工程力学13-运动学及动力学

1、Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学运动学是研究物体运动的基础。运动学是研究物体运动的基础。 它描述物体在空间的位置随时间的变化，即运它描述物体在空间的位置随时间的变化，即运动，而不考虑引起运动的起因。动，而不考虑引起运动的起因。涉及：涉及：矢量、速度、加速度等。矢量、速度、加速度等。动力学是研究物体受力与运动之间的关系。动力学是研究物体受力与运动之间的关系。 它描述物体运动与力的之间的关系。包括以牛它描述物体运动与力的之间的关系。包括以牛顿定律延伸出的物

2、体受力与运动规律、定理等。顿定律延伸出的物体受力与运动规律、定理等。涉及：涉及：动力学两大类问题、动力学三大定理。动力学两大类问题、动力学三大定理。Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学p点的运动点的运动p刚体的基本运动刚体的基本运动Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 运动学研究模型概念：

3、运动学研究模型概念：点：点：不考虑质量和大小及形状时的物体不考虑质量和大小及形状时的物体 点是运动学研究模型之一点是运动学研究模型之一刚体：刚体：不考虑质量；但是不考虑质量；但是,其大小及形状其大小及形状不可忽略的物体不可忽略的物体 刚体是运动学研究的另一物体模型刚体是运动学研究的另一物体模型Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 作为描述物体与之相对位置的参考物体作为描述物体与之相对位置的参考物体13.1.1 参考系参考系1

4、1）参考体）参考体 建立在参考体上的坐标系建立在参考体上的坐标系 在工程中的力学研究中，需要指明参考体；通在工程中的力学研究中，需要指明参考体；通常将参考系固定在地面上，或者机器的机架上常将参考系固定在地面上，或者机器的机架上2 2）参考系）参考系 Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.1.2 描述点运动的矢量法描述点运动的矢量法OM1MrM2运动轨迹运动轨迹v考虑点考虑点M运动：运动：运动方程：运动方程： r = r(

5、t)(13-1) 以某确定点为参考点，以参考点到动点位置为以某确定点为参考点，以参考点到动点位置为矢径来描述点的位置的方法矢径来描述点的位置的方法矢量法矢量法速度：速度： v =drdt(13-2)单位单位: m/s，方向方向:轨迹切线轨迹切线加速度：加速度： a =dvdt=d2rdt2= r.(13-3)= r.单位：单位：m/s2Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.1.3 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐

6、标法OyxzjikMrzyx考虑点考虑点M在坐标系中的坐标：在坐标系中的坐标：(x,y,z)r = x.i + y.j + z.k(13-4)运动方程：运动方程： x = f1(t)y = f2(t)z = f3(t)(13-5)式（式（13-6）称为直角形式的运动方程；）称为直角形式的运动方程；消去参数消去参数 t 得到点的轨迹方程得到点的轨迹方程F(x,y,z) =0(13-6)Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.

7、1.3 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度：速度： v =drdt= x.i + y.j + z.k(13-7)设：设：速度在直角坐标轴上的投影速度在直角坐标轴上的投影:(vx，vy，vz)v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)得到：得到：vx = xvy = yvz = z(13-9)结论：结论： 点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的应坐标对时间的一阶导数一阶导数Bengbu college . The Department of

8、 Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.1.3 描述点运动的直角坐标法描述点运动的直角坐标法OyxzjikMrzyxr = x.i + y.j + z.k(13-4)速度：速度： v = vx.i + vy.j + vz.k(13-8)加速度：加速度： a = v= r= x.i + y.j + z.k= ax.i + ay.j + az.k(13-10)其中其中：(ax，ay，az) 表示加速度在直角坐标轴上的投影。表示加速度在直角坐标轴上的投影。得到：得到：ax = vxay = vy

9、az = vz= x= y= z(13-11)点的加速度在直角坐标轴上的投影，点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应速度投影对时间的等于点的对应速度投影对时间的一阶导数一阶导数，或等于点的对应坐标对时间的或等于点的对应坐标对时间的二阶导数二阶导数。结论结论:Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学椭圆规的曲柄椭圆规的曲柄OC 可绕定轴可绕定轴O 转动，其端点转动，其端点C 与规尺与规尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两两

10、端分别在相互垂直的滑槽中运动。端分别在相互垂直的滑槽中运动。求：求： M 点的运动方程点的运动方程 轨迹轨迹 速度速度 加速度加速度例例13-1BACOMyxj j解：解：x=x(t)， y=y(t)。x = (OCcos j j +CMcos j j)= (l+a)cosw wty = AMsin j j = (l- -a) sinw wtta，MClBCACOCwj=, ：已知已知点点M作曲线运动，取坐标系作曲线运动，取坐标系xOy运动方程运动方程Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineeri

