第3章《导数及其应用

1、第3章导数及其应用-3.3-3.3.3同步练习一、填空题1 .函数f(x) = 4x x4在1 , 2上的最大值是 .【解析】f'x) = 4 4x3,令 f'x(= 0得x= 1,又当 x>1 时，f'x)<0 , x<1 时，f'x) >0.f(x)在x= 1取得最大值f(1) = 3.【答案】32 .函数f(x) = 2x3 3x2 12x+ 5在0 , 3上的最大值和最小值的和是 .【解析】f'x) = 6x2 6x 12，令 f'x) = 0,解得 x= 1 或 x= 2.但 x 0 , 3,x= 1 舍去，二

2、x= 2.当X变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表：x0(0, 2)2(2, 3)3f'x)一0+f(x)5154由上表，知 f(X)max= 5, f(x)min = 15，所以 f(x) max+ f (x)min = 10【答案】103 .函数y= 2x3 6x2 18x 7在1 , 4上的最小值为 .【解析】y'= 6x2 12x 18= 6(x+ 1)(x 3), 令y'= 0得& = 1(舍), x?= 3.列表x1(1, 3)3(3, 4)4fy一0+y极小y极小=y|x= 3= 61.-y 最小=61.【答案】 614. (201

3、3青岛高二检测)已知f(x) = 2x3 6x2+ m(m为常数)在2, 2上有最大值3，则m 的值为.【解析】f'x) = 6x2 12x，由 6x2 12x= 0 x= 0或x= 2.当 x>2或 x<0 时，f 'x)>0 ;当0<x<2时，f'x)<0,.当x= 0时,f(x)取得极大值；当x= 2时,f(x)取得极小值.又f(0) = m, f(2) = m 8, f( 2)= m 40, f(x)的最大值为 f(0)= 3,. m= 3.【答案】35函数f(x) = 2x3 6x x= 1 是 f(x)= x + px+

4、q 的对称轴，+ a(a为常数)在 2, 2上的最大值为5,那么此函数在2, 2 上的最小值为【解析】f'x) = 6x2 12x= 6x(x 2),令 f'x) = 0 得 Xi = 0, X2= 2列表x2(2, 0)0(0, 2)2f'x)+0一f(x)极大-f(x)极大=f(°) = a,f(x)max= a= 5. f( 2) = a 40= 35, f(2)= a 8 = 3.f(x) min= 35.【答案】 356 (2013南京高二检测)设直线x= t与函数f(x)= x2, g(x)= In x的图象分别交于点 M , N ,则当|MN|达

5、到最小时啲值为【解析】|MN|的最小值，即函数h(x)= x2 ln x的最小值，1 2x212h 'x)= 2x x = ，显然x= T是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点，也是最小值点，故t= 2 【答案】 y1 ° 17 .在区间2, 2上，函数f(x)= x2 + px+ q与g(x)= 2x+ x2在同一点取得相同的最小值，1则f(x)在区间2, 2上的最大值是 .2 【解析】 依题意，得g 'x)= 2 x3.令 g' x)= 0，得 x= 1.117 g(1) = 2+ 1= 3, g(2) = 5, g(2) = 7,当x= 1时，g(x)

6、取得最小值3.11 2, 2且1不是区间的端点， 2p 4q P一 2 = 1 ,4= 3，解得 p = 2, q= 4.f(x) = x2 2x+ 4 = (x 1)2+ 3. x= 2时，f(X)max= 4.【答案】 42-x_8. (2013潍坊高二检测)设函数f(x) = x 2 2x+ 5，若对于任意x 1 , 2都有f(x) >m,则实数m的取值范围是 .【解析】/f，x) = 3x2 x 2 = (3x+ 2)(x 1),2令f'x) = 0，得 x= 3或x= 1 ,1 11又f( 1) = 1 2+ 2+ 5= 2 ,17f(1) = 1 2 2+ 5= 2,

7、77-f(x) min= 2 ,27【答案】(汽2)二、解答题29. 已知a是实数，函数f(x)= x (x a).(1) 当f' (=3时，求a的值及曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；求f(x)在区间0 , 2上的最大值.【解】(1)f'x) = 3x2 2ax.因为 f' (=3 2a = 3,所以 a= 0.当 a= 0时，f(1) = 1, f' (=3,所以曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为3x y 2 = 0.2a(2) 令f'x)=O,解得 X1= 0, x2= 3 .2a当 3 <0 即 aw时，

8、f(x)在0 , 2上是增加的，从而f(x) max= f(2) = 8 4a.2a当y>2即a3寸,f(x)在0, 2上是减少的，从而f(x)max= f(0) = 0.2a2a2a当0v 3 v 2,即0v av 3时，f(x)在0 , 3 上是减少的，在3 , 2上是增加的，从而f(x)8 4a,0v a<2max = 0 ,2 v av 3.8 4a , a <2综上所述，f(x)2310. (2012 北京高考)已知函数 f(x)= ax + 1(a>0) , g(x)= x + bx.(1) 若曲线y=f(x)与曲线y= g(x)在它们的交点(1, c)处具

9、有公共切线，求a, b的值；(2) 当a = 3, b=- 9时，若函数f(x) + g(x)在区间k, 2上的最大值为28,求k的取值范围.【解】(1) / f(x) = ax2 + 1,f'x) = 2ax,. f'(詩 2a.又f(1) = c= a+ 1,. f(x)在点(1, c)处的切线方程为 y c= 2a(x- 1),即 y 2ax+ a- 1 =0./ g(x)= x3 + bx,. g'x) = 3x2 + b，二 g ' (=3 + b.又 g(1) = 1 + b= c,.g(x)在点(1 , c)处的切线方程为y- (1 + b) =

10、(3 + b)(x-1)，即 y (3 + b)x+ 2= 0.依题意知 3+ b = 2a,且a 1从而f(x)在(0,；)上单调递减，在(e,+a上单调递增. = 2,即 a= 3, b = 3.(2)记h(x)= f(x) + g(x).当 a= 3, b=- 9时，h (x) = x + 3x 9x+ 1,2h 'x)= 3x + 6x 9.令h'x)= 0，得 X1= 3, X2= 1.h(x)与h'x)在( a, 2上的变化情况如下：x(a, 3)3(3, 1)1(1 , 2)2h，x)+00+h(x)z2843由此可知：当kJ 3时，函数h(x)在区间k, 2上的最大值为h( 3)= 28； 当一3<k<2时，函数h(x)在区间k, 2上的最大值小于28. 因此，k的取值范围是(一a, 3.11. 已知函数 f(x) = xln x.(1)求f(x)的最小值；若对所有X都有f(x) sax 1，求实数a的取值范围.【解】(1)f(x)的定义域为(0,+a),f(x)的导数 f' x) = 1 + In x.1令f'x)>0，解得 x>e；1令f'x)<0,解得 0<x<e.1 1所以，当x= e时，f(x)取得最小值一依题意，得f(x)毛X 1在1 , + 8)上恒