误差理论第三章误差合成与分配

1、1 3-1 3-1 函数误差函数误差 3-2 3-2 随机误差的合成随机误差的合成 3-3 3-3 系统误差的合成系统误差的合成 3-4 3-4 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成 3-5 3-5 误差分配误差分配 3-6 3-6 微小误差取舍准则微小误差取舍准则 3-7 3-7 最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同作任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是一系列误差因素共同作用的结果。用的结果。误差合成误差合成研究测量过程中各个环节的误差因素对最终测量研究测量过程中各个环节的误差因素对最终测量结果的影响；结果的影响；误差

2、分配误差分配是给定测量结果的允许误差，要求确定各个环是给定测量结果的允许误差，要求确定各个环节的误差。节的误差。2间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测量值的函数，即个直接测量值的函数，即函数误差函数误差。一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算1212121212,nnnnniy f x x

3、xxxxyfffdydxdxdxxxxxxxdx间接测量时，函数形式为： =其中， ， ， ， 为直接测量值； 为间接测量值。由高数知，其增量可由微分来表示，即：由于直接测得值的系统误差， ，皆较小，可用来代替上式中的。312121,2,nnifffyxxxxxxfinx 因此，函数的系统误差为：其中，为各个直接测量值的误差传递系数。1 12211221212121122sin,sinsin1 coscosnnnnnnnya xa xa xyaxaxaxf x xxfffxxxxxxffxxx 1) 当函数形式为线性公式： 函数的系统误差为：）当函数为三角函数时：则三角函数 的系统误差为： 而

4、角度系统误差为：2nnfxxx12111cos, sinnnnfff x xxxxxx 同理其它三角函数的角度系统误差为：对42121121211tan, coscot, sinnnnnnnfff x xxxxxxfff x xxxxxx 对对二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值 xi的标准差之间的关系。设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为：11112122122112: , , , : , , , : , , , NNnnnnNxxxxxxxxxxxx 对 对 对 例例3.1 用弓高弦长法间接测量大直径。见书用弓高弦长

5、法间接测量大直径。见书P56例例3.2 用双圆球法检定高精度内锥角。见书用双圆球法检定高精度内锥角。见书P5751112111221222212 nnnnfffyxxxxxxfffyxxxxxx则函数y的随机误差为：1212 NNNnNnfffyxxxxxx22221112111111222222122222211222 nnijijnijnnijijnijfffffyxxxxxxxxxxfffffyxxxxxxxxxx 将上式每个方程两边平方得:222212112 2nNNNnNiNjNijnijfffffyxxxxxxxxxx 6222222212111211222222222122212

6、2112NNNnnnNnnNimjmij mijfyyyxxxxffxxxxxxxxffxxxx 则12222222211122nNimjmnmyxxxijnijxxfffffxxxxxN 将上式两边同时除以N，则有：1, NimjmijmijijijijxixjxixjxxkkkN 令 1222222221122nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 此式即为函数随机误差公式。此式即为函数随机误差公式。为第为第i个测量值个测量值与第与第j个测量值个测量值之间的误差相之间的误差相关系数关系数712122222221200 nNimjmmijijyxxxnxxkNfffxxx若各

7、测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时， ，即则121222222212222222lim1lim2limlim, nniyxxnxiyxxnxfaaaaxaaa 令则当各个测量值的随机误差为正态分布时，则函数的极限误差为：三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基三角函数的随机误差计算和一般函数的随机误差计算基本相同，其角度标准差为：本相同，其角度标准差为：1212222222121222222212121sin, cos1cos, sinnnnxxnxnxxnxf x xxaaaf x xxaaa1)对2)对812122222222121222222221212tan, cos

8、cot, sin,nninxxnxnxxnxxfx xxaaafx xxaaa3)对2)对同理可用极限误差来代替上式中的各和即得到以极限误差来表示的角度误差。例例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61例例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书用双圆球法检定高精度内锥角。见书P619三、误差间的相关关系和相关系数三、误差间的相关关系和相关系数误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关误差间的相关性与误差合成有密切关系。当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然

9、后才能进行误差合成计算。行误差合成计算。（一）误差间的线性相关关系（一）误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，当联系最强时，其相关系数为时，其相关系数为1。12122222221212 2 nijnyxxnxijxxxxnxaaaa aaaa ij即=1,则即两误差间具有确定的线性函数关系。ij当联系最弱时，即=0,表明一误差的取值与另一误差取值无关。10 11011kD (二）相关系数若两误差 与 之间的相关系数为:其取值范围-1当0时， 与 是正相关，即一误差增大时，另一误差的取值也增大。当-1时， 与 是

