黄安基第13章动静法ppt课件

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法网上作业系统网上作业系统1、告知作业网站的网址：、告知作业网站的网址：222.18.54.19homework。2、告知学生用户的初始密码都是：、告知学生用户的初始密码都是：123。3、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的、开学三周之内改选过教学班的学生，需要同时利用作业系统的“选课功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课功能更改一下选课，使作业系统中的选课与教务处网站上的选课结果相同。选课结果相同。4、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请，并、开学后才选课的学生，可先通过作业系统提交一份登录申请

2、，并等候教师审批。等候教师审批。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法13-1 质点动静法质点动静法 13-2 质点系动静法质点系动静法第十三章第十三章 动静法动静法13-3 刚体定轴转动时轴承的附加动反力刚体定轴转动时轴承的附加动反力13-4 转子的静平衡与动平衡转子的静平衡与动平衡理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 本章介绍动力学的另外一个重要原理达朗贝尔原理。应用这一原理，可以把动力学问题从形式上转化为静力学问题，并利用静力学中研究平衡问题的方法来求解。 如图，人用手推车使车做加速运动过程中，人会感到受到力的作用，amFI 这个力是由于车具有惯性，力图保持原来的运

3、动状态而对人产生的反抗力，称为惯性力。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法NFFFam0)(amFFN移项FI为惯性力，上式为质点的达朗贝尔原理。为惯性力，上式为质点的达朗贝尔原理。 从形式上看作用在质点上的主动力、约束力和虚加惯性力组成平衡力系，13-1质点动静法质点动静法 如图所示质点的运动，若质点分别受到主动力 和约束力 作用，由牛顿第二定律：FNF 这只不过是处理动力学问题的一种方法，质点并未处于平衡状态。这种方法称为动静法。0INFFF引入惯性力具体应用时可以采用投影形式。具体应用时可以采用投影形式。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例例13-1 13-1

4、 列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度j j，相对于车厢静止。求，相对于车厢静止。求车厢的加速度车厢的加速度a a。 解：选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力： amFI0cossin , 0IFmgF由动静法, 有tg ga 解得 0ITFFgm 角随着加速度角随着加速度a a的变化而变化，当的变化而变化，当a a不变时，不变时， 角也不变。角也不变。只要测出只要测出j角，就能知道列车的加速度角，就能知道列车的加速度a。摆式加速度计的原理就是这样。摆式加速度计的原理就是这样。理

5、论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法13-2 质点系动静法质点系动静法 该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。设有一质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有 ) ,1,2,. ( 0INniFFFiii 把作用于质点的所有(主动、约束)力分为外力的合力 ，内力的合力 ，那么 )e(iF ) i (iF ) ,1,2,. ( 0I) i ()e(niFFFiii 上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上构成平衡力系。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 , 0F由于质点系的内力总是成对存

6、在，且等值、反向、共线，有 FM，FiiOii0)(0)()(因而，有0I)e(iiFF 质点系的每一个质点平衡，则整个质点系受一组平面或空间任意力系作用处于平衡状态，质点系所受平衡力系满足平衡条件： , 0)(FMO0)()(I)e(iOiOFMFM 上式表明，作用于质点系上的所有外力与虚加在每个质点上惯性力在形式上组成平衡力系，这就是质点系达朗贝尔原理的又一表述。 0)()(iiiFFFIie0)()()()()(iOiOiOFMFMFMIie 对整个质点系来说，动静法给出的平衡方程，只是质点系的惯性力系与其外力的平衡，而与内力无关。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法对于平面

7、任意力系：对于平面任意力系： 0)()( 0 0I)e(I)e(I)e(iOiOiyiyixixFMFMFFFF对于空间任意力系：对于空间任意力系：0)()( , 00)()( , 00)()( , 0I)e(I)e(I)e(I)e(I)e(I)e(iziziziziyiyiyiyixixixixFMFMFFFMFMFFFMFMFF 实际应用时, 同静力学一样选取研究对象, 列平衡方程求解。但需注意一定要把所有外力、惯性力、惯性力矩画出来。用动静法求解动力学问题时，理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 对于质点系，每个质点均虚加上各自的惯性力，这些惯性力形成一个力系，称为惯性力系，

8、利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给解题带来方便，这里讨论刚体平动、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。 该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做平动、定轴转动与平面运动的刚体。主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关，下面对刚体做平动、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的主矩进行讨论。CeiIiamFFF)(IR以FIR表示惯性力系的主矢，由 和质心运动定理0I)e(iiFF理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法1、刚体作平动、刚体作平动若选质心C为简化中心，则rCC=0，有：)(IiiOiOamrM 平动刚体的惯性力系可以简化为

