理想流体的流动

1、1.3 理想流体的流动1、掌握、掌握理想流体、定常流动、流线与流管理想流体、定常流动、流线与流管的概念及的概念及 其物理意义；其物理意义； 3、掌握、掌握伯努利方程伯努利方程及其应用；及其应用； 2、掌握、掌握连续性原理连续性原理及其应用；及其应用；本节要求本节要求1.3.1 1.3.1 理想流体的定常流动理想流体的定常流动流体受压缩程度极小，其相应的密度流体受压缩程度极小，其相应的密度变化可忽略，可看作不可压缩流体。变化可忽略，可看作不可压缩流体。流体在流动时，若能量损耗可忽略不流体在流动时，若能量损耗可忽略不计，可看作非黏滞流体。计，可看作非黏滞流体。绝对不可压缩、完全没有黏滞性的流体绝对

2、不可压缩、完全没有黏滞性的流体一、理想流体二、二、 流体的流动流体的流动流体流速场的空间分布随时间变化。流体流速场的空间分布随时间变化。“定常流动定常流动”并不仅限于并不仅限于“理想流体理想流体”。1v2v3v（2）定常流动定常流动空间中任一固定点始终具有相同的流速。空间中任一固定点始终具有相同的流速。),(zyxvv t)z,y,v(x,v （1）非定常流动非定常流动流线流线：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方：分布在流场中的许多假想曲线，曲线上每一点的切线方 向和该点的速度方向一致。向和该点的速度方向一致。空间每一点仅有一个流速方向，空间每一点仅有一个流速方向，所以流线不会相

3、交。所以流线不会相交。流线密处，表示流速大。流线密处，表示流速大。三、流线三、流线（stream line）四、流管四、流管（flow tube）流管流管：由一组流线围成的管状区域称为流管。：由一组流线围成的管状区域称为流管。通常所取的通常所取的“流管流管”都是都是“细流管细流管”。细流管的截面积细流管的截面积 ，就称为流线。，就称为流线。0 S流速大流速大1v2v作定常流动的液体可以视为由无数稳定的细流管组成，所以，作定常流动的液体可以视为由无数稳定的细流管组成，所以，任一流管中的流动可以代表整个流体的流动。任一流管中的流动可以代表整个流体的流动。流管内、外的流体都不会穿越管壁。流管内、外的

4、流体都不会穿越管壁。 两截面处的流速分别为两截面处的流速分别为 和和 ，1v2v 取一细流管，任取两个截面取一细流管，任取两个截面 和和 ，1S2S1.3.2连续性原理（连续性原理（The principle of continuity） 描述了描述了定常流动的流体定常流动的流体任一流管中流体元在不同截面处的任一流管中流体元在不同截面处的流流速速 与与截面积截面积 的关系。的关系。vS流体密度为流体密度为 。经过时间经过时间 ，流入细流管的流体质量，流入细流管的流体质量t 111 1mVS vt 同理，流出的质量同理，流出的质量222 2mVS vt 流体作定常流动，故流体作定常流动，故流管内

5、流体质量始终不变流管内流体质量始终不变，即，即21mm 1 12 2S vS vCSv 上式称为上式称为连续性原理连续性原理或或质量守恒方程质量守恒方程，其中，其中 称为称为质量流量。质量流量。Sv S1S2v1v2t物理本质：体现了不可压缩的流体在流动中物理本质：体现了不可压缩的流体在流动中质量守恒质量守恒对于不可压缩流体，对于不可压缩流体， 为常量，故有为常量，故有CqSvV常量上式称为不可压缩流体的上式称为不可压缩流体的连续性原理连续性原理或或体积连续性方程体积连续性方程，其中其中 称为称为体积流量，简称流量，体积流量，简称流量， 。Vq 是对细流管而言的。物理上的是对细流管而言的。物理

6、上的“细细”，指的是截，指的是截面上各处速度一样，不论多大，均可看成面上各处速度一样，不论多大，均可看成“细流管细流管”。CSv 对同一流管而言，对同一流管而言，C 一定。横截面积一定。横截面积 小处则速度大，横截小处则速度大，横截面积面积 大处则速度小。大处则速度小。VSvt 单位：单位： m3/s其物理意义是单位时间内通过横截面积其物理意义是单位时间内通过横截面积S S的液体体积。的液体体积。例例求求解解一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为一根粗细不均的长水管，其粗细处的截面积之比为4 1， 已知水管粗处水的流速为已知水管粗处水的流速为2ms-1。水管狭细处水的流速水管狭细处水的流

