整式的乘除 教材分析

1、整式的乘除教材分析浙版新教材第5章整式的乘除是在七年级（上）第四章代数式学习的基础上，结合初一学生已有的生活经验，引入同底数幂的乘、除法则，幂的乘方和积的乘方法则等实现由整式的加减运算到整式的乘除运算的过渡，使学生思维品质提升到一个更高的层面，实现学生思维活动的一个质的飞跃。同时，它又为以后学习因式分解、分式及解方程等内容作准备。因此这一章在整个初中代数中起着承上启下的作用。根据新课程标准，本章的内容有所减少，教学要求有所降低。与原教材相比，在“整式的乘法”部分，多项式的乘法仅指一次式相乘，删掉了二次及二次以上多项式相乘的内容，只在C组习题中保留了少量的简单的这方面内容的题目；在“乘法公式”部

2、分，只保留平方差公式与完全平方公式，并由直接运用公式不超过三次降低为两次，删去了立方和与立方差公式及其相关内容；在“整式的除法”部分，删掉了关于多项式除以多项式的内容。A本章教学内容在知识学习上各部分知识之间的联系如下：现实世畀、其他学科、数学中的间题情境禺同底数幕的乘法、幕的乘方积的乘芳整式乘除运算解决间题-整式的乘法广单项式乘以单项式t乘法分配律f单项式乘以多项式t乘法分配律J多项式乘以多项式、平方差、完全平方公式广平方差公式乘法公式完全平方公式S：同底馥黑册除法*零指数和负整馥指馥黑整式的除法单项式除以单项式）t乘法分配律參项式除以单项式从上面可以看出，本章内容有两个突出的特点，一个是内

3、容联系紧密，另一个是以运算为主。本章内容紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。全章重点是整式的乘除运算，包括运用乘法公式进行运算，关键是单项式的乘除运算，而正整数指数幂的运算性质是基础。A本章教学目标1. 经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。2. 了解整式指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，掌握同底数幂的乘、除法则，以及幂的乘方和积的乘方法则，并能进行简单的混合运算。3. 掌握整式乘除的运算法则，会进行简单的整式加、减、乘、除混合运算，并能解决实际问题(其中多项式相乘仅限于一次式相乘，整式的除法只要求到

4、多项式除以单项式且结果是整式)。4.会推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(ab)2=a22ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单的计算。5.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。以及感受推理过程的意义和必要性。A本章教学重点1. 在实际问题中，使学生经历探索幂的运算性质和整式的运算法则的过程，发展推理能力和有条理的表达能力；2. 理解整式乘、除法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及表达能力；3. 会推导平方差公式和完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。A本章教学难点1. 了解整式指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质，理解幂的

5、乘、除、乘方法则、积的乘方法则的推导过程。2. 了解平方差公式、完全平方公式的几何背景3. 在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心。A本章设计思路1、为了达到上述教学目标教材设置了大量的实际背景，一方面在实际问题情境中产生了计算整式乘除的需要，是让学生体会学习整式的一些有关运算的必要性，另一方面在学习完整式的加减后本身也具有必须向乘除运算这一高级运算发展。使学生经历实际问题“符号化”的过程，培养符号感。2、在本章的引例、例题和课后练习中共引用有关天体行星、以及航天技术等内容的材料达11处，通过丰富的实例，以“问题情境数学模型求解模型”为主要线索呈现整式及其运算的内容，注重从问题

6、情境中寻求数量关系，运用符号进行表示的过程，形成幂的运算性质及整式的乘除运算法则。使学生感受到了数学的价值和学习的必要性，发展“用数学”的信心。3、教材几乎为每一种整式运算都设置了具体的探索活动，以“观察归纳类比概括”为主要线索呈现运算法则的探索过程，在探索活动中体会整式运算的规律，把握其算理。注重学生推理能力和表达能力的培养。4、通过设置恰当数量和难度的符号运算，注重整式运算每一步的算理，要求学生说明运算的根据，重视幂的意义、乘法分配律等的作用，渗透转化、类比等思想，促进学生对算理的理解和基本运算技能的掌握。5、渗透数形结合思想。数形结合思想是数学中一个非常重要的基本思想，它在一定程度上反映

7、了数学的本质。数与形的有机结合，实际上就是抽象与直观的结合。在以运算为主的“整式的乘除”一章中，抽象的运算公式、性质和法则借助于图形，就可以直观地反映它们的含义，揭示它们的本质，便于学生理解，增强记忆效果。比如介绍单项式与多项式相乘的运算法则时，利用宽都是m,长分别是a、b、c的三个长方形，组成一个宽为m、长为a+b+c的长方形，并且这个长方形的面积等于前三个长方形的面积之和，从而直观地解释了运算法则m(a+b+c)=ma+mb+mc。再如在处理多项式的乘法法则以及完全平方公式时，都渗透了数形结合的思想。6、渗透集合与对应的思想。集合作为数学的基本语言，可以简洁明了地表述数学概念，准确、简捷地

