(byaxx轴轴焦焦点点在在 sincos)2(aybxy轴轴焦焦点点在在第4

20、4页/共57页第四十四页，共57页。OAMxyNB1bya2222 x)(sinbycosa为参数为参数 x)(sinycos为参数为参数 rrx第45页/共57页第四十五页，共57页。22149xy22116yx(1)(2)3 c o s5 s inxy8 c o s1 0 s i nxy(3)(4)2 c o s(1)3 sinxycos(2)4 sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx第46页/共57页第四十六页，共57页。2cos sinxy4232( , 0)3第47页/共57页第四十七页，共57页。xyOP),y,y(288P设设2882|4yy|d则则),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。三角函数表示，利用三角知识加以解决。第48页/共57页第四十八页，共57页。22110064xy:10cos ,8sinA