《概率的假设检验》ppt课件

1、第八章第八章 假设检验假设检验8.1 基本概念基本概念8.1.8.1.问题的提出问题的提出例：某车间用一台包装机包装食盐，设包得的袋装盐重例：某车间用一台包装机包装食盐，设包得的袋装盐重服从正态分布。长期实践表明，其标准差为服从正态分布。长期实践表明，其标准差为10g10g，当机，当机器正常工作时，其均值为器正常工作时，其均值为500g500g。为检验某天包装机是否。为检验某天包装机是否正常，从该天所包装的盐中任取正常，从该天所包装的盐中任取1616袋，称得其样本平均袋，称得其样本平均值为值为510g510g，试问：该天机器工作是否正常？，试问：该天机器工作是否正常？例：随机抽查了例：随机抽查

2、了100个铸件，其表面的砂眼数如下表示：个铸件，其表面的砂眼数如下表示：砂眼数砂眼数i频数频数n i0 1 2 3 4 5 6 14 27 26 20 7 3 3试问：铸件的砂眼数是否泊松分布？试问：铸件的砂眼数是否泊松分布？两类问题：两类问题：参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验8.1.2.8.1.2.假设检验的基本思想假设检验的基本思想: : 小概率事件在一次试验中几乎不会发生小概率事件在一次试验中几乎不会发生 大概率事件在一次试验中几乎肯定发生大概率事件在一次试验中几乎肯定发生:,500,10),(:1 . 1 . 802为为此此提提出出如如下下假假设设应应等等于于的的均

3、均值值则则总总体体如如果果机机器器正正常常知知未未其其中中参参数数设设加加以以说说明明结结合合例例gXgNX;500:00H.:01H.,10为备选假设为备选假设为原假设为原假设称称HH.,;,1000HHHH接受备选假设接受备选假设拒绝拒绝否则否则则不拒绝则不拒绝正确正确若检验结果是原假设若检验结果是原假设?:0是是否否正正确确如如何何判判定定问问题题H:).X(|X|X,H.1000因因此此的的近近似似值值看看成成是是把把不不应应太太大大偏偏差差的的与与的的较较优优的的无无偏偏估估计计则则正正确确如如果果 ;,|).1 (00HX则则接接受受不不是是很很大大如如果果.,|).2(100HH

4、X接受接受则拒绝则拒绝很大很大如果如果)1 ,0(/:,.200NnXUH统统计计量量成成立立时时当当.,|0为为检检验验统统计计量量称称的的大大小小衡衡量量的的大大小小衡衡量量归归结结为为对对故故可可以以把把对对UUX.,|,.)|(|:),01.0 ,05.0,(:002121HHuuUUP否否则则不不拒拒绝绝则则拒拒绝绝若若有有的的观观测测值值再再计计算算使使得得如如小小概概率率先先给给定定一一个个小小正正数数具具体体方方法法.96.14|16/10500510|:|,10,510,16;96.1,05.0, 1.1.8975.021uxn故故查查表表若若取取结结合合例例.,96. 1|

5、10该该天天机机器器不不正正常常接接受受故故拒拒绝绝生生了了在在一一次次试试验验中中竟竟然然发发小小概概率率事事件件HHU .率率性性质质的的反反证证法法以以上上方方法法其其实实是是一一种种概概,称称为为显显著著性性水水平平给给定定的的.|210称为拒绝域称为拒绝域的区域的区域拒绝拒绝UWH).(2121和和值值拒拒绝绝域域边边界界值值称称为为临临界界8.1.3.8.1.3.双侧检验与单侧检验双侧检验与单侧检验双侧假设：双侧假设：0010:,:.HH单侧假设：单侧假设：右侧假设：0010:,:.HH0010:,:.HH或左侧假设：0010:,:.HH0010:,:.HH或第一类错误或弃真错误第

6、一类错误或弃真错误第二类错误或取伪错误第二类错误或取伪错误8.1.4.8.1.4.两类错误两类错误)|(00为真为真拒绝拒绝HHP.)H|H(P00 不真不真接受接受。概概率率，这这叫叫显显著著性性检检验验不不考考虑虑犯犯第第二二类类错错误误的的而而错错误误的的概概率率我我们们总总是是控控制制犯犯第第一一类类一一般般错错误误。，才才能能同同时时降降低低这这两两类类只只有有增增加加容容量量不不能能同同时时减减少少和和确确定定后后样样本本容容量量,n.,n 8.1.5.8.1.5.假设检验的基本步骤：假设检验的基本步骤：(1) 根据实际情况提出原假设根据实际情况提出原假设H0和备择假设和备择假设H