7、速v1v2S1S2由连续性原理知由连续性原理知2211vSvS 得得12112sm8SvSv【例】横截面是【例】横截面是4m4m2 2的水箱，下端装有一的水箱，下端装有一导管，水以导管，水以2m/s2m/s从导管流出，如果导管横从导管流出，如果导管横截面是截面是10cm10cm2 2，那么水箱下降时的速度是，那么水箱下降时的速度是多少？多少？【解】设【解】设 , , , , 由连由连续性原理有续性原理有 ，代入数据，得，代入数据，得214mS 2210cmS smV/222211VSVSsmv/10541伯努利人物简介丹尼尔丹尼尔伯努利伯努利（1700178217001782），），数学、物理

8、学、医学家数学、物理学、医学家。他自幼。他自幼兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，兴趣广泛、先后就读于尼塞尔大学、斯特拉斯堡大学和海德堡大学，学习学习逻辑逻辑、哲学哲学、医学医学和和数学数学。17241724年，丹尼尔获得有关年，丹尼尔获得有关微积分方微积分方程程的重要成果，从而轰动欧洲科学界。丹尼尔的学术著作非常丰富，的重要成果，从而轰动欧洲科学界。丹尼尔的学术著作非常丰富，他的全部数学和力学著作、论文超过他的全部数学和力学著作、论文超过8080种种17381738年他出版了一生中年他出版了一生中最重要的著作最重要的著作流体动力学流体动力学17251757172517

9、57年的年的3030多年间他曾因天多年间他曾因天文学文学(1734)(1734)、地球引力、地球引力(1728)(1728)、潮汐、潮汐(1740)(1740)、磁学、磁学(1743(1743，1746)1746)洋洋流流(1748)(1748)、船体航行的稳定、船体航行的稳定(1753(1753，1757)1757)和振动理论和振动理论(1747)(1747)等成果，等成果，获得了巴黎科学院的获得了巴黎科学院的1010次以上的奖赏次以上的奖赏17471747年他成为柏林科学院成年他成为柏林科学院成员，员，17481748年成为巴黎科学院成员，年成为巴黎科学院成员，17501750年被选为英国

10、皇家学会会员，年被选为英国皇家学会会员，他还是波伦亚他还是波伦亚( (意大利意大利) )、伯尔尼、伯尔尼( (瑞士瑞士) )、都灵、都灵( (意大利意大利) )、苏黎世、苏黎世( (瑞士瑞士) )和慕尼黑和慕尼黑( (德国德国) )等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，等科学院或科学协会的会员，在他有生之年，还一直保留着彼得堡科学院院士的称号还一直保留着彼得堡科学院院士的称号 他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、他最出色的工作是将微积分、微分方程应用到物理学，研究流体问题、物体振动和摆动问题，他被推崇为数学物理方法的奠基人物体振动和摆动问题，他被推崇为数学物理方法的

11、奠基人 17821782年年3 3月月1717日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。日，丹尼尔伯努利在瑞土巴塞尔去世。 伯努利方程给出了作伯努利方程给出了作定常流动定常流动的的理想流体理想流体中任意两点或中任意两点或截面上截面上 、 及地势高度及地势高度 之间的关系。之间的关系。pvh一、一、 伯努利方程的推导伯努利方程的推导如图，取一细流管，经过短暂时间如图，取一细流管，经过短暂时间 t ，流体从，流体从ab运动到运动到ab。tvSV111tvSV222流过两截面的体积分别为流过两截面的体积分别为由连续性原理得由连续性原理得VVV21流体经过流体经过t 时间动能变化量：时间动能变化量：21222

