大学物理下第15章-11

1、2013-2014 2013-2014 第一学期第一学期 张福俊张福俊 波是振动的传播，它是自然界中一种常见的物质运波是振动的传播，它是自然界中一种常见的物质运动形式，可分为两种：机械波和电磁波。动形式，可分为两种：机械波和电磁波。 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，如，声波需要介质才能传播，电磁波却可在真空中传播，至于光波有时可以直接把它看作粒子至于光波有时可以直接把它看作粒子光子的运动。光子的运动。 我们能够看到周围的物体，因为物体上的光线进入我们能够看到周围的物体，因为物体上的光线进入

2、我们眼睛我们眼睛, ,、。、。 波不仅传播信息，还可以传播能量。波不仅传播信息，还可以传播能量。本章内容：本章内容： 15-1 平面简谐波平面简谐波 15-2 波的速度和能流波的速度和能流 15-3 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的衍射 15-4 波的叠加原理波的叠加原理 干涉现象干涉现象 15-5 多普勒效应多普勒效应15-1 简谐波简谐波简谐波简谐波(余弦波或正弦波余弦波或正弦波)是一种最简单最重要的是一种最简单最重要的波波, 其它复杂的波都可以看成是若干个简谐波合成的其它复杂的波都可以看成是若干个简谐波合成的结果。结果。本节内容：本节内容：15-1-1 机械波的形成和传播机械波的形成和

3、传播15-1-3 平面简谐行波的波函数平面简谐行波的波函数15-1-2 波函数波函数 波的特征量波的特征量15-1-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播& 机械波产生的条件机械波产生的条件1、 能产生机械振动的波源能产生机械振动的波源:2、弹性介质、弹性介质: 机械波是机械波是机械振动机械振动在媒质中的传播。例如：声波、在媒质中的传播。例如：声波、水波、地震波等。水波、地震波等。注意：注意： 波在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位波在介质中传播时，介质中各点仅在它的平衡位置附近振动，并不沿波的传播方向迁移。介质中存在置附近振动，并不沿波的传播方向迁移。介质中存在的回复力可以是弹

4、性力，也可以是非弹性力。的回复力可以是弹性力，也可以是非弹性力。真空真空例如水面波的回复力是重力和表面张力。例如水面波的回复力是重力和表面张力。1. 横波横波振动方向与传播方向垂直，如绳波。振动方向与传播方向垂直，如绳波。2. 纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。疏疏 密密 波波! !& 横波和纵波横波和纵波 横波在介质中的传播，需要介质有切向变形，因横波在介质中的传播，需要介质有切向变形，因而只有在固体中传播，液体和气体都没有切变弹性。而只有在固体中传播，液体和气体都没有切变弹性。波峰波峰、波谷、波谷! !横波和纵波是波的两种基本类型。横波和纵波是

5、波的两种基本类型。以水面波为例：以水面波为例：兼有兼有横横， 纵纵波特点波特点 水波、地表波都能分解为水波、地表波都能分解为横波与纵波来进行研究。横波与纵波来进行研究。 无论横波或纵波只是振动无论横波或纵波只是振动状态的传播，弹性介质中的状态的传播，弹性介质中的各质点仅在各自的平衡位置各质点仅在各自的平衡位置附近振动，并不附近振动，并不随波逐流随波逐流。 横波的传播过程横波的传播过程质点振动方向质点振动方向时刻时刻 t 各质点位各质点位置置波形曲线波形曲线t=0波传播方向波传播方向tt=T/4t=T/2t=3T/4t=T波动的基本特征：波动的基本特征：1、波动只是振动状态的传播波动只是振动状态

6、的传播，而振动状态是用相，而振动状态是用相位来描述的，所以波的传播也是相位的传播。波位来描述的，所以波的传播也是相位的传播。波的传播速度就是相位的传播速度（相速）。的传播速度就是相位的传播速度（相速）。2、不论波源自身是做自由振动还是受迫振动，空、不论波源自身是做自由振动还是受迫振动，空间某点的振动都是在波源策动下进行的，都是受间某点的振动都是在波源策动下进行的，都是受迫振动。迫振动。3、空间某点受迫振动的能量来源于前一点的振动，、空间某点受迫振动的能量来源于前一点的振动，同时又传给下一点。可见，能量随波的传播而向前同时又传给下一点。可见，能量随波的传播而向前传播。传播。波动过程也是能量传播的