7、1;(2) 假设假设H0成立，构造适当检验统计量成立，构造适当检验统计量W;(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平，根据统计量根据统计量W的分布查表的分布查表确定临界值和拒绝域；确定临界值和拒绝域；(4)根据样本观察值计算统计量的值，并将其与临根据样本观察值计算统计量的值，并将其与临界值比较；界值比较；(5)下结论：若检验统计量的观察值落入拒绝域，就下结论：若检验统计量的观察值落入拒绝域，就拒绝拒绝H0 ，否则接受，否则接受H08.2 一个正态总体参数的假设检验一个正态总体参数的假设检验设总体设总体XN(，2)，X X1 1， ，X Xn n 为来自为来自总体总体X的一个容量为的一个容量为

8、n的样本的样本11,niiXXn2211()1niiSXXn1 1、已知已知 2 2，总体均值，总体均值的假设检验的假设检验(2)假设原假设假设原假设H0成立，构造检验统计量成立，构造检验统计量0(0,1)/XUNn(1) 建立原假设和备择假设建立原假设和备择假设（双侧假设）（双侧假设）8.2.1 8.2.1 一个正态总体均值的假设检验一个正态总体均值的假设检验00100:,:(.HH已知)/21-/22u120u(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平) ，查查U的的1- /2分分位点位点 使得使得1/2u1/2|P Uu(4)拒绝域为拒绝域为1/2|Uu将样本观察值

9、代入比较后下结论。将样本观察值代入比较后下结论。这种检验方法称为这种检验方法称为U检验法检验法。(2)假设原假设假设原假设H0成立，构造样本函数成立，构造样本函数*(0,1)/XUNn(1) 建立原假设和备择假设建立原假设和备择假设（右侧假设）（右侧假设）00100:,:(.HH已知)(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平) ，查查U的的1- 分分位点位点 使得使得1u*1P Uu当当H0成立时，成立时，0,/XXUnn011/XXuunn011,/XXPuPunn01./XPun(4)拒绝域为拒绝域为1Uu.:.:;:10100UWHH其其拒拒绝绝域域为为对对左左测

10、测检检验验例例8.2.1：某种橡胶的伸长率：某种橡胶的伸长率XN(0.53,0.0152)，现改进，现改进配方，对改进配方的橡胶抽样分析，测得伸长率如下：配方，对改进配方的橡胶抽样分析，测得伸长率如下：0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 5.54 已知改进配方后的橡胶伸长率的方差不变，问已知改进配方后的橡胶伸长率的方差不变，问改进配方后橡胶的平均伸长率有无显著变化改进配方后橡胶的平均伸长率有无显著变化( =0.05)?)1 ,0(Nn/XU:,H.:H;53.0:H:000100 统统计计量量成成立立时时当当检检验验假假设设解解96. 1:,05.

11、0975. 02/1u查表得查表得对于给定对于给定96. 1|:0UWH 的的拒拒绝绝域域为为得得.96. 14 . 5|9/015. 053. 0557. 0|:|,015. 0,53. 0, 9,557. 00uUnx的的观观测测值值从从而而统统计计量量且且由由观观测测值值计计算算得得.05. 0.H,|u|0伸长率有显著变化伸长率有显著变化胶的平均胶的平均下可认为改进配方后橡下可认为改进配方后橡在在所以拒绝所以拒绝落入拒绝域落入拒绝域由于由于 例：已知某种元件的使用寿命例：已知某种元件的使用寿命(单位：单位：h)服从标准差服从标准差为为=120h的正态分布。按要求，该种元件的使用寿的正态

12、分布。按要求，该种元件的使用寿命不得低于命不得低于1800h才算合格，今从一批这种元件中随才算合格，今从一批这种元件中随机抽取机抽取36件，测得其寿命平均值为件，测得其寿命平均值为1750h。试问：。试问：这批元件是否合格这批元件是否合格(=0.05)?:,120),(,:2可提出检验假设可提出检验假设已知已知设元件寿命设元件寿命检验检验故可以考虑单侧故可以考虑单侧寿命越长越好寿命越长越好显然显然解解NX,1800:00H01:H:,0统统计计量量成成立立时时当当原原假假设设这这是是一一个个左左侧侧检检验验H).1 , 0(Nn/XU0 645.1:,05.095.01查查表表得得取取,645