9、通过质平动刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度心的合力，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。的乘积，合力的方向与加速度方向相反。作平动时，每一瞬时刚体上任一点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，如图，任选一点O为简化中心，有0ICMCam,CrCOCOiiarm)(COCarm)(COCamr若将惯性力系向其它点简化则利用力线平移即可得到向其它点简化的主矩理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法15质量为m的矩形方板用等长且平行的二杆悬挂，如下图。设杆长为l，杆的角速度=0，角加速度为，则该瞬时方板惯性力系的主矢的值FIC=

10、 ，主矩的值MIC= 。ABC理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法二、刚体作定轴转动二、刚体作定轴转动 IiFNCOiAiA iM 这里限于研究刚体具有质量对称平面这里限于研究刚体具有质量对称平面N N且固定转轴垂直于质量对称平面的情且固定转轴垂直于质量对称平面的情况，如下图。况，如下图。 通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间惯性力系转化为质量对称平面通过上图可将整个刚体的惯性力系从空间惯性力系转化为质量对称平面内的平面惯性力系。内的平面惯性力系。Ai、Ai的惯性力分别向的惯性力分别向N点平移后附加力偶相互抵消。点平移后附加力偶相互抵消。 由于刚体具有质量对称平面由于刚体具有质量对

11、称平面N N且固定转轴垂直于质量对称平面，考虑刚体且固定转轴垂直于质量对称平面，考虑刚体上对称上对称AiAi、AiAi两点。两点。IOMIRF再将该平面惯性力系向对称平面的转动中心O即为转轴与对称平面的交点O简化，可得到一个惯性主矢 和一个惯性主矩 。niaiaIniFIiFIiFaCNOCOcaIRFIOM理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 惯性主矩 应等于各质点惯性力对O点的力矩和。设刚体转动的角速度为 ，角加速度为。记 的转动半径为 ，那么IOMiMiriira 2iinra 相应地各质点的惯性力2Inii iFmr 方向如图b）。于是nIRIRCnCCCIRFFnmraa

12、mamF2CamFIRniaiaIniFIiFIiFCNO惯性主矢 可由如下计算：IRF)()()(nIiOIiOIiOIOFMFMFMMOzIOJM)(0)(2iiiiirmrrmiiIirmF 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法即上式中的负号表示惯性力主矩的转向与角加速度相反。 上面两式表明：刚体定轴转动时，其惯性力系向转动中心简化为一个力和一个力偶。 其中这个力的大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转动中心。 这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，作用在垂直于转轴的对称平面内，惯性力矩转向与角加速度的转向相反。CnIRC

13、IRCIOICJFMFMMM)()(nmraamamFCnCCCIR2（2简化于对称平面内的惯性力也可以向对称平面内任意一点例如质心简化于对称平面内的惯性力也可以向对称平面内任意一点例如质心C简简化化OzIOJMnmraamamFCnCCCIR2OzIOJM理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法（1刚体具有垂直于转轴系的质量对称平面；（2以转动中心转轴与质量对称平面的交点为简化中心。特殊情况：（1转轴通过刚体的质心C，如右图所示。此时, 0, 0ccar0（2刚体作匀速转动，如右图所示。此时0IRCmrF得出上述的结论有两个限制条件：0CIRamF0OzIOJM同时注意nmeFn2I

14、RCO（=0）e2meCcJCICJMnmraamamFCnCCCIR2OzIOJM理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法nmraamamFCnCCCIR2CICJMnmraamamFCnCCCIR2（1向转轴向转轴O简化：简化：（2向质心向质心C简化简化OIOJM考虑某杆件作定轴转动考虑某杆件作定轴转动理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法OaROaR 质量为m，半径为r的均质圆盘作定轴转动，其角速度为w，角加速度为a，则左图惯性力系向O点简化的结果为（ ），右图惯性力系向O点简化的结果为（ ）。 aaa225 . 1,mRJMmRFmRFOIOInIaa25 . 0,

15、0mRJMFOIOI222)2(LrvgPmaFCCI0aOIOJM)2(1212222LrgPLgPOCmJJCOABCOCvP,rL动量、对动量、对O动量矩、动能分别是多少动量矩、动能分别是多少理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法三、刚体作平面运动三、刚体作平面运动 这里限于研究刚体具有质量对称平面N且刚体平行于此平面运动的情况。把刚体的平面运动视为随质心的平动与绕质心的转动合成。 这样，刚体的惯性力系可设想为分成两组：一组是牵连惯性力，它的分布情况与刚体以加速度 作平动时相同；CaCaCa2iirmiirmciamniaiaCCacamcJ(b)(a)一组是相对惯性力，它的分