8、进行数学推理。集合与对应的思想是中学数学中的重要思想，是建立函数概念的基础，而函数是中学数学的重要内容之一，因此尽早渗透集合与对应的思想是必要的。本章在这方面作了积极的努力。例如，在整式除法的P143练习第3题，就渗透了集合与对应的思想，给出了一些代数式，需要用对应的方法添上对应的元素。7、渗透分类的思想。合理的分类可以使知识条理化，便于从整体掌握知识。分类思想是指把被研究的数学问题视为一个整体，然后根据一定的划分标准，将整体分为几个部分，通过对这几部分的研究，达到对整体的认识。分类思想也是中学数学中一种重要的思想，本章教材中给予了充分重视。比如在同底数幂的除法法则amFan=am-n中，教科

9、书首先讨论了mn的情况，并将结论用方框加以强调，作为正整数指数幂的一条性质要求学生掌握和熟练应用，接着又讨论了m=n的情况，得出关于0指数幂的规定，最后又讨论了mVn的情况，给出负整数指数幂的概念，为以后把正整数指数幂的性质推广到整数及有理数范围打下基础。8、注意发挥三种数学语言的功能。本章注意充分发挥文字语言、符号语言、图形语言这三种数学语言的功能，根据内容的具体特点，将三种语言有机地结合起来。比如教材在介绍单项式与多项式相乘（P119-120）以及多项式与多项式相乘（P123）的法则时，先通过计算，得出用符号语言表达的法则，然后又用图形语言加以解释，最后用文字语言加以概括和总结。再如，P1

10、26平方差公式，教材首先给出公式的符号表示，然后用文字语言进一步说明，最后用图形语言给出直观解释。P128完全平方公式先利用图形语言，在使用符号语言，最后用文字语言。三种语言的有机结合，有利于学生理解和掌握知识，提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学交流能力。A本章评价建议1. 注重对学生从具体问题中抽象出数量关系以及探索运算法则等过程的评价。可以从以下两个方面来进行：一是学生在具体活动中的投入程度能否积极，主动地从事各项活动，向同伴解释自己的想法，听取他们的建议和意见等。二是学生在活动中的水平是否能通过独立思考抽象出数量关系或探索运算法则，能否有条理地表达自己的活动过程，是否有独立的解决问题

11、的想法，是否能反思自己的活动过程并提出一些新的问题等。2. 对知识技能的评价应关注学生对整式运算法则的理解和运用，以及学生基本运算技能的形成。对知识技能的评价应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用，而不仅仅是记忆和使用的熟练程度，代数知识的学习应“淡化形式、注重实质”，避免“背黑体字”和“抠字眼”，评价时一定要避免出现，是否能背运算法则等非本质的问题，而将重点放在对有关内容的理解和运用上来。A课时安排本章教材的编排上可分为四个单元，共七个小节，教学时间约为17课时，建议分配如下：第一单元同底数幂的乘法4课时第二单元整式的乘法3课时第三单元乘法公式3课时第四单元整式的除法4课时复习测

12、试2课时课题学习1课时教学中应注意的问题1、准确把握教学要求为减轻学生负担，培养学生的创新精神和实践能力，新课标对于那些对后续学习意义不大、学得很早但用得很晚，以及过繁过难的内容进行了删减或降低要求。教学中要注意准确把握教学要求，避免将删掉或降低难度的内容重新拣回。在内容减少、要求降低，但课时不变的情况下，组织课堂教学要逐渐由以教师传授知识为主转变为以学生的主动探索学习为主，留给学生足够的时间，让学生进行充分的讨论与探究，发展学生的合作能力和创新精神。2、合理配置问题本章主要学习正整数指数幂运算性质与整式乘除的运算法则，以运算为主是本章的一个特点，因此本章是培养学生正确使用公式、性质、法则进行

13、运算，提高运算能力的很好的素材。教学时要让学生做一定量的习题，使学生不仅能够根据这些运算公式、性质和法则进行正确的运算，而且能够理解运算的算理，合理安排运算顺序，寻找简捷的运算途径。但习题量要适当，难度要适中，题目要有针对性，避免过多的机械性重复训练和偏题、难题、怪题，对公式、性质、法则等的应用，切忌死记硬背、生搬硬套，真正提高学生的运算能力。3、探究法则的形成过程可能带来的问题教学时间不够，根据新课程标准的要求，重视过程的学习，因此，教学不必过分拘泥于教学内容的完成。各单元具体教学建议：第一单元同底数幕的乘法教学建议：1. 幂的性质运算是本章学习的起点，也是后续整式乘除运算学习的基础，它的掌