13、.1:0 uWH 的的拒拒绝绝域域为为得得:,1800,1750,36,120:0的的观观测测值值为为得得统统计计量量由由已已知知Uxn, 6 . 15 . 236/12018001750u.,0元元件件不不合合格格可可以以认认为为这这批批所所以以拒拒绝绝因因为为HWu 2 2、 2 2未知，总体均值未知，总体均值的假设检验的假设检验(2)假设原假设假设原假设H0成立，构造检验统计量成立，构造检验统计量0 (1)/Xtt nSn(1) 建立原假设和备择假设建立原假设和备择假设（双侧假设）（双侧假设）00100:,:(.HH已知)(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平)

14、 ，查查t的的1- /2分分位点位点 使得使得1/2(1)tn1/2| |(1)P ttn(4)拒绝域为拒绝域为1/2| |tt将样本观察值代入比较后下结论。将样本观察值代入比较后下结论。这种检验方法称为这种检验方法称为t检验法检验法。2(1)tn120(1)tn1-01002:;:,HH的的右右侧侧检检验验总总体体均均值值未未知知)1(:1nttW拒绝域拒绝域01002:;:,HH的的左左侧侧检检验验总总体体均均值值未未知知)1(:1nttW拒绝域拒绝域 H0 H1 2 2已知已知 2 2未知未知在显著性水平在显著性水平下关于下关于H0的拒绝域的拒绝域 = 0 0 |U| u1-/2 |t|

15、 t1-/2(n-1) = 0 0 U u1- t t1- (n-1) = 0 0 U -u1- t - t1- (n-1)一个正态总体均值的假设检验表一个正态总体均值的假设检验表0/XUn0/XtSn例例8.2.3：已知某炼铁厂铁水含炭量服从均值为：已知某炼铁厂铁水含炭量服从均值为4.53的正态分布，某日随机测定了的正态分布，某日随机测定了9炉铁水，含碳量如炉铁水，含碳量如下下: 4.43, 4.50, 4.58, 4.42, 4.47, 4.60, 4.53, 4.46, 4.42问该日铁水平均含碳量是否仍为问该日铁水平均含碳量是否仍为4.53(=0.05)?:,),(:22待待检检假假设

16、设为为未未知知设设该该日日铁铁水水含含量量解解NX.:;53. 4:0100HH:,02统统计计量量成成立立时时当当检检验验法法故故使使用用未未知知由由于于Ht)1(/0ntnSXt:,306.2)8()1(,05.00975.02/1的的拒拒绝绝域域为为得得查查表表得得对对于于Htnt306.2|tW:|,0676. 0,49. 4:的的观观测测值值为为统统计计量量由由样样本本观观测测值值计计算算得得tsx,306. 2775. 1|9/0676. 053. 449. 4|t.53.4,0含含炭炭量量仍仍为为认认为为该该日日该该铁铁水水故故可可接接受受由由于于HWt 8.2.2 8.2.2

17、一个正态总体方差的假设检验一个正态总体方差的假设检验1 1、已知已知 ，总体均值，总体均值 2 2的假设检验的假设检验(2)假设原假设H0成立，构造检验统计量22202101() ( )niiXn2222200100:,:(.HH已知)(1) 建立原假设和备择假设（双侧假设）（双侧假设）n,：n20 充充分分大大时时注注意意(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平) ，查查02的的1- /2分分位点位点 使得使得221/2/2( )( )nn和22220/201/2( ), ( )22PnPn(4)拒绝域为拒绝域为22220/ 201/ 2( )( )nn或将样本观察值

18、代入比较后下结论。将样本观察值代入比较后下结论。2 2、未知未知 ，总体均值，总体均值 2 2的假设检验的假设检验(2)假设原假设假设原假设H0成立，构造检验统计量成立，构造检验统计量222222100(1)1() (1)niinSXXn2222200100:,:(.HH已知)(1) 建立原假设和备择假设建立原假设和备择假设（双侧假设）（双侧假设）1n,：S22P2 注意注意(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平) ，查查2的的1- /2分分位点位点 使得使得221/2/2(1)(1)nn和2222/ 21/ 2(1),(1)22PnPn(4)拒绝域为拒绝域为2222

19、/ 21/ 2(1)(1)nn或将样本观察值代入比较后下结论。将样本观察值代入比较后下结论。这种检验方法称为这种检验方法称为2检验法检验法。(2)假设原假设假设原假设H0成立，构造函数成立，构造函数222*2(1)(1)nSn2222200100:,:(.HH已知)(1) 建立原假设和备择假设建立原假设和备择假设（左侧假设）（左侧假设）)(用于过渡用于过渡(3)对于给定的检验水平对于给定的检验水平(显著性水平显著性水平) ，查查2的的分分位点位点 使得使得2(1)n222(1)(1),nSPn当当H0成立时成立时，22220(1)(1)nSnS2222220(1)(1)(1) (1)nSnSn