16、布情况与刚体绕质心轴转动时相同。一组是相对惯性力，它的分布情况与刚体绕质心轴转动时相同。则由刚体作平动和刚体作定轴转动转轴通过刚体质心的结果可知：则由刚体作平动和刚体作定轴转动转轴通过刚体质心的结果可知：前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组惯性力合成为一个力偶。前一组惯性力合成为作用在质心的一个力，后一组惯性力合成为一个力偶。即cIRamFCICJM理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 在铅垂平面内，均质杆AB长为l，质量为m，两端A和B分别沿地面和墙滑动，在图示位置，已知角速度为0，角加速度为a，则惯性力系的主矢大小为（ ），对质心C的主矩大小为（ ）。对点O的主矩大小为

17、（ ）。APCCa 2019111105质量为m，半径为r的均质圆轮在水平面作纯滚动，已知轮心的加速度为aC，则系统惯性力系对速度瞬心P的主矩的大小为（ ），对轮缘顶端A的主矩的大小为（ ）。 2amlFIa62mlCmRa5 . 1CmRa5 . 0a122mlACOBa22mlFIn理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法作业：作业：今天交上次：全部交作业今天交上次：全部交作业布置本次：布置本次：P425P425，习题，习题12-2812-28，要求：利用刚体平面运动微分方程提，要求：利用刚体平面运动微分方程提示：分别分析单个刚体，应用质心运动定理投影、相对质示：分别分析单个刚体，

18、应用质心运动定理投影、相对质心的动量矩定理，结合加速度基点法联立求解）心的动量矩定理，结合加速度基点法联立求解）P426P426，习题，习题12-3212-32理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法例例13-1 均质杆长均质杆长l ,质量质量m, 与水平面铰接与水平面铰接, 杆从与平面成杆从与平面成0角位角位置静止落下。求开始落下时杆置静止落下。求开始落下时杆AB的角加速度及的角加速度及A点支座反力。点支座反力。2mlFIR , 0nnI maFR （法1选杆AB为研究对象，虚加惯性力系： 解：根据动静法，有根据动静法，有) 1 ( 0cos , 0I0 FmgFFAA)2(0sin

19、00 FmgFFAA , nInn)3(02cos0)(0 Ml/ , mgFMIAA3 2ImlJMAA注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。; :由(2)得 mgFnA0sin ; cos23 : 0lg由(3)得。 : 0cos4mgFA代入(1)得理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法020cos2331cos2lgmllmg , cos23g , , 000lt 时法法2：用动量矩定理：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：质心运动定理再求解此题：解：选解：选AB为研究对象，为研究对象，2cos0lmgJA由动量矩定理，得：由质心运动定

20、理： 0cosmgFmaAC00cos4 , sin mgFmgFAnA所以0 此时nAnCFmgma0sin00cos432glaC这里理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法ARCBO1vrO2r 机车的连杆机车的连杆ABAB的质量为的质量为m m，两端用铰链连接于主动轮上，两端用铰链连接于主动轮上，铰链到轮心的距离均为铰链到轮心的距离均为r r，主动轮的半径均为，主动轮的半径均为R R。求当机车以匀。求当机车以匀速速v v直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及直线前进时，铰链对连杆的水平作用力的合力，及A A、B B处处的竖向约束力用动静法求解）。的竖向约束力用动静法求解）

21、。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法AOCer 置于水平地面上的半圆柱质量为置于水平地面上的半圆柱质量为m m，半径为，半径为r r，质心，质心C C距圆距圆心心O O的距离为的距离为e e，对过质心，对过质心C C且垂直于纸面的轴的转动惯量为且垂直于纸面的轴的转动惯量为J J。如半圆柱于图示位置如半圆柱于图示位置OCOC水平从静止开始运动，不计摩擦，水平从静止开始运动，不计摩擦，求：（求：（1 1试用达朗伯原理动静法计算初瞬时半圆柱的角试用达朗伯原理动静法计算初瞬时半圆柱的角加速度；（加速度；（2 2用动力学普遍定理求质心用动力学普遍定理求质心C C运动到最低位置时半运动到最低

