波动的相关性质

1、1第第 2 章章 波动波动22.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征2.2 行波行波 简谐波简谐波 2.4 波动方程波动方程 波速波速 色散色散 2.3 物体的弹性变形物体的弹性变形2.6 惠更斯原理惠更斯原理2.5 波的能量波的能量2.7 波的叠加波的叠加 驻波驻波2.8 声波声波 地震波地震波 水波水波2.9 多普勒效应多普勒效应 2.10 复波复波 群速度群速度 2.11 孤子孤子目目 录录3 振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波振动或扰动在空间以一定速度的传播称为波动动,简称为波简称为波(wave)。机械振动或扰动在介质中机械振动或扰动在介质中的传播称为机械波，如声波、水波和地震

2、波等。的传播称为机械波，如声波、水波和地震波等。变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波，例如无线电波、光波和例如无线电波、光波和X射线等。射线等。 机械波只能在介质中传播，例如声波的传播机械波只能在介质中传播，例如声波的传播要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。要有空气作介质，水波的传播要有水作介质。但是，电磁波但是，电磁波（光光）的传播不需要介质，它可的传播不需要介质，它可以在真空中传播。以在真空中传播。 机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的机械波和电磁波统称为经典波，它们代表的是某种实在的物理量的波动。是某种实在的物理量的波动。4 虽然各类波

3、的具体物理机制不同，但它们都虽然各类波的具体物理机制不同，但它们都具有具有叠加性叠加性，都能发生，都能发生干涉干涉和和衍射衍射现象，也就现象，也就是说它们所具有的波动的普遍性质。是说它们所具有的波动的普遍性质。 除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现除了机械波和电磁波都能发生干涉和衍射现象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微象外，实验中发现，电子、质子和中子这些微观粒子也能发生干涉和衍射。因此，微观粒子观粒子也能发生干涉和衍射。因此，微观粒子也具有波动性。也具有波动性。 简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是简谐振动在空间的传播，称为简谐波，它是最简单的波。我们以机械波中的简谐波为例来最简单

4、的波。我们以机械波中的简谐波为例来介绍波动的普遍性质。介绍波动的普遍性质。52.1 机械波的形成和特征机械波的形成和特征一、机械波的形成一、机械波的形成t = T/4 t = T t = 00481620 12 24t = T/2 t = 3T/46 弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时，因弹性介质的质元受外界扰动而发生振动时，因质元之质元之间的弹性联系，会使振动传播开去，这就间的弹性联系，会使振动传播开去，这就形成了波动形成了波动机械波机械波（mechanical wave）波动是振动状态的传播，不是介质的传播。波动是振动状态的传播，不是介质的传播。机械波形成的条件机械波形成的条件 弹性介质

5、弹性介质波源波源 “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振的质元振动。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻动。某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于于 “下游下游”某处出现。某处出现。 7二二 、波的几何描述、波的几何描述波线波线（wave line）:表示波的传播方向的射线表示波的传播方向的射线（波射线）（波射线）波面波面（wave surface）:介质振动相位相同的点组成的面介质振动相位相同的点组成的面（同相面）（同相面）波阵面波阵面（wave front）:某时刻波到达的各点所构成的面某时刻波到达的各点所构成的面（波前）（波前）球面波球面波平面波平面波波波线线 波面

6、波面8三三 、波的分类、波的分类按波的性质按波的性质机械波机械波（ mechanical wave ）电磁波电磁波（electromagnetic wave ） 纵波纵波（longitudinal wave ）按波线与振按波线与振动方向关系动方向关系横波横波（transverse wave ） 气体和液体中的声波是纵气体和液体中的声波是纵波，而固体中的声波既可以波，而固体中的声波既可以是纵波，也可以是横波。是纵波，也可以是横波。 水表面的波既非横波又非纵波，水波中水质水表面的波既非横波又非纵波，水波中水质元作纵向、横向二维运动，即作圆运动。元作纵向、横向二维运动，即作圆运动。【演示实验演示实验