11、ng .w.p_chen工程力学BACOMyxj jx= (l+a)cosw wty= (l- -a) sinw wt消去参数消去参数t，得轨迹方程：，得轨迹方程：椭圆椭圆速度：速度：vx = x=- - (l+a)w wsinw wtvy = y= (l- -a)w wcosw wtvM = vx2+ vy2=w w l2+ a2- -2a.l.cos2w w tcos(v,i)=vxv (l+a)w wsinw wtl2+ a2- -2a.l.cos2w w t=- -cos(v,j)=vyv (l- -a)w wcosw wtl2+ a2- -2a.l.cos2w w t=x2(l+a)

12、2y2(l- -a)2+ = 1Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学x= (l+a)cosw wty= (l- -a) sinw wt加速度：加速度：cos(a,i) =axa - -(l+a) cosw wtl2+ a2- -2a.l.cos2w wt=- -cos(a,j) =aya - -(l- -a) sinw wtl2+ a2- -2a.l.cos2w wt=w w2 l2+ a2- -2a.l.cos2w wt#BACOMyxj jax = v

13、x= x= (l+a)w w2cosw wt ay = vy= y= (la)w w2sinw wt a= a2x +a2y = (l+a)2w w4cos2w wt + (la)2w w4sin2w wt Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.1.4 描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法 利用点的运动轨迹建立坐标系，并描述和分析利用点的运动轨迹建立坐标系，并描述和分析点的运动的方法点的运动的方法弧坐标法弧坐标法OM

14、s(+)(- -)运动方程：运动方程： s= f (t)(13-12)该式称为：以该式称为：以弧坐标弧坐标表示的点的运动方程表示的点的运动方程速度：速度： v = v.t tt tddts=OM Mrr vrs(13-15)速度速度大小：大小： v =ddts= s方向：方向： 沿动点轨迹的切线方向沿动点轨迹的切线方向（与运动方向一致与运动方向一致）Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学= at + an nt t13.1 点的运动学点的运动学 13.1.4

15、 描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法运动方程：运动方程： s= f (t)(13-12)速度：速度： v = v.t tt tddts=(13-15)加速度：加速度： a =dvdt=dvdt t t + vddt反映速度大小变化反映速度大小变化at反映速度方向变化反映速度方向变化an(13-16)切向加速度：切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.t tanv2r= na = at + an(全全)加速度：加速度：(13-18)Bengbu college . The Department of Mechanical

16、and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.1 点的运动学点的运动学 13.1.4 描述点运动的弧坐标法描述点运动的弧坐标法= at + an nt t加速度：加速度： a =dvdt=dvdt t t + vddt(13-16)切向加速度：切向加速度：at = v= s(13-20)法向加速度：法向加速度：anv2r=(13-22)at = v.t tanv2r= na = at + an(全全)加速度：加速度：(13-18) 切向加速度反映的是速度值对时间的变化率，方切向加速度反映的是速度值对时间的变化率，方向沿轨迹的切线方向；向沿轨迹的切线方

17、向；法向加速度是加速度方向的改法向加速度是加速度方向的改变率，方向永远指向曲率中心。变率，方向永远指向曲率中心。大小：大小： a= at2+an2方向：方向：tanq =atanBengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学列车沿半径为列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过动。如初速度为零，经过2min后，速度到达后，速度到达54km/h。求：列车起点和未点的加速度。求：列车起点和未点的加速度。例例13-2RsO解：解

18、：分析：分析： v0=0，at=Constant，t=120s，v =15m/s列车作曲线加速运动，列车作曲线加速运动，取弧坐标如图取弧坐标如图dvdt= at = 常量常量积分得：积分得：v = at tat = v / t15120=0.125m/s2Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学RsO列车沿半径为列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速运的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过动。如初速度为零，经过2min后，速度到达后，速度到达54km/

19、h。求：列车起点和未点的加速度。求：列车起点和未点的加速度。例例13-2 t = 0 , an= 0 , a = at = 0.125m/s2 t = 2min =120sanv2r r=(15m/s)2800m= =0.281m/s2a = at2+an2= 0.308m/s2#Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 刚体基本运动的两个类型：刚体基本运动的两个类型：AB平行移动平行移动 定轴转动定轴转动 Bengbu

20、college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.1 平移平移 刚体运动时，其上一直线在运动过程中刚体运动时，其上一直线在运动过程中始终平始终平行行于于初始位置初始位置称为称为平行移动平行移动，简称，简称平移平移。OyxzABrABrBrAA1B1A2B2A、B两点的轨迹相同两点的轨迹相同rA= rB+ rAB常矢量常矢量Bengbu college . The Department of Mechanical and Electro

