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文档简介

1、第十节一、最值定理一、最值定理 二、介值定理二、介值定理 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 闭区间上连续函数的性质 第一章 注意注意: 若函数在开区间上连续若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .一、最值定理一、最值定理定理定理1.1.在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数即: 设, ,)(baCxfxoyab)(xfy 12那么, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxx

2、xxxfxoy1122也无最大值和最小值 又如又如, 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推论推论. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故证证: 设设, ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零点定理零点定理 ), ,)(baCxf至少有一点, ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ( 证明略 )在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理定理3. ( 介值定理介值定理 ) 设 , ,)(ba

3、Cxf且,)(Aaf,)(BABbf则对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点, ),(ba证证: 作辅助函数作辅助函数Cxfx)()(那么,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零点定理知, 至少有一点, ),(ba使,0)(即.)(Cf推论推论:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 证明方程证明方程01423 xx一个根 .证证: 显然显然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故据零点定理, 至少存在一点, ) 1 ,0(使,0)(f即01423说明说明:,21x,0)(8121f内必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中点,43x,0)(43f内必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在区间)1 ,0(的中点取1 ,0内至少有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 那么那么内容小结内容小结则设, ,)(baCxf在)(. 1xf上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4. 当0)()(bfaf时, ),(

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