7、过程。波动过程也是能量传播的过程。4、质点不会、质点不会“随波逐流随波逐流”。15-1-2 波的特征量波的特征量1. 波阵面波阵面(或相面、波面或相面、波面) 某时刻介质内振动相位相同的点组成的面某时刻介质内振动相位相同的点组成的面,称为称为波面。波面。2. 波射线波射线(或波线或波线) 波的传播方向称为波的传播方向称为波射线波射线或或波线。波线。平面波平面波球面波球面波波面波面波线波线在各向同性均在各向同性均匀介质中匀介质中,波线波线与波阵面垂直与波阵面垂直!波线波线波面波面波的几何描述：波的几何描述：3. 波前波前 某时刻处在最前面的某时刻处在最前面的波阵面波阵面1 波长波长 振动相位相同

8、的两个相邻波阵面之间的距离振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离为一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为为一个波长。或振动在一个周期中传播的距离，称为波长，用波长，用 表示。表示。& 波的特征量波的特征量 有时也用有时也用2长度中所包含的波长数长度中所包含的波长数来描述波动的来描述波动的空间周期性，称为空间周期性，称为波数波数。以。以 表示波的传播方向，表示波的传播方向，则则 k=k= 成为成为波矢量波矢量，于是，于是 k= , =enenen2 波长是指一个完整波形的长度，也就是在同一时刻，波长是指一个完整波形的长度，也就是在同一时刻，同一波线上，振动相位相差同一波线上，振动相

9、位相差2的两点间的距离。的两点间的距离。波长波长描述了波在空间上的周期性描述了波在空间上的周期性。波的波的周期周期用用T 表示；表示；波的波的频率频率用用 表示；表示；2 频率频率 单位时间经过波线上一点完整波的数目单位时间经过波线上一点完整波的数目 波动的频率，等于介质中质点的振动频率波动的频率，等于介质中质点的振动频率, ,或波源或波源的振动频率。它们只与波源有关，而与波通过何种介的振动频率。它们只与波源有关，而与波通过何种介质无关，所以称它们为固有周期、固有频率。质无关，所以称它们为固有周期、固有频率。3 波速波速 单位时间某种振动状态单位时间某种振动状态(或振动相位或振动相位)所传播所

10、传播的距离称为波速，也称的距离称为波速，也称 相速相速。波速取决于波传播。波速取决于波传播空间空间的性质。电磁波的波速为的性质。电磁波的波速为 ，机械波的波速取决，机械波的波速取决于介质的弹性模量及密度。于介质的弹性模量及密度。1u/uuT 三者之间的关系：三者之间的关系：注意注意 ：1. 波的波的T 或或 等于波源的等于波源的T或或 ；2. 波速与质点的振动速度的区别。波速与质点的振动速度的区别。波在波在空间空间中的周期性中的周期性T波在波在时间时间上的周期性上的周期性u通过波速通过波速 联系起来。联系起来。 说明波长是由反映波源特性和传播空间性质说明波长是由反映波源特性和传播空间性质共同决

11、定的。共同决定的。/uuT 思考题：思考题：周期为周期为T的简谐波，其波线上任意一点，的简谐波，其波线上任意一点，t=0时刻的相位为时刻的相位为1，求，求t时间后，该点的相位增加量，时间后，该点的相位增加量，该点振动状态向前传播的多远？该点振动状态向前传播的多远？Tt2Ttx15-1-3 平面简谐行波的波函数平面简谐行波的波函数 设设:有一平面余弦行波，在无吸收的均匀无限大介有一平面余弦行波，在无吸收的均匀无限大介质中沿质中沿x 轴（一维）传播，波速为轴（一维）传播，波速为u。)cos()(00 tAt已知已知: O点振动表达式点振动表达式 下面用数学表达式描述波线上任一质点在某一时下面用数学