20、n2222220(1)(1)(1)(1)nSnSPnPn2220(1)(1).nSPn(4)拒绝域为2220(1)(1)nSn H0 H1 已知已知 未知未知在显著性水平在显著性水平下关于下关于H0的拒绝域的拒绝域 2 2 = 2 20 2 2 2 20 02 2 1- /2(n) 2 2 1- /2(n-1) 2 2 = 2 20 2 2 2 20 02 2 1- (n) 2 2 1- (n-1) 2 2 = 2 20 2 2 2 20 02 2 (n) 2 2 (n-1)一个正态总体方差的假设检验表一个正态总体方差的假设检验表2202101()niiX2220(1)nS例：已知尼纶纤维度在

21、正常条件下服从方差例：已知尼纶纤维度在正常条件下服从方差2=0.0442的正态分布，某日随机抽取的正态分布，某日随机抽取6根纤维，测得其纤度为根纤维，测得其纤度为1.35, 1.50, 1.56, 1.48, 1.44, 1.53, 问该日纤度的总体方问该日纤度的总体方差是否仍为差是否仍为0.0442(=0.05)?20212202022:;044. 0:,),(:HHNX要要检检验验假假设设未未知知设设该该日日纤纤度度解解:,0统统计计量量成成立立时时当当 H) 1() 1(22022nSn:,833.12) 5() 1(,831. 0) 5() 1(,05. 002975. 022/120

22、25. 022/的的拒拒绝绝域域为为故故得得查查表表得得由由Hnn.833.12831.022或或W:,00555.0)(11122从从而而有有niixxns,833.1233.14044. 000555. 0) 16(22.,02方差有显著变化方差有显著变化认为该日纤度的认为该日纤度的所以拒绝所以拒绝因为因为HW._,/:,:,:,),(.10001002212为为的的拒拒绝绝域域则则若若采采用用统统计计量量时时检检验验假假设设未未知知当当的的样样本本总总体体是是来来自自设设总总体体WHnSXTHHXXXXNXn);1(|).(2/1ntTA) 1().(1ntTB);1().(ntTC)(

23、).(ntTD)( : C答答的置信区间。的置信区间。为为平均质量的置信度平均质量的置信度求该日包装的化肥每袋求该日包装的化肥每袋仍为仍为袋平均质量是否袋平均质量是否检验该日包装的化肥每检验该日包装的化肥每计算后为计算后为袋的质量经袋的质量经某日开工后，测得某日开工后，测得质量质量服从正态分布，其标准服从正态分布，其标准每袋质量每袋质量装出厂化肥，装出厂化肥，某化肥厂自动包装机包某化肥厂自动包装机包例例%95).2().05. 0(100).1 (.7556.11)(, 8 .8999,100)(. 2912910kgxxxkgukgiiii检检验验：均均未未知知，为为此此提提出出假假设设，质

24、质量量解解：据据题题意意，每每袋袋化化肥肥22,),(NX)1(|2/10nttWH的的拒拒绝绝域域：0100:;100:HkgH统统计计量量：成成立立时时当当,0H) 1(/0ntnSXt,977.998 .8999191:91iixx由题意由题意,212. 17556.1181)(191912iixxs057.0|9/212.1100977.99|t,306. 2)8() 1(975. 02/1tnt而而.100,|0kgHt质量仍为质量仍为每袋化肥每袋化肥受受不在拒绝域内，所以接不在拒绝域内，所以接故：故：91.1003212.1306.2977.99)1(04.993212.1306.

25、2977.99)1(.2(2/12/1nsntxnsntx）的置信区间为：的置信区间为：的置信度为的置信度为质量质量故每日包装化肥的平均故每日包装化肥的平均%95)91.100,04.99(设设检检验验两两个个正正态态总总体体参参数数的的假假. 3 . 8.,),(),(21212121222211nnYYYXXXnnNYNX及及独独立立样样本本的的取取容容量量为为从从这这两两个个总总体体中中分分别别抽抽设设两两个个总总体体212112222121211211)(11,)(11,1,1niiniiniiniiYYnSXXnSYnYXnX设检验设检验两个正态总体均值的假两个正态总体均值的假. 1