22、位置时半圆柱的角速度。圆柱的角速度。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法均质杆均质杆AB重为重为P，长为，长为l，以两根长同为，以两根长同为l的绳子悬挂在水平的绳子悬挂在水平位置，当把位置，当把O2B突然剪断时，求：（突然剪断时，求：（1A点的加速度；（点的加速度；（2O1A段绳子的拉力；（段绳子的拉力；（3AB杆中点杆中点C点的加速度；（点的加速度；（4） AB杆的角加速度。杆的角加速度。 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 质量不计，长为质量不计，长为l l的杆的杆ABAB的一端焊接一质量为的一端焊接一质量为m m的小球的小球A A小球的尺寸可以略去不计），另一端

23、与质量也为小球的尺寸可以略去不计），另一端与质量也为m m的物块的物块B B光光滑铰接。物块滑铰接。物块B B放在光滑的水平地面上，初始时系统静止，杆放在光滑的水平地面上，初始时系统静止，杆ABAB铅垂，系统由于微小扰动而运动，求杆铅垂，系统由于微小扰动而运动，求杆ABAB运动至水平位置时：运动至水平位置时：（1 1物块物块B B的位移；（的位移；（2 2杆杆ABAB的角速度、角加速度；（的角速度、角加速度；（3 3地地面对物块面对物块B B的约束力。的约束力。AB理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法作业：作业：今天交上次：全部交作业今天交上次：全部交作业布置本次：布置本次：P42

24、5P425，习题，习题12-2812-28，要求：利用动静法，要求：利用动静法P426P426，习题，习题12-3212-32，要求：利用动静法，要求：利用动静法P457P457，习题，习题13-1713-17，要求利用两种方法求解，要求利用两种方法求解:(1):(1)利用刚体平利用刚体平面运动微分方程与运动学联立方法面运动微分方程与运动学联立方法;(2);(2)动静法。动静法。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法13-3 刚体定轴转动时轴承的附加动反力刚体定轴转动时轴承的附加动反力如图，以轴上任意一点O为简化中心，所有主动力FR和惯性力系FIR向该点简化，形成一空间任意平衡力系，

25、列平衡方程为 0000000000IIIRIRyyBxAxyxzAyByxRzBzzyRyByAyyxRxBxAxxMMOBFOAFMMMOAFOBFMFFFFFFFFFFFFF在工程中，绕定轴转动刚体存在动约束反力，这里运用所学动力学知识可求出动约束反力，并推出消除动约束反力的条件。由上述5个方程解得轴承的全约束反力，得理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 )()(1)()(1)()(1)()(1IRIIRIIRIIRIRzBzyxRyxByxyRxyBxyxRyxAyxyRxyAxFFOAFMOAFMABFOAFMOAFMABFOBFMOBFMABFOBFMOBFMABF显然，

26、惯性力没有沿z轴分量，FBz与惯性力系无关，而其他轴承约束力与惯性力系有关，这里把由于惯性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的轴承约束力称为动约束力，要使之为零，必须有00IIIRIRyxyxMMFF即要使轴承动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动约束力的条件是，转轴通过质心，刚体对转轴的惯性积等于零。0, 0 0, 02I2IIRIRaaxzyzyyzxzxCyyCxxJJMJJMmaFmaF所以，要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。要使主矩等于

27、零，必须有Jxz=Jyz=0，即刚体对转轴z的惯性积等于零。考虑 ，应有CeiamFF)(IR 使轴承动约束力等于零的条件是：惯性力系的主矢等于零，惯性力系对于x轴和y轴的主矩等于零。这说明什么？理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法如果刚体对通过某点的轴z的惯性积Jxz=Jyz=0等于零，称该轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。则上述结论可表达为：避免出现轴承动约束力的条件为是，刚体的转轴是刚体的中心惯性主轴。刚体的转轴通过质心，且除重力外，不受到其他主动力作用，则刚体可在任意位置静止，该现象称为静平衡。当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体转动不出现动约束

28、力，该现象称为动平衡，可以静平衡的定轴转动不一定出现动平衡，但能够动平衡的定轴转动刚体肯定能够实现静平衡。*从上面的分析可以看出，转轴的约束反力由两部分组成，一部分由主动力引起的，不能消除，称为静反力；一部分是由于惯性力系的不平衡引起的，称为附加动反力，它可以通过调整加以消除。 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法使附加动反力为零，须有静反力静反力附加动反力附加动反力动反力动反力当刚体转轴为中心惯性主轴时，轴承的附加动反力为零。0IIyxMM0IRIRyxFF0yzzxxzIII0022a a a ayzzxyzzxJJJJ00CyCxMaMa0CCyxz 轴为刚体在O点的惯性主轴