12、表达式描述波线上任一质点在某一时刻的位移，刻的位移，以横波为例，说明平面简谐波的波动方程以横波为例，说明平面简谐波的波动方程( (质点在质点在y方向振动方向振动) )。这样的函数这样的函数 = ( x, t ) 称为行波的波函数称为行波的波函数Pxyux o& 波函数的表达式波函数的表达式则则uxt )(cos)(0 uxtAtPPxyux o设波动沿设波动沿x 轴轴正正方向传播方向传播,O点运动传到点运动传到p点需用时间点需用时间 P点的振动点的振动相位相位落后于落后于O点点点点op0to点0uxtuxtop点点点0tt略去角标略去角标 P, )(cos),(0 uxtAtx)(co

13、s)(0 uxtAtP由由p点的任意性点的任意性 , x 视为变量视为变量, 平面简谐行波的波函数平面简谐行波的波函数如果波沿如果波沿x 轴轴 负向传播，则波动方程为负向传播，则波动方程为)(cos),(0uxtAtxpPx ux o)cos()(00 tAt平面简谐波的波动方程可写成多种平面简谐波的波动方程可写成多种等价等价的形式的形式: )(2cos),(0 xTtAtx)(2cos),(0 xtAtx)cos(),(0 kxtAtx利用关系式利用关系式;uT ;22 T 2 k及及( k 又又称为称为角波数角波数 )(1) 当当 x 一定时一定时, 给出给出 x 处的位移处的位移时间曲线

14、时间曲线(振动曲线振动曲线)otAy)(cos),(000 uxtAtx(2) 当当t一定时一定时,给出确定时刻的给出确定时刻的 x曲线即曲线即波形图波形图 o xA ux1 x2. 仅是仅是 x 的函数的函数同一时刻波线各质点的位移分布情况同一时刻波线各质点的位移分布情况 x 2同一时刻同一时刻x1 和和 x2 两质点相位分别为两质点相位分别为:011)( uxt02022)(2)( xTtuxt 12212xx xxx 12 波程差波程差o xAx ux1 x2.01)(2 xTtTt2(3)当当t 和和 x 都变化时都变化时, 波动方程描述了波形的传播波动方程描述了波形的传播.波传播方向

15、波传播方向oxt 时刻的波形时刻的波形x tuxT+ t 时刻的波形时刻的波形波函数反映了不同时刻、不同空间点的振动情况。波函数反映了不同时刻、不同空间点的振动情况。经时间波向前传播了，也就是说，波函数描经时间波向前传播了，也就是说，波函数描述的是述的是波形波形随时间向前行进的波，因而也称为随时间向前行进的波，因而也称为行波行波。ttux例题例题1 1、 空气中音叉以空气中音叉以400Hz400Hz频率振动，声速频率振动，声速320m/s320m/s，求，求1)1)音叉音叉完成完成3030次振动时，声波传播的距离次振动时，声波传播的距离; 2) ; 2) 把声源振动看成把声源振动看成振幅振幅1

16、mm1mm的谐振动，则某点空气元振动的最大速度是多的谐振动，则某点空气元振动的最大速度是多少？；少？；3)3)从从a a点沿波线传播到点沿波线传播到b b点为点为20cm20cm，则，则b b 点振动比点振动比a a点落后多长时间点落后多长时间? 4)? 4)同一时刻，两点的相位差是多少？同一时刻，两点的相位差是多少？解：解：1）这个音叉产生的声音波长这个音叉产生的声音波长mu8 . 0400320波源完成一次全振动，波向前传播一个波长波源完成一次全振动，波向前传播一个波长md24302）注意研究的是）注意研究的是振动速度振动速度，不是，不是波速波速)sin(tAvsmAv/5 . 21400