26、 . 3 . 8),.(:;:21211210都未知都未知考虑双侧检验考虑双侧检验HH:,7 . 4 . 6,).1 (02221统计量统计量成立时成立时当当知知由定理由定理已知已知当当H) 1 , 0(222121NnnYXU:,:2221双侧检验的拒绝域为双侧检验的拒绝域为已知时已知时故故.|2/1UW:, 8 . 4 . 6,).2(022212221统计量统计量成立时成立时当当则由定理则由定理但但未知未知若若H)2(112121nntnnSYXTW:其其中中2) 1() 1(21222211nnSnSnSW.:验验需需要要先先进进行行方方差差相相等等检检说说明明)2(|:212/1nn

27、tTW拒绝域拒绝域)225(4 . 8P更更详详细细的的检检验验结结果果见见表表)05. 0?(:,2 . 1 , 5 . 1 , 3 . 3 , 5 . 1 , 6 . 0 , 0 . 0 , 2 . 2 , 7 . 1:8 . 0 , 4 . 5 , 7 . 2 , 8 . 1 , 3 . 4 , 5 . 3 , 1 . 0 , 1 . 0:,8 ,8,16,;,. 1 . 3 . 8显显著著差差异异这这两两种种药药的的效效果果是是否否有有试试问问分分布布都都服服从从方方差差相相同同的的正正态态与与假假设设延延长长时时数数记记录录如如下下人人服服乙乙药药人人服服甲甲药药其其中中个个病病人人

28、现现在在独独立立观观察察眠眠延延长长的的时时数数表表示示服服用用乙乙药药后后睡睡以以眠眠时时间间延延长长的的时时数数后后睡睡表表示示失失眠眠病病人人服服用用甲甲药药以以治治疗疗效效果果比比较较它它们们的的乙乙两两种种安安眠眠药药设设有有甲甲例例YXYXYX:,),(),(:2212221待待检检验验假假设设为为由由题题意意知知均均未未知知设设解解NYNX,:;:211210HH).2(11:,21210nntnnSYXTHw统统计计量量成成立立时时当当.1448.2)14()2(:,05.0, 8975.0212/121tnntnn查查表表得得取取定定已已知知:0得得拒拒绝绝域域为为由由此此可

29、可得得 H1448.2|TW:,98857. 0, 5 . 1,91125. 3,3375. 2212221所所以以由由于于nnsysx565. 1298857. 091125. 322) 1() 1(222121222211ssnnsnsnSW0703.18181565.15.13375.2:t于于是是.,0的疗效无显著差异的疗效无显著差异认为甲乙两种药认为甲乙两种药所以不拒绝所以不拒绝因为因为HWt双双侧侧检检验验：设设检检验验两两个个正正态态总总体体方方差差的的假假. 2 . 3 . 8;:22210H.:22210H又又值值应应该该接接近近的的观观测测计计量量的的差差异异不不会会太太大

30、大，即即统统与与成成立立时时，当当方方差差的的无无偏偏估估计计，所所以以是是总总体体未未知知时时，由由于于样样本本方方差差与与当当）（, 1/.122212221021SSSSH2 , 1),1() 1(2222inSniiiii分分布布的的定定义义得得相相互互独独立立，再再由由与与且且F2221)1, 1(/2122222121nnFSS成成立立时时，统统计计量量所所以以当当0H)1, 1(212221nnFSSF使使得得：与与查查表表得得临临界界值值对对于于给给定定显显著著性性水水平平),1, 1()1, 1(,212/212/1 nnFnnF 2/) 1, 1(2/)1, 1(212/2

31、12/1nnFFPnnFFP).1, 1() 1, 1(,212/212/121nnFFnnFFW或或绝绝域域为为：未未知知时时，双双侧侧检检验验的的拒拒故故当当),(1),(122/1212/nnFnnFF检检验验法法，由由：这这种种检检验验法法成成为为形式：形式：故拒绝域又可写为如下故拒绝域又可写为如下) 1, 1(1),1, 1(122/1212/1nnFFnnFFW或或)35. 8(面面方方法法简简化化处处理理，取取在在实实际际应应用用中中，常常按按下下) 1, 1(),min(),max(22212221*分母分母分子分子nnFSSSSF1),(1122/1nnF很很小小时时，当当.1,*F另另一一方方面面.) 1, 1(12/1*不成立不成立因此：因此：分母分母分子分子nnFF)1, 1()35. 8(2/1*分分母母分分子子改改写写为为：故故拒拒绝绝域域nnFFW验验：已已知知，同同样样考考虑虑双双侧侧检检当当21,).2(;:22210H.:22210H成成立立时时，当当0H