7、】横、纵波模型，细弹簧纵波横、纵波模型，细弹簧纵波9按波面形状按波面形状平面波平面波（plane wave ）球面波球面波（spherical wave ）柱面波柱面波（ cylindrical wave ）按复杂程度按复杂程度简谐波简谐波（simple harmonic wave ）复波复波（ compound wave ）按持续时间按持续时间连续波连续波（continued wave ）脉冲波脉冲波（pulsating wave ）按是否传播按是否传播行波行波（travelling wave ）驻波驻波（standing wave ）101、波速、波速 u ： 振动状态（位相）传播的速度。

8、振动状态（位相）传播的速度。它它由介质的性质决定，与波源情况无关。由介质的性质决定，与波源情况无关。2、周期、周期（period）T：一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。它它由波源决定由波源决定（波源、观测者均不动时）（波源、观测者均不动时） 频率频率（frequency）T1 角频率角频率（angular frequency） 2 四、波的特征量四、波的特征量 不是质元的振动速度！不是质元的振动速度！113、波长、波长（wave length） 波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它它由波源和介质共同

9、决定由波源和介质共同决定uT 波长表示波的波长表示波的空间周期性空间周期性x u122.2 行波行波 简谐波简谐波设设 为传播的物理量，它沿为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则轴传播，则某种物理量的扰动的传播称为行波。某种物理量的扰动的传播称为行波。)(uxxttf xxx +xt +t 时刻时刻xxft 时刻时刻txu 一、行波一、行波（ travelling wave ） tux )(uxtf )(uxtf 为沿为沿+x 向传播的行波，向传播的行波，u 为波速。为波速。13 具有沿具有沿+x向传播的性质。向传播的性质。)(uxtf 同理，同理， 具有沿具有沿-x向传播的性质。向传播的性质。

10、)(uxtf uxtftx ）（ , 行波的波函数：行波的波函数：即即 ），（），（txttxx 描述描述行波传播时，行波传播时，物理量物理量 随位置和时间的随位置和时间的变化。变化。14 cos),( uxtAtxy 二二 、简谐波、简谐波（simple harmonic wave SHW）如果传播的扰动是简谐振动，如果传播的扰动是简谐振动， 则 这 样 的 波则 这 样 的 波称为称为简谐波简谐波（余弦波，单色波）。（余弦波，单色波）。1、一维平面简谐波的波函数、一维平面简谐波的波函数在在 x = 0 处质元振动方程为处质元振动方程为 cos), 0(，tAty 则应有则应有波函数：波函数

11、：因无吸收，故振幅因无吸收，故振幅 A不变。不变。以机械波的横波为例，以机械波的横波为例，设平面波沿设平面波沿 x方向以方向以速度速度 u 传播，传播， 介质均匀、无限大，无吸收。介质均匀、无限大，无吸收。15波函数式中的波函数式中的)(uxt ，称为波的，称为波的位位相相。波在某点的相位反映该点质元的波在某点的相位反映该点质元的“运动状态运动状态”。所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。所以，简谐波的传播也是介质振动位相的传播。 相速度相速度（相速相速）设设 t 时刻时刻 x 处的位相经处的位相经 dt 传到传到（x +dx）处，处， uxxttuxtdd ）（ 则应有则应有txudd

12、于是得到于是得到 即，即，简谐波的波速就是相速。简谐波的波速就是相速。162、一维简谐波函数的另一种表示、一维简谐波函数的另一种表示 cos),( uxtAtxy Tu 2 T xtAtxy 2 cos),(0t 2 t x? t 沿波传播方向每增加沿波传播方向每增加 的距离，位相落后的距离，位相落后2 。说明说明：因此，因此，x点比点比0点位相落后点位相落后 。 x 217 全反射壁全反射壁 (l- x)lx y0 = Acost入射入射反射反射S0【例例】反射波在反射波在S处相位改变处相位改变 。如图示，已知：如图示，已知：y0 = Acos t ，波长为波长为 ，求：反射波函数求：反射波