21、nical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.1 平移平移OyxzABrABrBrAA1B1A2B2rA= rB+ rAB速度：速度： d rABdt= 0d rAdt=d rBdt故故vA= vB(13-24)加速度：加速度： d vAdt=d vBdt得得aA= aB(13-25)结论：结论： 当刚体做平动时，其上各点的轨迹形状相同；当刚体做平动时，其上各点的轨迹形状相同； 在每一瞬时的速度、加速度也相同在每一瞬时的速度、加速度也相同平移刚体运动，可看平移刚体运动，可看作点的运动研究作点的运动研究Bengbu college

22、 . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.2 定轴转动定轴转动称为称为定轴转动定轴转动 运动刚体上运动刚体上( (或其扩展部分或其扩展部分) ) 有一条直线始终有一条直线始终保持不动。保持不动。转轴转轴j jj jAZw w运动方程：运动方程： 定轴转动刚体位置：定轴转动刚体位置：j j 转角转角( (rad) )j j = f(t)(13-26)角速度：角速度： = =d tdj jw w=j(13-27)方向：逆时针为正方向：逆时针为正

23、，单位：弧度，单位：弧度/ /秒秒 ( (rad/ /s) )Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.2 定轴转动定轴转动j jj jAZw w运动方程：运动方程： j j = f(t)(13-26)角速度：角速度： = =d tdj jw w=j(13-27)角速度与工程转速关系：角速度与工程转速关系： 2p pn60=p pn30转速转速n：r/min(转转/分分)rpm(13-28)Bengbu coll

24、ege . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.2 定轴转动定轴转动j jj jAZw w运动方程：运动方程： j j = f(t)(13-26)角速度：角速度： = =d tdj jw w=j(13-27)角加速度：角加速度： 2dt2dj=dtdwa=j=w(13-29) 角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导角加速度的大小等于角速度对时间的一阶导数；或等于转角方程对时间的二阶导数。数；或等于转角方程对时间的二阶导数。单位：弧度单位：弧

25、度/ /秒秒2 2 ( (rad/s2) )Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学例例13-5 计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。解：解：t = 0 , w w0 0 =0t = 3s :w w =p pn303000p30=100p (rad/s)dtdwa a= 常量常量（匀变速转动）30100p p0a adt= dw w积分：积分：a a= (ra

26、d/s2)100p p3解得：解得：又：又：dtdwa a=djdwdtdj=wdtdjBengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学例例13-5 计算机硬盘驱动器的电机匀变速转动，启动后为了尽快达到最大转速，要求3s内转速从零增加到3000r/min ，求电机的角加速度及转过的转数。积分：积分：#dtdwa a=djdwdtdj=wdjdwj j0100p p0a adj j= w wdw w解得：解得：=150(rad)j j = = ( (100p) )2(

27、(rad) )3100p12j2pN =150p2p=75(转)Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.2 定轴转动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度 OOsj jMMABrvatanaq转动方程：转动方程： s = rj j(13-30)速度：速度： v = s= rw w= rj j(13-31)加速度：加速度： at =dvdt= s= ra a= rj j(13-3

28、2)an=v2(rw w)2r= rw w2(13-33)=a aw w2a = at2 + an2= r a a 2 + w w4tanq q =atan(13-34)Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学13.2 刚体的基本运动刚体的基本运动 13.2.2 定轴转动定轴转动定轴转动刚体上各点的速度和加速度定轴转动刚体上各点的速度和加速度 速度、加速度分布情况：速度、加速度分布情况： vvv速度分布三角形速度分布三角形v= rw wa aat= ra aa

29、n= rw w2a= r a a2 + w w4a aq qanatavq qanataq qq qaa加速度分布三角形加速度分布三角形=a aw w2tanq qBengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学O例：例：13-6 汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。汽轮机叶轮由静止开始作匀加速转动。 轮上轮上M点距轮心为点距轮心为r，在某瞬时的全加速度与转，在某瞬时的全加速度与转轮半径之间的夹角为轮半径之间的夹角为 求叶轮的转动方程及求叶轮的转动方程及 t =2s 时

30、时M点速度和法向加速点速度和法向加速度。度。 设：设：a=40m/s2；t=0；j j0=0，q q=30，r=0.4m。aMr分解分解M点的全加速度（切线和法线方向）点的全加速度（切线和法线方向） 则，切向加速度和角加速度为：则，切向加速度和角加速度为：22/504 . 020/2030sin40sinsradrasmaatt=aq匀加速转动，角加速度匀加速转动，角加速度a a =常量，且常量，且与与a a同向同向解：解：Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen工程力学由初始条件，得叶轮的转动方程由初始条件，得叶轮的转动方程radttt22005021=awjj当当 t=2s 时，叶轮的角速度为：时，叶轮的角速度为：sradt/100250=aw求得求得M点的速度及法向加速度分别为：点的速度及法向加速度分别为：222/40001004 . 0/401004 . 0smrasmrvn=wwOaMr#Beng