重庆大学材料力学复习资料

1、题图2.9重庆大学材料力学答案2.9题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。已知：P=140kN，b=200mm，b0=100mm，t=4mm。解：（1）计算杆的轴力N,=N2二P=140kN（2）计算横截面的面积2A1=bt=2004=800mm2A2=(b-b0)t=(200-100)4=400mm计算正应力山二！43075MPaA1800A21401000400=350MPa（注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面）2.10横截面面积A=2cm二3030=50的杆受轴向拉伸，力P=10kN，求其法线与

2、轴向成30°斜截面上的应力一.及-.，并问pax发生在哪一个截面?的及45解:(1)计算杆的轴力N=P=10kN计算横截面上的正应力N11000“w50MPaA2100计算斜截面上的应力子爲5MPa30=sin(230)=50¥=216MPa2。Q2=25MPa二45-cos45二50cr.©50-45sin(245)1=25MPa22max发生的截面d.C0殳（）=0取得极值d：coS?()=0因此：2一2JI二一二454dJIJ11故：rax发生在其法线与轴向成45°的截面上。（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方

3、向截面的正应力和剪应力。对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）22.17题图2.17所示阶梯直杆AC,P=10kN,l1=l2=400mm,A1=2A2=100mm,E=200GPs。试计算杆AC的轴向变形I。AAB题图2.17解：（1）计算直杆各段的轴力及画轴力图2PNi二P=10kN(拉)N2=-P=-10kN(压)takNTTrn屮iii11（2）计算直杆各段的轴向变形NiliEA11010004002001000100二0.2mm（伸长）焰1010004000.4mmEA2200100050（缩短）直杆AC

4、的轴向变形.：1=12二-0.2mm（缩短）（注：本题的结果告诉我们，直杆总的轴向变形等于各段轴向变形的代数和）2.20题图2.20所示结构，各杆抗拉（压）刚度EA相同，试求节点A的水平和垂直位移。题图2.20（a）解：（1）计算各杆的轴力以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得'X=0,血=P（拉）'Y=0，N1=0（2）计算各杆的变形=0勒_N2I2_Pl/cos45_V2PIl2EAEAEA（3）计算A点位移A也I22PI=Xa=cos45EAy0(b)解:(1)计算各杆的轴力yi以A点为研究对象，如右图所示，由平衡方程可得AiP瓦X=0，Ni=V2p(拉)A?X何/

5、送丫=0,N-P(压)zJ(2)计算各杆的变形(伸长)_.2P.2a_2PaEAEAEAI2N2I2EAPa_PaEA一EA(缩短)(3)计算A点位移：xABCa11acos452.2PaPaEAEA=（2、21）PaEAPaEA注：本题计算是基于小变形假设（材料力学的理论和方法都是基于这个假设）,在此假设下，所有杆件的力和变形都是沿未变形的方向。计算位移的关键是以切线代弧线。）2.15如题图2.15所示桁架，a=30，在A点受载荷P=350kN，杆AB由两根槽钢构成，杆AC由一根工字钢构成，设钢的许用拉应力tH160MPa，许用题图2.15解：（1）计算杆的轴力A；A以A点为研究对象，如上图

6、所示，由平衡方程可得'X=0,N2cos：-Njcos：=0'Y=0,N1sin：亠N2sin：-P=0N2二M=350kN(压)(2)计算横截面的面积根据强度条件：匚max=D乞二，有A2几_旦=3501000=2187.5mm2，A_1093.75mm2G160Mc35010001002=3500mm(3) 选择型钢通过查表，杆AB为No.10槽钢，杆BC为No.20a工字钢。(注：本题说明，对于某些材料，也许它的拉、压许用应力是不同的，需要根据杆的拉、压状态，使用相应得许用应力)2.25题图2.25所示结构，AB为刚体，载荷P可在其上任意移动。试求使CD杆重量最轻时，夹角

7、a应取何值？题图2.25X解：计算杆的轴力载荷P在B点时为最危险工况，如下图所示。J4°A:X盘V%府一以刚性杆AB为研究对象'MA=0，NCDsin：I-P2I=02PNcdsino计算杆CD横截面的面积设杆CD的许用应力为，由强度条件，有ANNcd2p二二二sin:2-P设杆CD的密度为，则它的重量为W小二-ACD二-A-cosarsinacosacrcos2a从上式可知，当:-45时，杆CD的重量W最小。（注：本题需要注意的是：载荷P在AB上可以任意移动，取最危险的工作状况（工况）：杆的重量最轻，即体积最小。）2.34题图2.34所示结构，AB为刚性梁，1杆横截面面积A

8、i=1cm2,2杆A2=2cm2,a=1m，两杆的长度相同，E=200GPa,许用应力ct=160MPa,cb=100MPa,试确定许可载荷P。由胡克定理，有解:以刚性杆AB为研究对象，如下图所示。7Ma=0,NjaN22a-P3a=0即：N12N2=3P(1)该问题为一次静不定，需要补充一个方程。2Ali=I2(3)计算杆的变形N2aEA2代入式(2)得：2NiaZaEA一EA2A1A2(4) 计算载荷与内力之间关系由式(1)和(3)，解得：A4A23ANiA14A26A2N2(5) 计算许可载荷如果由许用压应力(7b决定许可载荷，有:R=Al3：A2Ni=八3：乓6AW(A4A063Ai3