13、函数 y (x , t )解解：全反射，全反射， A不变。不变。 22cos),( xltAtxy 222cos lxtA 波由波由0经壁反射到经壁反射到 x 传播了距离传播了距离l + (l x) = 2l x，相位落后了相位落后了(2l x)/ ， 在壁处反射相位改变了在壁处反射相位改变了 ，“+”表示沿表示沿 x 方向传播方向传播取取+、 均可均可183、波函数的意义、波函数的意义（1） t = t0， y x 给出给出 t 时刻空间各点位移分布。时刻空间各点位移分布。（2） x = x0，y t 给出给出 x 点的振动函数。点的振动函数。T yt0振动曲线振动曲线 x = x0 xtA

14、txy 2cos),( x y0波动曲线波动曲线 t = t019【例例】yx0 已知一个向右传播的波在已知一个向右传播的波在 x = 0点的振动点的振动解：解：yt-TTA0A-A 较较0点相位点相位落后落后 /20yAx=0点初相位为点初相位为 /2向向+y方向运动方向运动t = 0 t 0试画出该波在试画出该波在曲线如图所示。曲线如图所示。t = 0 时的波形曲线。时的波形曲线。 xtAy 22cos 22cos,0 xAyt204、一维简谐波波函数的复数表示、一维简谐波波函数的复数表示表示单位距离内位相的变化表示单位距离内位相的变化 定义波数定义波数（wave number）：）： 2

15、 k) cos( kxtAy ) (-i kxtAey -iitkxeAe 振动因子振动因子空间因子空间因子（复振幅）（复振幅）复数表达式：复数表达式：向右向右：向左向左波函数：波函数：)( t：x=0点的位相点的位相【例例】自由粒子波函数：自由粒子波函数：)(),(EtpxiAetx 212.3 物体的弹性变形物体的弹性变形 着重搞清着重搞清线变、切变线变、切变和和体变体变的概念，的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第（自学书第2.3节）节）222.4 波动方程波动方程 波速波速 色散色散一、一维波动方程一、一维波动方程 uxtfy以任意一

16、个沿以任意一个沿x正方向传播的行波为例正方向传播的行波为例2222 fty,122222 fuxy比较可得比较可得 波动方程，描述经典波动过程的普遍方程。波动方程，描述经典波动过程的普遍方程。任何行波，包括平面简谐波，都是它的解。任何行波，包括平面简谐波，都是它的解。uxt ，设，设0122222 tyuxyu为波速为波速23 波动方程虽由行波波函数得到，但其解并波动方程虽由行波波函数得到，但其解并不限于行波。任何物理量，无论是位移，还不限于行波。任何物理量，无论是位移，还是电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数是电场或磁场，只要它与坐标、时间的函数关系是波动方程的解，那么该物理量的运动关系是波

17、动方程的解，那么该物理量的运动形式就一定是波动。形式就一定是波动。波动：运动函数满足波动方程波动：运动函数满足波动方程0122222 tyuxy的运动。的运动。24， MRTu 气体中：气体中： 液体中：液体中： ， Ku （体积模量）（体积模量）VVPK 比热比比热比二、波速二、波速体变体变 pp ppV+ V25固固体体中中， Gut SFG ， Eul llSFE （切变模量）（切变模量）（杨氏模量）（杨氏模量）tluu 书表书表2.2：，地震波传播，地震波传播 弹性绳上的横波：弹性绳上的横波：lFu l 绳的线密度绳的线密度F 绳的初始张力，绳的初始张力，横波横波F切变切变 FSl l

18、 FF线变线变纵波纵波切应力切应力切应变切应变应力应力线应变线应变26三、色散三、色散（dispersion ） 上面给出介质中的波速，只与介质的性质上面给出介质中的波速，只与介质的性质有关，而与波的性质无关。有关，而与波的性质无关。 实际上，在有些介质中，波速除了与介质有实际上，在有些介质中，波速除了与介质有关外，不同频率简谐波的波速也不同。关外，不同频率简谐波的波速也不同。能产生色散现象的介质称为能产生色散现象的介质称为色散介质。色散介质。不产生色散现象的介质称为不产生色散现象的介质称为无色散介质。无色散介质。 这种波速与波的频率这种波速与波的频率（波长波长）有关的现象称有关的现象称为色散

