立体几何的面积和体积问题

1、立体几何的面积和体积问题常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式abcV= a b c引申：引申：长方体的对角线长长方体的对角线长=？长方体的表面积长方体的表面积=？s常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式hV棱柱棱柱= hs底底V柱体柱体= ？引申：引申：常用体积公式常用体积公式常用体积公式常用体积公式V棱锥棱锥= hs底底31=？V锥体锥体引申：引申：=？V球体球体=？V台体台体例例1若正四棱台的上、下底面的边长分别为若正四棱台的上、下底面的边长分别为2、4，高为，高为3，则此正四棱台的表面积为，则此正四棱台的表面积为_； 例例1变式变式1一个圆柱的侧面展开图是一个正方形

2、，这个一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比为圆柱的全面积与侧面积的比为_； 例例1变式变式2如图，半径为如图，半径为2的半球内有一个内接正的半球内有一个内接正六棱锥六棱锥P-ABCDEF，则此正六棱锥的侧面积为，则此正六棱锥的侧面积为_； PABCDEF例例2若正四棱柱的底面积为若正四棱柱的底面积为P，过相对两侧棱，过相对两侧棱的截面面积是的截面面积是Q，则该四棱柱的体积是（，则该四棱柱的体积是（ ） （A） （B） （C） （D）22QP22P QQPP Q直接法直接法2143例例3在边长为在边长为a的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N、P分别是棱

3、分别是棱A1B1、A1D1、A1A上的点，满足上的点，满足A1M= A1B1，A1N=2ND1，A1P= A1A，如图，试求三棱锥，如图，试求三棱锥A1MNP的体积的体积转换法转换法ABCDE变式变式1：如图，在边长为：如图，在边长为a的正方体的正方体 中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意一点，求三棱锥 的体积的体积。1111DCBAABCD11DEBA aa 22131361a解法分析：解法分析：V = 11DEBA 11EBAD V转换法转换法解：BBACACM转移顶点转移顶点法法转换法转换法变式变式3.3.已知三棱锥已知三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PA=1PA=1，

4、 AB=AC=2AB=AC=2，PAB=PAC=BAC=60PAB=PAC=BAC=60， 求三棱锥求三棱锥P-ABCP-ABC的体积？的体积？ABCP转换法转换法点评：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的点评：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用的方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个理论依据，相应的方法叫等积法理论依据，相应的方法叫等积法例例4.4.正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,Ea,E、F F分别是分别是BBBB1 1，DDDD1 1的中点，求四棱锥的中点，求四

5、棱锥D D1 1- -AECAEC1 1F F的体积？的体积？ABDCA1B1D1C1EF分割法分割法例例4 4已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体，的正方体，E E、F F分分别是棱别是棱AAAA1 1与与CCCC1 1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的体积？的体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱 形，连结EF，则解法分析：解法分析：或者：或者：11112EFDAEBFDAVV 变式变式1： 如右图，在多面体如右图，在多面体ABCDEF中，中，已知已知ABCD是边长

6、为是边长为1的正方形，且的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，均为正三角形，EFAB，EF=2，则该多面体的体积为，则该多面体的体积为.GH点评点评P变式变式2：已知三棱锥已知三棱锥PABC中，中， , , PA=BC=a且且ED=b求三棱锥的体积求三棱锥的体积PABCED解法分析：解法分析：abaBCED BCPA PADBC平面平面 垂面法垂面法变式变式3. 3. 将边长为将边长为a a的正方形的正方形ABCDABCD沿对角沿对角线线ACAC折起，使平面折起，使平面ADCADC平面平面ABCABC，求所，求所得三棱锥得三棱锥D-ABCD-ABC的体积？的体积？ABCDABCDOO翻折类问

7、题翻折类问题注意立体图形与平面图注意立体图形与平面图形的关系形的关系例例5：四面体：四面体SABC的三组对棱分别相等，且依的三组对棱分别相等，且依次为次为2 、 、5，求该四面体的体积，求该四面体的体积513练习：练习：已知：长方体已知：长方体 中，中，AB=4 ，BC=2， =3，求三棱锥，求三棱锥 的体积的体积解法分析：解法分析：= 24= 4C1.设棱锥的底面面积为设棱锥的底面面积为8cm2，那么这个棱锥的中截面，那么这个棱锥的中截面(过棱锥的中点且平行于底面的截面过棱锥的中点且平行于底面的截面)的面积是的面积是( ) (A)4cm2 (B) cm2 (C)2cm2 (D) cm2222

8、A2. 设长方体三条棱长分别为设长方体三条棱长分别为a,b,c，若长方体所有棱的，若长方体所有棱的长度之和为长度之和为24，一条对角线长度为，一条对角线长度为5 ，体积为，体积为2，则，则 等于等于 ( ) (A) (B) (C) (D)ACBA1C1B13.3.正三棱柱正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的底面边长为的底面边长为3 3， 侧棱长为侧棱长为4 4，求四面体，求四面体ABBABB1 1C C1 1的体积的体积. .用用等体积法等体积法 点到面的距离点到面的距离问题问题解解 决决P一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一个点一点到它在一个平面内的正射影的距离

9、叫做这一个点到这个平面的距离。到这个平面的距离。则则PA的长就是点的长就是点P到平面的距离。到平面的距离。P引申：直线到平面的距离呢？引申：直线到平面的距离呢？ 在棱长为在棱长为a a的正方体的正方体ACAC1 1中中:（1）点）点A A到面到面BCCBCC1 1B B1 1的距离为的距离为 ；（2）B B1 1D D1 1到面到面ABCDABCD的距离为的距离为 ； （3）点）点A A到面到面BBBB1 1D D1 1D D的距离为的距离为 aa例例1.1.在棱长为在棱长为a a的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中， 求点求点C C到截面到截面C C1 1BDBD的距离的距离. .ABCDA1B1C1D1 等体积法等体积法 定义法定义法例题变式例题变式1. 如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，PA平面平面 O，C为圆周上一点，若为圆周上一点，若AB5，AC2，求点，求点B到平面到平面PAC的距离的距离.ABCDPFEG例题变式例题变式2.2.已知已知:ABCD:ABCD是边长为是边长为4 4的正方的正方形形,E,F,E,F分别是分别是ADAD，ABAB的中点，的中点，PCPC面面ABCDABC