14、握程度直接关系到本章是否能较顺利的学习。：aam=an+m，这个性质在数学上是非常重要的，它体现了幂函数的本质特征。教学中教师要通过大量的特例让学生感受一般，鼓励学生用自己的语言描述在同底数幂运算过程中底数、指数发生了怎样的变化反复体会幂运算的意义。同时，注意算法的多样性，只要正确就要鼓励，但也要注意学生可能出现的错误，剖析原因，切实把握幂的运算意义。另外，幂的乘法的运算的学习与同底数幂的除法运算在教学设计与学习方法上具有较强的类比性，因此意义重大，故单独作为一个单元。2. 给出幂的性质运算一般的推导过程，同时要让学生感受到推导的意义和必要性。因为学生以前所经历的得出规律的过程，基本上用归纳的

15、方法，他们对推导的意义和必要性会感到困惑。要向学生说明，前面的归纳过程帮助我们发现规律，但不能说明规律对所有情况都正确，所以要给出一般的推理说明。在这过程中，底数和指数都应当用字母表示，只有这样的推导过程才具有一般意义。屈性认识具体数字的同底魏靂相乘宇母表示的同底数幕相乘方法迁移3、教学设计要遵循着本分知识形成的特点：特例计算一一建立猜想一一符号表示一般证明一一形成法则。建议教师在学生得出法则后有意识的引导学生对学习方法以及探究过程的回顾。分斬思考字母表示的黑的性质运算法则类出方法归纳特例计算猜想3. 开展好“合作学习”这样活动形式，教师首先必须要明确新知的发现探究法则的过程比单纯记忆法则要重

16、要得多。让学生在探索幂的运算性质时，可以按照：确定内容、自主探究、组内交流、记录整理、全班展示基本环节开展，真正达到有争议，有发现，有创新而不是流于形式，走过场。第二单元整式的乘法教学建议：（1）教学中一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘法的必要性；鼓励学生运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘以单项式的运算法则，鼓励学生运用乘法分配律、同底数幂的乘法性质说明单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式运算结果的合理性。（2）单项式的乘法又是单项式与多项式相乘及多项式乘法的基础，无论是单项式乘多项式还是多项式乘多项式，都必须转化为单项式的乘法来计算，因此学好单项式的乘法是学好本

17、单元的一个关键。初学时一定要让学生明白其算理，体会乘法适合交换律和同底数幂的运算性质在其中起了关键的作用。（3）教学中要重视学生对算理的理解，使学生体会重要的数学思想方法转化，而不必要求学生背诵法则。评价建议：过程性：关注学生在探索运算法则过程中所表现出的积极性及对乘法的几个运算律和同底数幂的乘法性质的掌握程度；关注学生是否清晰、有条理地与同伴交流。知识性：是否能熟练进行整式乘法运算。第三单元乘法公式乘法公式应用非常广泛，一方面可以简化计算，另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础。乘法公式也是本章的重点之一，教学时要注意引导学生仔细观察分析公式的结构特征，掌握公式的实质，让学生在欣赏数学

18、结构美的同时，体会数学公式的优越性。（一）平方差公式教学建议：（1）对例1、例2中的教学，要帮助学生对照平方差公式找特点，培养学生的观察能力；（2）对P126的“做一做”，要引导学生体会根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明这一重要的数学探索过程，要让学生体会符号运算对证明猜想的作用，同时引导学生体会“数形结合”思想的重要性。（3）对平方差公式可以作适当的变形与分析：“两数差与两数和的积,”（ab）（ab）=a2b2 字母a,b可代表什么（不出现a,b表示多项式的情况） 公式两边符号特征 口语化表达：“等于相同项的平方减去相反项的平方”评价建议：过程性:(1)关注学生在探索平方差公式

19、过程中的参与态度。学生对例1、例2及P126的“做一做”，平方差公式几何解释的兴趣。知识性：关注学生对符合平方差公式运用计算的多项式乘法观察的敏锐性，能否熟练运用平方差公式进行简单的计算。(二)完全平方公式教学建议：1、教学中，应在讨论的基础上，从代数运算的角度运用多项式乘法法则，推导出公式(ab)2=a22ab+b22.关于公式(ab)2=a22ab+b2的获得，要鼓励学生自己探索，鼓励学生算法的多样化，学生既要可以按多项式的乘法的法则计算；也可以利用公式(a士b)2=a22ab+b2来获得结果。2、对公式的几何解释学生普遍感到困难，教师可以根据两幅图的变化过程制成动画或操作演示。评价建议：过程性：(1)公式推导过程中关注学生对多项式乘法法则的掌握程度；(2)公式得出后关注学生对公式的理解；(3)对P130练习2关注学生算法的合理性及