29、；过质心理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法例例1 质量不计的刚轴以角速度质量不计的刚轴以角速度匀速转动，其上固结着两个质匀速转动，其上固结着两个质量均为量均为m的小球的小球A和和B。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？。指出在图示各种情况下，哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？哪些是动平衡的？静平衡： (b)、 (d)动平衡： ( a)13-4 转子的静平衡与动平衡转子的静平衡与动平衡理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法GrrgGmrGrrFMbGrmrGrMaR2222I2I121 I21 , 0 : )(21 , 0 : )(a aa aa a对对2121 , a

30、aa a例例2 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？个角速度大？(a) 绳子上加力G(b) 绳子上挂一重G的物体OO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例13-2 牵引车的主动轮质量为m，半径为R，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力S、T及驱动力偶矩M，车轮对于通过质心C并垂直于轮盘的轴的回转半径为，轮与轨道间摩擦系数为f , 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩M 之最大值。amRmaFRCI 取轮为研究对象，虚加惯性力系： 解：解：由动静法，得：aa2ImJMCC) 1

31、 (00 FT , FFIRSx)2(00 SP , FFNy)3(00 MRFM , )F(MICSCOP理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法)3(00)2(00) 1 (00 MRFM , )F(M SP , FF FT , FFICSCNyIRSx由(1)得TFmRFSRaI mRTFSa所以得代入(3)mRTFmRFMRFMSSICS2RTRRFTFRRFMSSS222)()(4)RTRRSPfM22)(把(5)代入(4)得：由(2)得 FN= P +S，要保证车轮不滑动，必需FSf FN =f (P+S) (5)可见，可见，f 越大越不易滑动。越大越不易滑动。OP理论力学

32、电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 ,21aa 例例13-3 13-3 两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，两个相同的定滑轮如下图示，开始时都处于静止，问哪个角速度大？问哪个角速度大？(b) 绳子上挂一重G的物体O(a) 绳子上加力GO, 01GrMI, 02GrrFMIRI对a）对b）21 Grmr1221aGrrrgGmr)(21222aa理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 根据达朗贝尔原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学方程的方法，称为动静法。动静法举例动静法举例 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。应用动静法既可求运动，例如加速度、角

33、加速度；也可以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束力。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束力时，应用动静法求解它们时就方便得多。 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 选取研究对象。原则与静力学相同。选取研究对象。原则与静力学相同。应用动静法求动力学问题的步骤及要点：应用动静法求动力学问题的步骤及要点： 虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要在正确进行 运动分析的基础上。运动分析的基础上。 受力分析。画出全部主动力和约束反力。受力分析。画出全部主动力和约束反力。 运动分

34、析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出方向。 熟记刚体惯性力系的简化结果。 列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 建立补充方程。运动学补充方程运动量之间的关系）。建立补充方程。运动学补充方程运动量之间的关系）。 求解求知量。求解求知量。 注 的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 代入即可。ORMFI , IaOOCRJMmaFII , 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例13-4 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴

35、的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 , 111IamF 由动静法： , 0)(FMO列补充方程：aa2211 , raragJrmrmrmrm2222112211a取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：解：解： 方法1 用达朗伯原理求解 , 222IamFaaJJMOOI 0I22I11I2211OMrFrFgrmgrm02221112211aJramramgrmgrm代入上式理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法方法2 用动量矩定理求解 )

36、( 222211222111JrmrmJrvmrvmLOgJrmrmrmrm2222112211 a所以根据动量矩定理：2211222211)(dd grmgrmJrmrmt 取系统为研究对象2211)e()(grmgrmFMO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 1212，得由WTT)(2 212121222211222222112JrmrmJvmvmT取系统为研究对象，任一瞬时系统的 gr-mrm rgmrgmsgmsgmW)( 22112211221112gJrmrmrmrmdtd2222112211a 两边对时间t求导数，得方法3 用动能定理求解)(1某确定值CT grmr

37、mCJrmrm)()(222112222112 dtd)grmr(mJ)rmr(mdtd2211222211 任意假定一个初始值理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例例13-5 13-5 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮和鼓轮O O均为均质物体，各重为均为均质物体，各重为G G和和Q Q，半径均为，半径均为R R，绳子不可伸长，绳子不可伸长，其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面倾角其质量不计，绳与轮之间无相对滑动，斜面倾角j j，如在鼓轮上，如在鼓轮上作用一常力偶矩作用一常力偶矩M M，试求：，试求：(1)(1)鼓轮的角加速