17、22maxsm/3203) 从从a点沿波线传播到点沿波线传播到b点为点为20cm，则，则b 点振动比点振动比a点点落后多长时间落后多长时间? suxt160013202.0sT400114Tt a,b两点相差四分之一波长距离，显然从时间上两点相差四分之一波长距离，显然从时间上b点振动要落后于点振动要落后于 a点四分之一周期。点四分之一周期。28 . 02 . 022x4) 同一时刻，两点的相位差是多少？同一时刻，两点的相位差是多少？例题例题2 2一平面简谐波，一平面简谐波，t=0时的波形曲线为浅绿色曲线所示，时的波形曲线为浅绿色曲线所示，波以波以4m/s的速度向的速度向X轴正方向传播，经过时间

18、后，波轴正方向传播，经过时间后，波形曲线如红色曲线所示。波源的振幅为形曲线如红色曲线所示。波源的振幅为0.01m, 周期为周期为0.01s,求求1)质点质点o、b的振动方向，两点的相位差和距的振动方向，两点的相位差和距离；离；2) o、b两点的振动方程；两点的振动方程；3)波函数；波函数；4)当波沿当波沿X 轴轴负方向传播时，波函数。负方向传播时，波函数。 t解：解：对于点而言：对于点而言： t=0 Ax0tx=AO点的振动方向是向上点的振动方向是向上对于对于b点：点：b点的振动方向是向下点的振动方向是向下根据两点的振动状态，由旋转矢量法应很容易得到：根据两点的振动状态，由旋转矢量法应很容易得

19、到：350o20b6700ob负号说明负号说明b点振动相位小于点振动相位小于a点振动相位点振动相位200103 . 222boobxxxm2)简谐振动的三要素：振幅、角频率、初相位简谐振动的三要素：振幅、角频率、初相位sT/20022以以o点为参考点，建立波函数：点为参考点，建立波函数：)(cos),(0ouxtAtx35)4(200cos01.0 xt以以b点为参考点，建立波函数：点为参考点，建立波函数：)(cos),(0buxtAtx21)4(200cos01.0bxxt4)当波沿当波沿X 轴负方向传播时，波函数轴负方向传播时，波函数t=0时，时，?0ouo x2A)(cos),(0oux

20、tAtx331)4(200cos01. 0 xt由波函数推导波动方程由波函数推导波动方程)(cos),(0 uxtAtx波函数波函数分别对分别对t 和和 x 求二阶偏导数求二阶偏导数)(cos0222 uxtAt)(cos02222 uxtuAx222221tux 得到得到上式对任何平面波都成立。上式对任何平面波都成立。15-2 波的速度和能流波的速度和能流以弦上的横波为例：以弦上的横波为例： 平衡时弦是沿平衡时弦是沿X X轴的直线，考虑原长为轴的直线，考虑原长为dxdx的一个小段的一个小段弦，弦，t t时刻离开平衡位置的位移是，两端张时刻离开平衡位置的位移是，两端张力分别为力分别为F(x),

21、 F(x+dx),F(x), F(x+dx),其合力就是回复力，指向其合力就是回复力，指向x x轴，从而形成沿轴，从而形成沿y y方向的振动。方向的振动。 对对A端而言，端而言， ， ， 为为F与与x轴的夹轴的夹角。对弹性形变，角。对弹性形变， 很小，很小， 也很小，故也很小，故 cosFFxsinFFy.,F,tansin, 1cosxFFFdxdyx常量即 可见，这一小段弦而言，水平方向合力为零，在可见，这一小段弦而言，水平方向合力为零，在y方向合力为方向合力为 。F设弦线的密度为，则该段弦线的质量为设弦线的密度为，则该段弦线的质量为Y方向上加速度为，有牛顿定律有：方向上加速度为，有牛顿定律有：dx22t2222tdxdxxF222221tux根据波动方程：根据波动方程：Fu 可见，波速仅与波传播介质的两个物理量有关，介可见，波速仅与波传播介质的两个物理量有关，介质的密度及弹性模量。质的密度及弹性模量。dxxFxFxFxFdxxFFxdxxyy22)()()( 机械波的传播速度完全取决于介质的机械波的传播速度完全取决于介质的弹性弹性性质和性质和惯惯性性性质。性质。 即介质的即介质的弹性模量弹性模量和介质的和介质的密度密度，而与振源无，而与振源无关。关。 描述弹性的物理量描述弹性的物理量弹性