10、负相关，即一误差增大时，另一误差的取值减少。当时，为完全正相关；当时，为完全负相关， 与之间存在确定0线性函数关系。当时， 与 之间不相关，即一误差增大时，另一误差可能增大，也可能减少，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。两误差两误差间的协间的协方差方差两误差两误差的标准的标准差差11确定两误差间的相关系数，可采用以下几种方法。确定两误差间的相关系数，可采用以下几种方法。1、直接判断法、直接判断法通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一误差增大，通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。当一误差增大，另一成比例地增加时，则认为另一成比例地增加时，则认为=1。2、试验观察和简略计算

11、法、试验观察和简略计算法1)1)观察法：用多组测量的对应值（观察法：用多组测量的对应值（i i，i i）作图，与标准图形相）作图，与标准图形相比。比。1312342),iiinnn n n nn 简单计算法：将多组（）在平面坐标上作图，分别用垂直于两坐标轴的线A、B，将点阵左右均分、上下均分，设各部分的点数分别为。则-cos注：画图注：画图比较比较12223), iiiiii 直接计算法：根据对应值（），按定义直接计算得：3、理论计算法、理论计算法可根据概率论和最小二乘法直接求出。可根据概率论和最小二乘法直接求出。如果两误差如果两误差与与间为线性关系，即间为线性关系，即=a+b=a+b，则相关

12、系数，则相关系数=1=1（a0); a0); =-1（a0);3.5 Va=161.6mm, b=44.5mm, c=11.2mm0.8, 0.5,0.5,abcmmmmmm 例为求长方体体积 ，直接测量其各边长为：。已知测量的系统误差为： a=1.2mm, b=-0.8mm, c=0.5mm.测量的极限误差为：试求长方体的体积及其体积的极限误差。13随机误差用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。随机误差用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。其合成采用其合成采用方和根方和根的方法，同时考虑各个误差传递系数和误差间的方法，同时考虑各个误差传递系数和误差间的相关性影响。的相关性

13、影响。一、标准差的合成一、标准差的合成121222, 20 qqiiijijijijiiqa aaaa aa 若测量过程中有 个单项随机误差，它们的标准差分别为，其相应的误差传递系数为 ,。则根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总误差为：一般情况下各个误差互不相关，即相关系数，则有：用标准差合成，不管各单项随机误差的概率分布如何，只要给出用标准差合成，不管各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，即可按上式计算总的标准差。各个标准差，即可按上式计算总的标准差。14二、极限误差的合成二、极限误差的合成 2 1,2,iiiiitiqttt ）当各单项极限误差的置信概率不同时，应根据各单

14、项误差的分布情况，引入置信系数，先将极限误差转换为标准差，再求总的极限误差。对各单项极限误差式中：各单项随机误差的标准差；各单项随机误差的置信系数。则总的极限误差为：式中：合成后的总标准差；合成后总标准差的置信系数。12122, 2qqiiijijijija aaaa a 用极限误差来表示随机误差，若已知各单项极限误差为， 。各误差传递系数为 ,。1）当各误差的置信概率相同，则按方和根法合成的总极限误差为：式中，为任意两误差间的相关系数。1522 12222 2 20 iiijijijjiiiijijiijqiiijijijijiittaa aata att tttttaa aa 则当各个单项

15、随机误差均服从正态分布时，即则一般情况下，则：16系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差，由于这两种误系统误差又可分为已定系统误差和未定系统误差，由于这两种误差的特点不同，所以合成方法也不同。差的特点不同，所以合成方法也不同。一、已定系统误差的合成一、已定系统误差的合成已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。1212, rriira aaa 在测量过程中，若有 个单项已定系统误差，其相应的误差传递系数为 ,。则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为：通常先计算出已定系统误差，从测量结果中修正，因此最后的测量结果中一

16、般不再包含已定系统误差。17二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成（一）未定系统误差的特征及其评定（一）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围e ei i的系统误差。的系统误差。未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量其值未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量其值固定不变，不具有抵偿性；但当测量条件改变时，其取值在某一固定不变，不具有抵偿性；但当测量条件改变

17、时，其取值在某一范围内具有随机性，且服从一定的概率分布。这与随机误差相似，范围内具有随机性，且服从一定的概率分布。这与随机误差相似，因此可以采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散因此可以采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。程度。（二）未定系统误差的合成（二）未定系统误差的合成由于未定系统误差的取值具有随机性，因此若干项未定系统误差由于未定系统误差的取值具有随机性，因此若干项未定系统误差综合作用时，它们之间具有一定的抵偿作用，这与随机误差相似。综合作用时，它们之间具有一定的抵偿作用，这与随机误差相似。1）用标准差来合成）用标准差来合成18121222, 2 ssiii