19、为色散 。2710 0可可见见光光X 光光反常色散区反常色散区玻璃对光的色散曲线玻璃对光的色散曲线n玻璃玻璃（c/u）对对 X 光来说，玻璃的折射率光来说，玻璃的折射率入射角入射角 i 。全反射的一个重要应用是全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），光导纤维（光纤），irn1(大大)n2(小小)i = iC r = 90 n1(大大)n2(小小)12Csinnni 当入射当入射i 临界角临界角 iC 时，将无折射光时，将无折射光 全反射。全反射。 iC 临界角临界角它是现代光通信技术的重要器件。它是现代光通信技术的重要器件。49光导纤维光导纤维50光缆光缆电缆电缆 图中的细光缆和粗图中的细光缆

20、和粗电缆的通信容量相同电缆的通信容量相同我国电信的主干线我国电信的主干线可达可达300公里。公里。也只有几十公里。也只有几十公里。而且损耗小。而且损耗小。光纤通信容量大，光纤通信容量大， 在不加中继站的情在不加中继站的情况下，况下，光缆传输距离光缆传输距离而同轴而同轴电缆只几公里，电缆只几公里，微波微波早已全部为光缆。早已全部为光缆。51近近10年发展起来的年发展起来的导管导管 X 光学光学也应用了也应用了全反全反射现象。射现象。 对对 X 光来说，玻璃对真空的折射率光来说，玻璃对真空的折射率1，故故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。X 光以大于

21、临界角入射到内表面光滑的玻璃光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃就可以沿着弯曲的导管传播。就可以沿着弯曲的导管传播。管内，管内，应用毛细的应用毛细的 X 管束可制成管束可制成 X 光透镜。光透镜。聚焦提高光束功率密度聚焦提高光束功率密度将发散光变为平行光将发散光变为平行光52一、波的叠加原理一、波的叠加原理( superposition principle)2.7 波的叠加波的叠加 驻波驻波 若几列波同时在介质中传播，则它们各以原若几列波同时在介质中传播，则它们各以原有的振幅、波长和频率沿原方向独立地传播，有的振幅、波长和频率沿原方向独立地传播，彼此互不影响彼此互不影响（独立传播原理独立传播原

22、理）； 波的叠加原理是波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。干涉、衍射的基本依据。 在几列波相在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和处引起的位移的矢量和（波的叠加原理波的叠加原理）。1、叠加原理成立的条件：、叠加原理成立的条件： 波强度较小，波动方程是线性的。波强度较小，波动方程是线性的。 53 波强度过大时，介质形变与弹力的关系不再波强度过大时，介质形变与弹力的关系不再呈线性，呈线性，波动方程非线性，波动方程非线性，叠加原理不成立。叠加原理不成立。2、光学的非线性现象光学的非线性现象EBccEB 入射到介质中的光波引起振动

23、：入射到介质中的光波引起振动：tEE cos0 ”“BE54强光通过介质时强光通过介质时, ,介质出现非线性介质出现非线性, ,引起：引起：光学整流、倍频、混频光学整流、倍频、混频等效应等效应 弱光：弱光：E090dB，炮声炮声120dB。每条曲线描绘每条曲线描绘的是相同响度的是相同响度下不同频率的下不同频率的声强级。声强级。声响曲线声响曲线听觉界限听觉界限频率频率 HzdB声声强强级级80dBHz声阈声阈频率频率语音范围语音范围疼痛界限疼痛界限音乐范围音乐范围听觉界限听觉界限声声强强级级声音范围声音范围81超声波：超声波： 20KHz的声波的声波要求了解其应用：要求了解其应用：加湿器（演示实