9、Ai31(1004200)100=30000(N)=30(kN)如果由许用拉应力7t决定许可载荷，有：R=A6：A2N2=A6aA2A2W(A4人)6A26A,61(1004200)160=24000(N)=24(kN)6比较两个许可载荷，取较小的值，即P二min<Pb,PtP二24(kN)即整个结(注：本题需要比较由杆1和杆2决定的许可载荷，取较小的一个值,构中，最薄弱的部位决定整个结构的许可载荷。)2.42题图2.42所示正方形结构，四周边用铝杆(Ea=70GPa,a=21.6X10-6C-1)；对角线是钢丝(Es=70GPa,a=21.6X10-6C-1)，铝杆和钢丝的横截面面积之

10、比为2:1。若温度升高T=45C时，试求钢丝内的应力。解：(1)利用对称条件对结构进行简化由于结构具有横向和纵向对称性，取原结构的1/4作为研究的结构如下图所示，(3)变形协调关系如上图所示，铝杆与钢丝的变形协调关系为:讥2讥钢丝的伸长量为:Ils=AT：sis(设钢丝的截面积为Nsls2二(汀:slEsAs2出)EsA铝杆的伸长量为:NalaEaAa1(2TalW)EaA由式，可解得:Ns22EaEs2、2EaEs(a-:s)=TA(4)计算钢丝的应力Ns22EaEsA-2、2EaEs-11.710冷45=44.3(MPa)CT=解：设B,C两点受力分别为Fi,F2。剪切许用应力为：丨-u=

11、50Mpan对B点，有力矩和为零可知：aMb=0,即：R=4P由力平衡知：Fi+P=F24其中：F2=A=12.5二d2故：Fi=io二d又由强度要求可知:即:d<Fi=.5=2.24mm二U3.11车床的转动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断。已知安全销的平均直径为5mm，其剪切强度极限b=370Mpa，求安全联轴器所能传递的力偶矩m.轴套筒安全栓光杆-1才一解：设安全销承受的最大力为，贝U:F=b丄二d24那么安全联轴器所能传递的力偶矩为：m=FD其中b=370Mpa，b=5mm，D=20mm，代入数据得：力偶矩m=145.2Nm4.7求题图4.7中各个图形对形心轴

12、z的惯性矩Iz一CXIgoCXI十IW卜9卜80HEUJ08xocxiX寸寸CXILolCXIILX0CXII-OCXILXOCXIo®=feCXILOICXIIXOO8.EECXIL120J33对完整的矩形：I召=匝=120200=8000cm22-+50xnx2064=653.12cm4所以：lz=q-lz“=7346.88cm4Z11212对两个圆：Iz=2zii+a2A<64:40=24.9题图4.9所示薄圆环的平均半径为r,厚度为t(r_t).试证薄圆环对任意直径的惯性矩为I二二r3t，对圆心的极惯性矩Ip=2-r3t解：(1)设设圆心在原点，由于是圆环，故惯性矩对任

13、意一直径相等，为:1-：4其中=d64D:D所以：I=(2r+t)-1+t丿一=8r22t28rt64r-t2-3j_I=8r28rt=rt64TtX643由一知：极惯性矩ip=2I=2rt5.7(1)用截面法分别求题图5.7所示各杆的截面1-1,2-2和3-3上的扭矩，并画出扭矩图的转向；(2)做图示各杆的扭矩图解：(1)m1=m2=-2kNm，m3=3kNm扭矩图(2)Ti=-20kNm,T2=-10kNm,T3=20kNmY120扭矩图5.11一阶梯形圆轴如题图5.11所示。已知轮B输入的功率Nb=45kW,轮A和轮C输出的功率分别为Na=30Kw,Nc=15kW;轴的转速n=240r/

14、min,d1=60mm,d2=40mm;许用扭转角"l=2：“m，材料的Il=50Mpa,G=80Gpa.试校核轴的强度和刚度。解：（1）设AB,BC段承受的力矩为T,T2.计算外力偶矩：mu=9549山=1193.6NmnNcmC=9549=596.8Nmn那么AB,BC段的扭矩分别为：T=Fa=1193.6NmT2.二一mc=596.8Nm(2)检查强度要求1maxmaxWt2max2max/得:Wt：|.1max=28.2Mpa,-2max=47.5Mpa故：max=47.5Mpa(3)检查强度要求圆轴扭转的刚度条件式为:血xGIGIpTmax180TmaxH4兀Gd432所以

15、：3maxT1max180max=max_4d1G32-：d14G32180=0.67m=1.7m圆轴扭转的强度条件为：Td3max=vl.l可知：(其中Wt，d1=60mm,Wt16d2=40mm)故：ax=1.7m5.13题图5.13所示，汽车驾驶盘的直径为520mm,驾驶员作用于盘上的力P=300N，转向轴的材料的许用剪应力=60Mpa。试设计实心转向轴的直径。若改用：=-=0.8的空心轴，则空心轴的内径和外径各位多大？并比较两者的D重量。解：(1)当为实心转向轴时外力偶矩m=pl=156Nm则扭矩T=156Nm圆轴扭转的强度条件为:max-maxWt=23.6Nm当改为=d=0.8的空