38、度？鼓轮的角加速度？ (2)(2)绳子的拉绳子的拉力？力？ (3)(3)轴承轴承O O处的约束力？处的约束力？ (4)(4)圆柱体与斜面间的摩擦力不圆柱体与斜面间的摩擦力不计滚动摩擦）？计滚动摩擦）？理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 解：方法一解：方法一 用动静法求解用动静法求解OOOORgQJMaa2I21列出动静法方程：) 1 (00)( MMR , FFMIOTO , IAAagGF（2取轮A为研究对象，虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC如图示。（1取轮O为研究对象，虚加惯性力偶)2(0cos0 F , FFTOxx)3(0sin0 FQ , FFTOyyAARgGMa2I

39、21 理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法列出动静法方程：)4(0sin0)( MRFRFR , GFMIATIAC运动学关系：OAOAARRaaaaa 将MIA，FIA，MIA及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：gRGQRPMO2)3()sin(2a)5(0sin0 GFFF , FSIATxRGQQRMG FT)3()sin3(代入(2)、(3)、(5)式，得： , cos)3()sin3(RGQQRMGFOx, sin)3()sin3(QRGQQRMGFOya。 RGQGRMG FS)3()sin()6(0cos0 G , FFNy理论力学电子教程理论力学电子教程

40、第十三章 动静法方法二方法二 用动力学普遍定理求解用动力学普遍定理求解(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。)sin(sin12PRMPRMW)( 1常量CT )( AORRv22222222)3(4 22121221RPQgRgPvgPRgQTOAOgRPQPRMO2)3()sin(2a两边对t求导数： OOOPRMRPQga)sin(2)3(412 1212，得由WTT)sin()3(422PRMCRPQgO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法(2) 用动量矩定理求绳子拉力定轴转动微分方程）TRMRgQOa22RPQQRMPFT)3()sin3( 取轮O为研究对象，由动量矩定理得(

41、3) 用质心运动定理求解轴承O处约束力cos0 , TOxxCxFFFMacos)3()sin3(RPQQRMPFOx 取轮O为研究对象，根据质心运动定理：sin0 , yTOyCyFQFFMaQRPQQRMPFOy sin)3()sin3(理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法(4) 用刚体平面运动微分方程求摩擦力)(OASAAR FJRPQPRMPgRPQPRMRgPRRJFAAS)3()sin()3()sin(22122a方法三：用动能定理求鼓轮的角加速度取圆柱体A为研究对象，根据刚体平面运动微分方程TFOxFOyFSF用达朗贝尔原理求约束力绳子拉力 、轴承O处反力 和 及摩擦

42、力 ）。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例例13-6 13-6 均质圆柱体重为均质圆柱体重为G G，半径为，半径为R R，无滑动地沿倾斜，无滑动地沿倾斜平板由静止自平板由静止自O O点开始滚动。平板对水平线的倾角为点开始滚动。平板对水平线的倾角为j j ，试求，试求OA=S OA=S 时平板在时平板在O O点的约束力。板的重力略去不计。点的约束力。板的重力略去不计。 解：解：(1) (1) 用动能定理求速度，加速度用动能定理求速度，加速度G圆柱体作平面运动，在初始位置时，处于静止状态，故T1=0；在末位置时，设角速度为，则vC = R , 动能为：222224322121CC

43、vgGRgGvgGT 外力的功：sinGSWi由动能定理 得iWTT12 sin0432GSvgGCsin342gSvC 对 t 求导数，那么： , sin32gaCasin32 Rg理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法, sin32IGagGFCC列出动静法方程：SG MOcos G FFOxx0cossin32 , 02sin3GF Ox)sin321 (2GF Oy GG FFOyy0sinsin32 , 0 , 0)(FMOsin3sin32212IGRRgRgGMC(2) 用达朗贝尔原理求约束力取系统为研究对象，虚加惯性力FIR和惯性力偶MIC 0sincossin32s

44、in3 RGSGRGRGMO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 例例13-7 13-7 绕线轮重绕线轮重G G，半径为，半径为R R及及 r r ，对质心，对质心O O转动惯量为转动惯量为JOJO，在与水平成，在与水平成j j 角的常力角的常力T T 作用下纯滚动，不计滚阻，求：作用下纯滚动，不计滚阻，求：(1)(1)轮心的加速度；轮心的加速度；(2)(2)分析纯滚动的条件。分析纯滚动的条件。 解：用达朗伯原理求解解：用达朗伯原理求解 , IOOagGF由达朗贝尔原理，得0)(0)(rRTRFMFMOOCII , 将FIO 、MIO代入上式，可得2)cos(RgGJrRTRaOO