18、jijijijiisu ua aauaua a uuuau在测量过程中，若有 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为，u 其相应的误差传递系数为 ,。则合成后未定系统误差的总标准差为：当=0时，222 2 iiiiiijijijji iiijijiijijetuetutaua a uueaeeta att t 各个单项未定系统误差的极限误差为：。总的未定系统误差的极限误差为：当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且=0时，则2i ieae 2）用极限误差来合成）用极限误差来合成未定系统误差合成与随机误差合成类似19当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应当测量过程中存在各种不同

19、性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，用用极限误差或标准差来表示。将其进行综合，用用极限误差或标准差来表示。一、按极限误差合成一、按极限误差合成121212221111; ,; ,0rsqqrsiiiiiiiiriirsqe eeetRttR 总总设测量中有 个单项已定系统误差， 个单项未定系统误差， 个单项随机误差它们的误差值或极限误差分别为：， ，设各个误差传递系数为1，则测量结果总的极限误差为：当式中的各误差间协方差之和，且都服从正态分布，则：2211qsiiiie特别注意不能重复计入同一误差2022112211,1 qsiiiiqsiiiienen 总总若已定系统误差已修正后，

20、则：上式为单次测量时，按极限误差表示的合成结果。对多次重复测量，随机误差项应除以重复测量次数则二、按标准差合成二、按标准差合成（只需考虑未定系统误差与随机误差的合成）（只需考虑未定系统误差与随机误差的合成）1212221122112211 ,; ,01sqqsiiiiqsiiiiqsiiiisqu uuuRRuun 若测量过程中有 个单项未定系统误差， 个随机误差它们的标准差为：。且误差传递系数为1，则测量结果总标准差为：当式中的各误差间不相关时，则对几次重复测量，则有21例例2 对某一质量进行对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位为次重复测量，测得数据（单位为g）分别为：）分别为：428

21、.6;429.2;426.5;430.8。已知测。已知测量的已定系统误差量的已定系统误差=-2.6g，测量的各极限误差分量，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。见笔记P37例例3、在万工显上用影象法测某一平面工件的长度共两、在万工显上用影象法测某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为：次，测得结果分别为：50.026mm,50.025mm。已。已知工件的高度知工件的高度H=80mm，求测量结果及其极限误差。，求测量结果及其极限误差。见

22、书P6922当给定测量结果总误差的允差，来确定各个单项误差，即当给定测量结果总误差的允差，来确定各个单项误差，即误差分误差分配配。以间接测量的函数误差分配为例；其原理也适用于一般测量。以间接测量的函数误差分配为例；其原理也适用于一般测量的误差分配。由于已定系统误差可修正消除，所以只需的误差分配。由于已定系统误差可修正消除，所以只需研究随机研究随机误差和未定系统误差的分配问题误差和未定系统误差的分配问题。 对间接测量的函数误差分配：对间接测量的函数误差分配：222222121222222222211221212212 ynnnnniiiiiyiiyfffxxxaaaDDDfDDaxDDD设各误差

23、因素皆为随机误差，且互不相关，由其中，为函数的部分误差，当给定时，确定或相应的，使2niDD可见，为不确定解。23一、按等作用原则分配误差一、按等作用原则分配误差认为各个部分误差对函数误差的影响相等。认为各个部分误差对函数误差的影响相等。即121111yyyniiiiiiiDDDfnannxfannx当用极限误差表示时，为函数的总极限误差， 为各单项误差的极限误差。二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，需根据具体情况进行按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，需根据具体情况进行调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项调整。对难以

24、实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。三、验证调整后的总误差三、验证调整后的总误差误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差不超过允差，但又接近允差。误差不超过允差，但又接近允差。24按等作用原则分配误差时，若有的误差已经确定不能改变时，应先从按等作用原则分配误差时，若有的误差已经确定不能改变时，应先从总误差中除掉，然后再对其余误差进行分配。总误差中除掉，然后再对其余误差进行分配。三、验证调整后的总误差三、验证调整后的总误差误差调整后

25、，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差调整后，再按误差合成公式计算实际总误差。反复调整使实际总误差不超过允差，但又接近允差。误差不超过允差，但又接近允差。例例4、测量一圆柱体的体积时，可间接测圆柱直径、测量一圆柱体的体积时，可间接测圆柱直径D及高及高度度h，根据函数求体积。若要求体积的相对误差为，根据函数求体积。若要求体积的相对误差为1%，试确定直径试确定直径D及高度及高度h的测量精度。已知直径和高度的公的测量精度。已知直径和高度的公称值分别为称值分别为20mm,50mm。见书P7225微小误差微小误差：当误差数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不当误差数值小到一定程度后，计算测量结果总误差时可不予考虑，这时误差为微小误差。予考虑，这时误差为微小误差。用式子表示为：用式子表示为：2222221211222221211 ykkknkykknyykDDDDDDDDDDDDD 测量结果标准差：将其中的部分误差取出后，则有：当有时，则称为微小误差，在计算结果中可舍去。222222222111111222221