人教版高中数学必修5-1.1《正弦定理和余弦定理（第1课时）》名师课件

1、0 0名名 师师 课课 件件1.1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理（第（第1课时）课时）0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测2.三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.3.三角形中大边对大角.1.三角形内角和为 .180o0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测4.三角形的面积:（其中ha,hb,hc分别为边a,b,c上的高）111=222abcSahbhch5.我们预习本课的正弦定理是什么?有哪些方法可以证明? 检测下预习效果检测下预习效果: 点击“随堂训练” 选择“正弦定理和余弦定理（第1课时）预习自测”0 0知

2、识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测通过作出直角三角形,寻找直角三角形中的边角关系.问题探究一问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系直角三角形的边角有哪些关系?在直角是三角形中,若C为直角,锐角A的正弦 sinA= .同理,sinB= .活动一 回顾旧知,回忆边角关系 在初中,我们学习过如何解直角三角形,那么在直角三角形中的边角关系有哪些呢？acbc0 0在以上直角ABC中根据正弦函数的定义有:即:活动二 整合旧知,探求边角新关系 结合三角函数,你有哪些与众不同的发现？sin,sin,sin1abABCcc,sinsinsinabccccABCsinsinsinabc

3、ABC知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究一问题探究一 直角三角形的边角有哪些关系直角三角形的边角有哪些关系?0 0活动一 大胆猜想,几何画板来帮忙 sinsinsinabcABC,sinsinsinabcABC 为提高直观认识,我们先利用几何画板制作一个三角形,度量出三个内角大小及三边的长度,分别计算 的值,并观察三个值的关系. 我们猜想在任意三角形中,都有知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探

4、究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 集思广益,证明正弦定理 你能在一般三角形中证明 这个结论吗?sinsinsinabcABC 在锐角ABC中,你能找出 表示的具体线段吗?它们的几何意义是什么? 在锐角ABC中, 表示的线段都是AB边上的高CD. 因此,有 ,则 . 同理,我们可以得到 sinsinabABsinsinsinabcABCsinsinaBbAsin, sinaB bAsin, sinaB bA问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂

5、检测活动二 集思广益,证明正弦定理 不妨设B为钝角,如图, 因此,有 ,则 . 同理,我们可以得到 sinsinabABsinsinsinabcABC在钝角三角形中是否也能用类似方法证明呢?sin 180sinCDaBbAosinsinaBbA问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测sinsinsinabcABC正弦定理正弦定理: 对于任意的一个三角形, 都有问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重

6、点、难点知识0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动三 反思过程,发现面积新公式 由以上探究活动, 的几何意义为AB边上的高CD, 因此有三角形面积 .有 , 或 ,以此类推还有: .结合 的几何意义,你能不能得到三角形的面积公式的另一种形式?所以任意的一个三角形, 都有 .sin, sinaB bAsin, sinaB bA111222abcSahbhch11sin22cSchacB11sin22cSchbcA1sin2SabC111sinsinsin222SabCacBbcA问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗

7、?试证明试证明重点、难点知识0 0活动四 利用外接圆,重新认识正弦定理结合 ABC 的外接圆,试探究 的几何意义.通过转化与化归的思想,将A与A互化.最关键的是将一般三角形中a与A转化为直角三角形中的a与A的关系,不难得到 ,则 .sinaA设 O为ABC的外接圆,连接CO并延长交 O于点A,连接AB,使A=A.在ABC中, AC为直径,则ABC为直角, 故 , 其中,R为三角形外接圆的半径.2sinaA CRA2sinaRA2sinaRA2sinsinsinabcRABC知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边

8、角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重点、难点知识0 0 以上过程是证明正弦定理的又一种方法,你还能想出哪些证明正弦定理的方法? 我们可以得到 结合活动三得到的三角形的面积公式,我们还可以有哪些多种多样的面积公式?21sin2sinsinsin24abcSabCRABCR知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究二问题探究二 上述边角关系对任意三角形成立吗上述边角关系对任意三角形成立吗?试证明试证明重点、难点知识0 0问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?活动一 初步运用,运用定理解三角形利用正弦定理可以解决一些

9、怎样的解三角形问题?一般地,我们把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0例1.在ABC中,已知A30, B45, a2, 解此三角形.解:根据三角形内角和定理, C180(AB)105.由正弦定理可得:b= = ,c= =sinsinaBA2 2sinsinaCA62点拨:正弦定理是对边对角的关系,在已知一内角的条件下,找出该角的对边;或知道一边的情况下,求该边的对角.注意三角形内角和为180条件的运用.在解三角形时,我们如果知道三个元素