45、绕线轮作平面运动 （纯滚动）)(R a RaJMOOOO I理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法0cos , 0IOxFFTFOFTFIcos2)cos(cosRgGJrRTRgGTO2)cos(RgGJRrgGJTOO0sin0TGNFy , 纯滚动的条件：F f N sinTGN)sin()cos(2TGffNRgGJRrgGJTFOO)(sin()cos(2RgGJTGRrgGJTfOO理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 13-1. 13-1. 物体系统由质量均为物体系统由质量均为m m的两物块的两物块A A和和B B组成，放在光滑组成，放在光滑水平面上，物体水

46、平面上，物体A A上作用一水平力上作用一水平力F F，试用动静法说明，试用动静法说明A A物体对物体对B B物体作用力大小是否等于物体作用力大小是否等于F F ？思考题：思考题：解：0INFFAFmaFNFNN理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法cos2212221IaaaamFBcossintg2121aaa解：解： 13-2. 13-2. 质量为质量为M M的三棱柱体的三棱柱体A A 以加速度以加速度a1a1向右移动，质量为向右移动，质量为m m的滑块的滑块B B以加速度以加速度a2a2相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块B B的惯的惯性力的大小和方

47、向如何？性力的大小和方向如何？思考题思考题理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法 13-3. 匀质轮重为G，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度 ，角加速度为，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对质心C和水平面上O点的动量矩，向质心C和水平面上O点简化的惯性力系主矢与主矩。解：解：思考题思考题)(rgGvgGpC222121CCJvgGTgGrJLCC22,rgGagGFCICagGrJMCIC2222rgGJC222)2(21)(21rgGrgG2243gGrOgGrgGrrgGrJmvrLCCO23222,rgGagGFCIOgGrrgGrgGrFMJMICOC

48、IO232)(22理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法例例13-5 13-5 半径为半径为r r的均质圆柱形滚子重的均质圆柱形滚子重 ，被绳子拉住沿水平，被绳子拉住沿水平面作纯滚动，此绳跨过滑轮面作纯滚动，此绳跨过滑轮B B不计重量后悬挂重不计重量后悬挂重 为的物为的物体体A A。如重物。如重物A A下降的加速度下降的加速度 大小为大小为2a2a，试求各物体的惯性，试求各物体的惯性力并将他们分别画于图中各相应物体上。力并将他们分别画于图中各相应物体上。Aa1G2GAC1GAa2GB【解】【解】因绳长不可伸长，故aaaAH2因滚子作纯滚动，故aaaHC21raraCAC1GAa2GB

49、Ca1ICGRagICCMJaaaAH2agG22HD(b)将惯性力系向质心C简化主矢为11ICCGGRaagg主矩为21I12CCGMJrg重物A的惯性力为2I2AGRag理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法例例13-6 13-6 均质细杆支承如图均质细杆支承如图a a所示。已知杆长为所示。已知杆长为l l，重为，重为G G，斜面倾角，斜面倾角 。若杆与水平面交角。若杆与水平面交角 瞬时，瞬时，A A端的加端的加速度为速度为 ，杆的角速度为零，角加速度为，杆的角速度为零，角加速度为 。试求此瞬时杆。试求此瞬时杆上惯性力系的简化结果。上惯性力系的简化结果。 60 30AaaCAaa

50、ICMIFIeFBABAaC( )CAaAa【解】【解】杆AB作平面运动，可将惯性力系向质心C简化，故需求得质心C的加速度 ，以杆端点A为基点，那么Ca)()(CAnCAACaaaa上式中 方向如图b所示，故 a2021)(2)(laaCAnCA，)(CAACaaa理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法因此得此杆惯性力系得主矢为( )III()RCACAePPFaaaFFgg ( )IIeACAPPFaFagg ，式中惯性力系向质心简化得主矩为2I112CCPMJlgaa方向如图a所示。理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法例例13-713-7均质棒AB得质量为m=4kg，

51、其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图a所示。其中一绳BD突然断了，求此瞬时AC绳得张力F。ABCD(a)ICM)(CAamgAaFAaCIRxFIRyF(b)a【解】【解】当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的简化中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零，则点加速度为 。以A为基点，有AaCAAnCAnCAACaaaaaa理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法CAAnCAnCAACaaaaaa其中 ,l为棒长。a2laCA虚加惯性力系，如图b所示，有III2CCRxARymlMJFmaFaa，02220)(aaCAJlmllmgFm，那么因 ，得 2121ml

