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1、精选优质文档-倾情为你奉上第五章 特征值与特征向量1、数字型矩阵的特征值与特征向量知识点： 定义：1º设阶方阵，如果存在数和非零向量使得，则称是A的特征值，称非零向量是属于的特征向量. 2º由 称为A的特征矩阵 为A的特征多项式，它的根就是A的特征值.求法：1）特征值： 2）特征向量：即求解线性方程组.注：属于同一个特征值的线性无关的特征向量为 .例1. 解：2、抽象矩阵的特征值与特征向量例2. 设3阶矩阵A的三个特征值为1，2，3，则 6 ，A1的特征值为 A*的特征值为 6,3,-2 A2+2A+E的可逆性 可逆 4,1,16 例3. 设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵

2、有一个特征值为（ ）.例4. 设向量都是非零向量，且满足条件，求（1）A2 （2）矩阵A的特征值和特征向量例5. 设A为3阶矩阵，且，则 解：A为特征值为： 111263、已知矩阵的特征值和特征向量来求矩阵和行列式等问题1）已知特征向量，一般用求解2）已知全部特征值和特征向量反求矩阵A 则3）已知部分特征值和特征向量，反求另一部分特征值，特征向量或矩阵A4）已知特征值反求行列式例6.设有特征值，试求参数a,b的值.解：分析：用特征议程可建立两个方程 得 得由得例7.设矩阵可逆，向量是A*的一个特征向量，是对应的特征值，求a,b,.解：由可逆，知0，从而.即.得得 a=2b得 b=1或b=-2

3、故当时，；当例8.已知是实对称矩阵A的三个特征值，且对徉的特征向量为，求A对应于16的特征向量及矩阵A解：设A对应于16的特征向量，由于A实对称属于不同特征值正交故故 属于16的特征向量为进一步 故4、矩阵相似和对角化的题目（2000，2001，2002，2003，2005，2007）知识点：1º相似矩阵具有相同的特征多项式2º矩阵A可对角化的充要条件且属于A的特征值的线性无关的特征向量个数之和有于。当A可对角化时，把个线性无关的特征向量作为矩阵P的列向量，则为对解矩阵，且对角矩阵的主对角线性的元素是A的个特征值。3º实对称矩阵必相似于对角矩阵例9.设A与B相似，其中 （1）求（2）求可逆矩阵P，使分析：已知相似，反过来求参数解：法一 AB，故有相同的特征多项式 得 令 得 令 得 法二：（2）由（1）知由，对应特征向量为令例10.设 （1）求出A的所有特征值和特征向量（2）判断A能否对角化？如能对角化，则求出相似变换矩阵P，使A化为对角形矩阵。解：（1）由 A的特征值为对应于对应于对应于（2）A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，故A可以对角化令 则 例11.设矩阵，已知A有三个线性无关的特征向量，是A的二重特征，试求可逆矩阵P，使得为对角形矩阵。解：因为A有三个线性无关的特征向量，时A的二重，故对应于的线

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