10、（至少有一边）时,可求出另外三个元素,”知三求三”.问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0例2.在ABC中,已知A60, a3,b= 解此三角形.解:由正弦定理可得: ,且ba,则BA,故B 45,所以C75, 点拨:在已知一角和两边（其中一边为该角的对边）的条件下,运用正弦定理可求出另一边对角的正弦值,一般可运用大边对大角或三角形内角和定理对结果进行筛选或排除,当然两者结合使用也可以.6sin2sin2bABasin3 26sin2aCcA问题探究三问题探究三

11、 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0例3.在ABC中,已知A45, a2,b= 解此三角形.解:由正弦定理可得: ,且ba,则BA,故B60或120.当B= 60时, C75, 解得当B= 120时, C15, 解得点拨:和例2类似,已知两边和其中一边的对角,用正弦定理求出另一边对角的正弦值,此时这个角有锐角和钝角两种情况,注意分类讨论,切不可先入为主的认为B= 60而造成漏解.6sin3sin2bABasin=31sinaCcAsin=31sinaCcA问题探究三问题探究三 利

12、用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0活动二 对比提升,判断三角形解的个数在ABC中,已知a,b,A,结合例2、例3分析,在求出sinB后,B的解的个数决定了三角形解的个数不难看出,当A为直角或钝角时,ab,B必为锐角,有唯一解; ab,无解.比较例2和例3,对于任意给定两边和其中一边的对角,三角形唯一确定吗?如何讨论满足条件的三角形解的个数?问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测

13、随堂检测重点、难点知识0 0活动二 对比提升,判断三角形解的个数以C为圆心,a为半径作圆弧,观察该圆弧能否与c边相交,交点数有几个.（1）当absinA时,无解;（2）当a=bsinA时,一解;（3）当bsinAab时,两解;（4）当ab时,一解.当A为锐角时,我们可以用以下方法判断解的个数:问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0活动二 对比提升,判断三角形解的个数（1）当ab时,无解;（2）当ab时,一解;通过这个方法,我们进一步可以验证当A为钝角时的情形:问

14、题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0利用正弦定理,我们可以解哪些已知条件下的三角形?（1）已知两角和任意一边,求其他的边和角;（2）已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.活动三 归纳提升,综合应用新知识例4.在ABC中,已知A60,b2,c3,求ABC的面积S. 解:13 3sin22SbcA点拨:直接应用三角形的面积公式即可.问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂

15、小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0活动三 归纳提升,综合应用新知识例5.在ABC中,已知A120,a3,b ,判断三角形解的个数,如有解,求ABC的面积S. 解:由A为钝角,且ab,故此三角形有唯一解.根据正弦定理知: ,则B30,C180(AB)30,所以点拨:三角形的面积求解需要两边及夹角,因此先用正弦定理求出B,再用内角和定理求C,再用公式即可.3sin1sin2bABa13 3sin24SabC问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识0 0活动三 归纳提升

16、,综合应用新知识例6.已知ABC的外接圆半径为1, , 求ABC的面积S. 解:由 则点拨:在已知三角形外接圆半径时,通过正弦定理转化面积公式显得更快一些,当然也可以利用a2RsinA,b2RsinB求出C的两条夹边再求面积.41sin,cos53AB sinsinsincoscossinCABABAB22sinsinsinSRABC问题探究三问题探究三 利用正弦定理能解决哪些三角形问题利用正弦定理能解决哪些三角形问题?知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测重点、难点知识113 2 26 24535315 4 2 2 6 249664 2253152250 0知识梳理

17、知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测1.在ABC中 （R为ABC的外接圆半径） 2sinsinsinabcRABC111sinsinsin222SabCacBbcA3.设A为ABC的最大角,已知a,b,A,解三角形时解的个数判定为:若A为锐角,（1） absinA,无解; （2）a=bsinA,一解; （3） bsinAab,两解;（4） ab,一解.若A为直角或钝角,（1） ab,无解;（2） ab,一解.2.在ABC中 . 0 0重难点突破知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测1.运用正弦定理时,有时需对它进行变形, 如 不论怎么变形,最终都需要将2R约去.: :sin:si