2.1隐函数与参量函数的导数ppt课件

1、5.3 5.3 隐函数与参量函数的导数隐函数与参量函数的导数 一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称称为为隐隐函函数数由由方方程程所所确确定定的的函函数数xyy .)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: :隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? ?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.01 0,.xyxxyeedy dyydx dx例求由方程所确定的隐函数的导数332 3,3 3 ( , ),2 2 .CxyxyCC例

2、曲线 的方程为求过 上点的切线方程 并证明曲线 在该点的法线通过原点223 arctanln,ydyxyxdx例设求例4 求证抛物线ayx 上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。适用范围:(

3、 )( ).v xu x多个函数相乘、乘方、开方和幂指函数的情形32(1)16 ,.(4)xxxyyxe例设求解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx(1)(2)7 (3)(4)xxyxx例求的导数解解这函数的定义域这函数的定义域 1, 32, 4 xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy3131

4、21112 xxxxyy8 yxdyxydx例 设求解解两边取对数得两边取对数得yxxylnln 两边对两边对 x 求导得求导得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy sin9 (0),.xyxxy例设求解解 等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )

5、()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去参数消去参数22)2(xty 42x xy21 问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?( )C()( )xttyt 平面曲线0()p tt点处有切线000,( )0,()ttQ tt 设在点 可导，且000000000()( )lim( )lim()( )(

6、 )limtttttttyttttxtt 切线的斜率00000( )( )0,( )0cotlim( )ttxttyt 若但，则有22, ,0CC( )xtt 若在上都存在连续的反函数，且称曲线 为光滑曲线，其特点是在曲线 上不仅每一点都有切线，且切线与 轴正向的夹角是 的连续函数,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy 参量函数参量函数( ),( ),( )0,xtytt再设函数都可导 且由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtd

7、xdtdydxdy 即即解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 (sin )10 (1 cos )2xa tttyat例求摆线在处的切线方程.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即设曲线设曲线由极坐标方程由极坐标方程r=r()r=r()所确定，试求该所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点上点处的切线的直角坐标方程处的切线的直角坐标方程例11 2(,)2ere解解由极坐标和直角坐标的变换关系知由极坐标和

8、直角坐标的变换关系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 时时当当 er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy时时当当2 切线斜率为切线斜率为12 dxdyk), 0()2,(22 eeer所对应的直角坐标为所对应的直角坐标为上点上点而而 故切线的直角坐标方程为故切线的直角坐标方程为)0(2 xey 2 eyx 即即例12002000,cos ,1sin,2(1);(2).vxv tyv tgttt不计空气的阻力 以初速度发射角发射炮弹 其运动方程为求炮弹在时刻 的运动方向炮弹在时刻 的速度大小解解xyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt00(1),.tt在 时刻的运动方向即轨迹在 时刻的切线方向可由切线的斜率来反映00)21sin(20