12、12221212121VvVvmvmvEkbv1aap1s1bv2p2s2根据连续性原理，根据连续性原理，bb段的流体质量段的流体质量 等于等于aa段的流体质量，段的流体质量， 设为设为 ，m1212VghVghmghmghEpVPtvSPW11111VPtvSPW22222由功能原理由功能原理 ：pkEEWVhhgVvvVPP)()(21)(12212221222212112121ghvPghvP常量ghvP221或或即即上式即为上式即为伯努利方程伯努利方程的数学表达式。的数学表达式。设两段流体元相对共同参考面的高度分别为 、1h2hS1S2P1P2h1h2v1v2Vp-pW21二、伯努利方

13、程的意义二、伯努利方程的意义a、空吸作用（Suction ）原理：原理：SB VB PB 当当PB P0 时，产生空吸现象。时，产生空吸现象。三、伯努利方程的应用三、伯努利方程的应用212PvC（1）等高流线中流速与压强的关系）等高流线中流速与压强的关系CqSvV常量BAvd1 d2 =2 1 S1 S2 = 4 1 且且v 1= 1ms-1 解解例例求求.一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为一水平收缩管，粗、细处管道的直径比为2 1 ，已知粗，已知粗管内水的流速为管内水的流速为1ms-1 ,细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。细管处水的流速以及粗、细管内水的压强差。得得 v2 = 4v1

14、 = 4 ms-12222112121vpvp又由又由由由 S1v1 =S2v2 得得Pa105714100121213223212221.vvpp粗管内的压强高于细管 水从图示的水平管道水从图示的水平管道1中流入，并通过支管中流入，并通过支管2和和3流入管流入管4。如管如管1中的流量为中的流量为900cm3s-1. 管管1、2、3的截面积均为的截面积均为15cm2,管管4的截面积为的截面积为10cm2,假设水在管内作稳恒流动，假设水在管内作稳恒流动，例例求求解解（1）管）管2、3、4的流量的流量;（2）管）管2、3、4的流速的流速;（3）管）管1、4中的压强差中的压强差.1234v1v2v3

15、v4(1)由连续性原理知由连续性原理知 Q4= Q1 = 900cm3s-1v1 = Q1S1 = 90015 = 60cms-1 S2 = S3 Q2 + Q3 = Q1 Q2 = Q3 = 450cm3s-1(2) v2 = v3 = Q2S2 = 45015 = 30cms-1v4 = Q4S4 = 90010 = 90 cms-12442112121vpvp得得a223212441P2256 .09 .0100 .12121vvpp(3)由伯努利方程由伯努利方程222121BBAAvPvP（测量管道中体积流量）（测量管道中体积流量）b. 汾丘里流量计汾丘里流量计 又由连续性原理又由连续

16、性原理BBAAVvSvSqghPPBA222BABABBVSSghSSvSq管道中管道中B B点的流速点的流速222BAABSSghSv对流线中等高的两点对流线中等高的两点A A、B B，由伯努利方程由伯努利方程v解得：解得：管道中的流量管道中的流量沿流线沿流线B B A A 列伯努利方程列伯努利方程221122BBAApvpvgHpB)(hHgpAghB2法国人皮托，1773年（2 2） 流速的测定流速的测定0vA 当流体在障碍物前受阻时，障碍物前有一点流速为零，该点称为驻点c流速大流速大驻点驻点ABhHBBBAAAghvPghvP222121BBAAvSvS选取选取B处为参考面，所以处为参

17、考面，所以 hB=0, hA=h 解得解得（3）射流速率）射流速率由伯努利方程：由伯努利方程：0BABAvSSv可知，可知，ghvB2 即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落即流体从小孔流出的速度与流体质量元由液面处自由下落到小孔处的流速大小相等。到小孔处的流速大小相等。-托里拆利公式托里拆利公式在一个开敞的大容器水面下在一个开敞的大容器水面下h处的器壁上开有一处的器壁上开有一个小孔，水由小孔流出。求小孔处水的流速。个小孔，水由小孔流出。求小孔处水的流速。ABPA= P 0 P B =P 0例例 容器内水的高度为容器内水的高度为H，水自离自由表面，水自离自由表面h深的小孔流出深的小孔流出 求水流达到地面的水平射程求水流达到地面的水平射程x。Hhx解：解：可看作理想流体做稳定流动可看作理想流体做稳定流动, 从水面至小孔取一流线，水面流从水