52、JClg23a020mgmlFFya，又NmgF8 . 941得理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法【思考题】 1 1、是非题、是非题（1不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化得到的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，而取相反方向。 （ ）对 （2质点有运动就有惯性力。（ ）错（3质点的惯性力不是它本身所受的作用力，其施力体是质点本身。 （ ）对理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法1 1、选择题、选择题 （1设质点在空中，只受到重力作用，试问在下列两种情况下，质点惯性力的大小和方向如何？（a质点作自由落体运动；（b质点被铅垂上抛 （ ）Aa与b的惯性力大小相等，

53、方向都铅直向下 Ba与b的惯性力大小相等，方向都铅直向上Ca与b的惯性力大小相等，（a向上、（b向下Da与b的惯性力大小相等，（a向下、（b向上B理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法（2如下图，半径为R，质量为m的均质细圆环沿水平直线轨道作匀速纯滚动，试问应如何虚加惯性力系？( )A.虚加惯性力 且 过速度瞬心O，铅直向下 2IvRmRIRB.虚加惯性力 且 过速度瞬心O，铅直向上 2IvRmRIRC.虚加惯性力偶矩 ，且为反时针转向 2IOMmRmRvD.惯性力系组成平衡力系D理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法（3如下图，车顶悬挂一质量为m的单摆，当车加速度a沿直线

54、加速行驶时，摆向后偏移。用达朗贝尔原理求的小车的加速度a为 ( )cotagaasinga acosga tanagaABCDaaD3 3如下图，均质杆如下图，均质杆ABAB的质量为的质量为4kg4kg，B B端置于光滑的水平面上端置于光滑的水平面上。在杆的端作用一水平推力。在杆的端作用一水平推力P=60NP=60N，使杆，使杆ABAB沿沿P P力方向作直线力方向作直线平动。试用动静法求平动。试用动静法求ABAB杆的加速度和角杆的加速度和角之值。之值。 ABCPG答案：答案：215/tan0.653cam s，理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法4.4.如下图，板的质量为如下图，板

55、的质量为m1m1，受水平力，受水平力F F作用，沿水平面运动，板作用，沿水平面运动，板与平面间的摩擦系数为与平面间的摩擦系数为f f。在板上放一质量为。在板上放一质量为m2m2的均质实心圆柱的均质实心圆柱，此圆柱对板只滚动而不滑动。求板的加速度。，此圆柱对板只滚动而不滑动。求板的加速度。OF答案：答案：3)(2121mmgmmfFa5 5匀质细杆弯成图示形状，位于铅垂面内，如下图。知：杆单匀质细杆弯成图示形状，位于铅垂面内，如下图。知：杆单位长度的质量为位长度的质量为q=0.6kg/mq=0.6kg/m，半径，半径r=0.2mr=0.2m。试用动静法求杆在图。试用动静法求杆在图示位置由静止释放

56、瞬时轴承处的约束力。（提示：半圆环质心与示位置由静止释放瞬时轴承处的约束力。（提示：半圆环质心与轴的距离）轴的距离）答案：答案：NFNFOyOx79. 4338. 0，Or理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法二者称为对z轴的惯性积，则惯性力系对x轴的矩为aiiiiirmamFttI切向惯性力iiiiiiiiixixixxzrmzrmFMFMFMMasincos )()()(2nItIII2、定轴转动刚体、定轴转动刚体如图刚体绕z轴作定轴转动，考虑某质点i，以轴上任意一点O为简化中心。有则惯性力系对x轴的矩为：iiiiiiIiiiiiiizymzxmMryrx2sincos a a

57、iiixziiiyzzxmJzymJ令2I a ayzxzxJJM2nnIiiiiirmamF法向惯性力理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法分别称为对z轴的惯性积，则惯性力系对x轴的矩为法向惯性力切向惯性力2nnIttI iiiiiiiirmamFamFiiiiiiiiixixixxzrmzrmFMFMFMMasincos )()()(2nItIII2、定轴转动刚体、定轴转动刚体如图刚体绕z轴作定轴转动，考虑某质点i，以轴上任意一点O为简化中心。有则惯性力系对x轴的矩为：iiiiiiIiiiiiiizymzxmMryrx2sincos a a iiixziiiyzzxmJzymJ令2I a ayzxzxJJM理论力学电子教程理论力学电子教程第十三章 动静法同理惯性力系对y轴的矩为2I a axzyzyJJM惯性力系对z轴的矩为