24、验）加湿器（演示实验）声致发光声致发光超声探伤超声探伤声纳（海底地形）声纳（海底地形）超声焊接、切割、手术超声焊接、切割、手术B超超【演示实验演示实验】超声喷泉超声喷泉82声致发光（清华物理系声致发光（清华物理系 安宇）安宇）83 由于波源和观察者的运动，而使观测的频由于波源和观察者的运动，而使观测的频率不同于波源频率的现象。率不同于波源频率的现象。2.9 多普勒效应多普勒效应(Doppler effect)一、机械波的多普勒效应一、机械波的多普勒效应设运动在波源设运动在波源 S 和观测者和观测者R的连线方向上，的连线方向上，以二者相向运动的方向为速度的正方向。以二者相向运动的方向为速度的正方

25、向。vS 0vR 0SR（相对介质相对介质）（相对介质相对介质）S （波源频率波源频率）R （观测频率观测频率）【演示实验演示实验】抡蜂鸣器抡蜂鸣器u（波速波速）84vS = 0vRu SRRRvv uuu S u vR 0(R接近接近S)，SR vR 0,SR vS 0,SR vSTSS R86水波的多普勒效应（波源向右运动）水波的多普勒效应（波源向右运动）87SSRRvv uuuuSSRvv uuSR （3）vR 0 ， vS 0当当 vR = vS 时时，无相对运动：，无相对运动：SSRvv uuR 速度速度vR、vS 是相对介质而言，并以相向为正。是相对介质而言，并以相向为正。SSRv

26、 uuSRRv uu vS=0 ，vR0：vS0 ，vR0：88【例】【例】一静止声源一静止声源 S 频率频率 S= 300Hz，声速，声速 u = 330m/s，观察者，观察者 R 以速度以速度vR= 60m/s 向右运动，反射壁以向右运动，反射壁以v= 100m/s 的速度亦向右运动。的速度亦向右运动。解：解：R收到的声源发射波的频率：收到的声源发射波的频率：sRRuu v 反射壁收到的声源发射波的频率：反射壁收到的声源发射波的频率： suu v 求：求：R 测得的拍频测得的拍频 B = ? vvRRS*u SR收到的反射壁反射波的频率：收到的反射壁反射波的频率： vvRRuuSRvvv

27、uuuu 89拍频：拍频：su vvv2|RRRB Hz8 .55 300100330601002 则由拍频则由拍频反射壁速度反射壁速度v= 100m/s 。 s= 300Hz ,vR= 60m/s，如果已知如果已知Hz8 .55B 测出拍频测出拍频90二、电磁波的多普勒效应二、电磁波的多普勒效应v (对对R)ScR S R S22Rcosvv cc当当 时，仍有时，仍有2 SR 横向多普勒效应横向多普勒效应 电磁波不同于机械波，不需要介质。可以电磁波不同于机械波，不需要介质。可以证明，只是光源和观察者的证明，只是光源和观察者的相对速度相对速度 决定决定接收的频率。由相对论可导出：接收的频率。

28、由相对论可导出：v91 当光源和观察者的相对运动发生在二者连当光源和观察者的相对运动发生在二者连线上，即线上，即 0时时SRvv ccSRvv cc二者以速率二者以速率v互相接近：互相接近：二者互相远离：二者互相远离：多普勒红移（多普勒红移（“大爆炸大爆炸”宇宙论）宇宙论）92三、冲击波三、冲击波（shock wave） utSvS vSt u Sv0R 时，时，后发出的波面后发出的波面将超越先发出的波面，将超越先发出的波面，形成形成锥形波阵面冲击锥形波阵面冲击波（激波）波（激波） Svsinu 冲击波带冲击波带uSv 马赫数马赫数 对超音速飞机的最小对超音速飞机的最小飞行高度要有一定限制。飞行高度要有一定限制。马赫锥马赫锥（Mach number）93超音速的子弹超音速的子弹在空气中形成在空气中形成的激波的激波（马赫数为（马赫数为2 ）94作起始脉冲和截止脉冲。作起始脉冲和截止脉冲。高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中的速度时，的速度时，将发生锥形的电磁波将发生锥形的电磁波切连柯夫辐射。切连柯夫辐射。可用来探测高能带电粒子。可用来探测高能带电粒子。脉冲重叠，脉冲重叠，也可用来