圆的有关计算

1、(学P85)第23讲圆的有关计算第五章基本图形(二)第二篇图形与几何1扇形的弧长及面积：(1)半径为r，弧为n的圆心角所对的弧长公式： ；(2)半径为r，弧为n的圆心角所对的扇形面积公式： 180=rnllrrnS21=360=22求阴影部分面积的几种常见方法：(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等面积变形构造的方程法3正多边形：(1)各边相等、各内角也相等的多边形叫做 (2)任何正多边形都有一个外接圆4注意点：求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化正多边形转化思想：处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化

2、为规则图形，再利用规则图形的公式求解1如图，在边长为1的正方形组成的网格中，ABC的顶点都在格点上，将ABC绕点C顺时针旋转60，则顶点A所经过的路径长为( )A10 B. C. DC3103102(2013广东)如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留)3(2013徐州)已知扇形的圆心角为120，弧长为10cm，则扇形的半径为 cm.4(2013南京)OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形若OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为 .159835(2013重庆)如图，一个圆心角为90的扇形，半径OA2，那么图中阴影部分的面积为 .(结

3、果保留)2(学P38)【问题】如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形则S扇形_cm2.【解析】由题意知，弧长8cm2cm24cm，扇形的面积是 4cm2cm4cm2，故答案为：4cm2.【归纳】复习扇形的弧长公式、面积公式的计算21类型一弧长的计算例1 (2013舟山)如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面为了获得较佳视觉效果， (学P86页)字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90，则“蘑菇罐头”字样的长度为()A. cm B. cm C. cm D7cm44727【思路分析】根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可【答案】

4、字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90，此弧所对的圆心角为90，由题意可得，R cm，则“蘑菇罐头”字样的长 .故选B.【解后感悟】本题运用弧长的计算公式，解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径2747=18027901(2013宜宾)如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中CD，DE，EF，的圆心按点A，B，C循环如果AB1，那么曲线CDEF的长是 (结果保留)4类型二扇形面积的计算例2 (2013眉山)如图，以BC为直径的O与ABC的另两边分别相交于点D、E.若A60，BC4，则图中阴影部分的面积为_(结果保留)【思路分析】先根据三角形内角和定理得出ABCACB的度

5、数，再由OBD、OCE是等腰三角形得出BDOCEO的度数，由三角形内角和定理即可得出BODCOE的度数，再根据扇形的面积公式即可得出结论【答案】ABC中，A60，ABCACB18060120，OBD、OCE是等腰三角形，BDOCEOABCACB120，BODCOE360(BDOCEO)(ABCACB)360120120120，BC4，OBOC2，S阴影 .故答案为： .34=360212023421【解后感悟】求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果；阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的

6、和、差；二是进行图形的割补扇形面积公式和弧长公式容易混淆，S扇形 R2 lR.360n2(2014昆明)如图，在ABC中，ABC90，D是边AC上的一点，连结BD，使A21，E是BC上的一点，以BE为直径的O经过点D.(1)求证：AC是O的切线；(2)若A60，O的半径为2，求阴影部分的面积(结果保留根号和)【答案】(1)如图，连结ODOBOD，12，DOC21，A21，ADOC，ABC90，AC90DOCC90，ODC90OD为半径，AC是O的切线；(2)ADOC60，OD2在RtODC中，tan60 DCODtan602 2SRtODC ODDC 22 2S扇形ODE S阴影SRtODCS

7、扇形ODE2 ODDC212132333333602rn360260232类型三圆与正多边形的计算例3(2013南昌)如图，正六边形ABCDEF中，AB2，点P是ED的中点，连结AP，则AP的长为()A2B4C.D.【思路分析】连结AE、BE，由正六边形的性质构造直角三角形ABE、APE计算31113【答案】ABE、APE为直角三角形，AE ，AP ，故选C.【解后感悟】本题是正六边形的有关计算，运用正六边形的性质将正六边形转化为直角三角形或等边三角形是解题的关键12=24=2222ABBE13=1+21=+22PEAE3(2013自贡)如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借

8、助点O(使该角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是( )A4B5C6D7B4(2014绵阳)如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分面积为 cm2.(结果保留)6类型四平面图形的滚动问题例4(2013黄冈)如图，矩形ABCD中，AB4，BC3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为_【思路分析】如图，根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：以90为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；以90为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；以90为圆心角，矩形ABCD的对角线

9、长为半径的扇形的弧长【答案】四边形ABCD是矩形，AB4，BC3，BCAD3，ADC90，对角线AC(BD)5.根据旋转的性质知，ADA90，ADADBC3，点A第一次翻滚到点A位置时，则点A经过的路线长为 ；同理，点A第一次翻滚到点A位置时，则点A经过的路线长为 6，23=18039025+2+23点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为180(905) ，则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 2 6.故答案是6.【解后感悟】本题运用了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质；根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键2525235如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨

10、刷如果BO65 cm，DO15 cm，当BD绕点O旋转90时，求刮雨刷BD扫过的面积【答案】在AOC和BOD中，OCOD，ACBD，OAOB，AOCBOD，阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影S扇形AOBS扇形COD (OA2OC2) (652152)1000(cm2)答：刮雨刷BD扫过的面积是1000 cm2.4141【探索研究题】【试题】(2013台州)如图，已知边长为2的正三形ABC顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在y轴上，且在点A下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为()A3 B4 C4 D623(学P87)3

11、【分析与解】在正三角形ABC中，边长为2，易得 AD ；在正六边形绕中心O旋转一周的过程中，若DE的值最小，则E点位于y轴的正半轴上，在正六边形中易得OE2，此时DEAOADOE6 24 .故选B. 【方法与对策】这是两个正多边形通过直角坐标系的组合，然后利用旋转变换设置问题，利用几何最值求解，这类题型是中考命题的方向333忽视关键位置的运动路径【问题】如图，将半径为2cm的圆形纸板沿着长和宽分别为16cm和12cm的矩形的外侧滚动一周并回到开始的位置，圆心所经过的路线长是_cm.【分析】错误解答是圆心所经过的路线长为2(1612)56(cm)错误在于圆形纸板绕矩形外侧滚动一周，其圆心运动路程实际上不是一个矩形的周长，而是原矩形周长和圆的周长和，如图【正解】圆心所经过的路线长为2(1612)22(456)(cm)1(2014贺州)如图，以AB为直径的O与弦CD相交于点E，