16、心轴时D圆轴扭转的强度条件为：-maxWt“:I.1可知:3（其中心诸1）二D>28.2mmd22.6mm故：空心轴D=28.2mm,d=22.6mm实心轴与空心轴的质量之比就应该是两者的横截面积之比，即:=0.514竖轴5.16题图5.16所示钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，钻入的深度l=40m;A端输入的功率Na=15Kw，转速n=180r/min,B端钻头所受的扭转力矩MB=300kNm；材料的丨.=40MPa，G=80GPa,假设土壤对钻杆的阻力沿杆长度均匀分布，试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力距m。（2）作钻杆的扭矩图，并校核其扭转强度。（3）A,B两端截

17、面的相对扭转角。7957300解：（1）钻探机A端的偶矩为：Ma=9549=795.75Nmn那么单位长度的阻力矩为：m=12.4N/m3(2)圆轴扭转的强度条件为:maxT"JJ得:(其中wt煜1)Wt弯矩方程:max=36.2Mpa：40MPa所以满足强度要求(3)由两截面之间的相对转角为:dx0GIp其中J二巫D4d4=1.5910Jm4lT所以0GTdx040795.75495.75x40dx=0.416radGlpA,B两端截面的相对扭转角为0.416rad6.6求题图6.6中各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求IQnax和|M|max。b)解:支座反力：Xb=

18、0，Yb=P=200N,Mb=950N,剪力方程：Q(x)=-200N.AC段：M(x)=-PX=-200Xi(0XE2m);CB段：M(x)=-PX-Mo=-(200X+150)(2mX2乞4m)eAB2QQ550950弯矩方程:因此：IQhax=200N;|M|max=950Nmf)丫為Yb2a解：支座反力:Xa=0,Ya4qa，丫B494qa剪力方程:AB段：Q(x)3qa-qx,(0乞x2a)BC段:Q(x)二q(3a-x),(2a-x-3a)312AB段：M(x)=4qax-qqx,(0xE2a)12BC段：M(x)二-2q(3a一x),(2a<x<3a)作题图6.10中

19、各梁的剪力图和弯矩图，并求出6.10不列剪力方程和弯矩方程,|Q|max和|M|max。(b)E解:支座反力：71QqaMGeM(f)qcaaa解yayb5一堺口4A2V5qa62qcr13qa6因此:max52tt*卄卄卄l支座反力:Qmaxqa；752因此：Qmax=6qa；Mmax=6qa6.12作题图6.12中各构件的内力图(b)qaq解:qaqa(d)解:qa訥TrrnTrrrrnqaNqaJQMqa13.设梁的剪力图如题图6.13所示，试做弯矩图和载荷图，已知梁上没有作用集中力偶。(b)imimL=J一一解:2，sKNmM/k、7、(uLI2.5KNm10KN2oKN/m10KN2

20、oKN/m6.14已知梁的弯矩图如题图6.14所示，是做梁的载荷图和剪力图(b)解：Q711KNr-*3KNm3KNm1KN7.920a工字钢梁的支承和受力情况如题图7.9所示。若；=160Mpa，试求许可载荷P的值。P理CD|念h2mj2mt;p护图7.9解:(1) 求支座反力(2)画出弯矩图3Mm|P(3)求许可载荷查表，20a工字钢的Wz=237103mm3/-maxmax<bWz.P<-W-1-56.9kN27.11题图7.11所示一铸造用的钢水包。试按其耳轴的正应力强度确定充满钢水时所允许的总重量。已知材料的许用应力二=100MPa,d=200mm解:1Mmax"

21、;才1maxWz1.g3"232八i二523kN7.14题图7.14所示轴直径D=280mm,跨长L=1000mm,l=450mm,b=100mm。轴材料的弯曲许用应力门=100NPa,求它能承受的最大轧制力。解:(1) 求支座反力Ra=Rb=¥(2) 画出弯矩图qblqb2+28(3) 求最大轧制力PmaxMmax：IWz丄nD3fcWzI32D-q=3二9069N/mmblb2blb2一+一一+2828因此：PmaxXb=906.9kN7.15铸铁梁的载荷及横截面尺寸如题图7.15所示。许用拉应力r=40MPa，许用压应力6=160MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度

22、。3030200解:(1) 支座反力RB二30KN,RD二10KN(2) 画弯矩图由上面弯矩图可知，B,D两个点可能为危险截面。|Mb|=20kNm;MC=10kNm(3) 强度校核yc1212竺二-157.5mmAA132lz=lZ1lZ2*20cm*3cm20cm*3cm*20-15.751.512丄*3cm*30cm33cm*20cm*(15.75cm-10cm)212=6012.5m4B截面下边缘JBC二=52.4MPaIzB截面上边缘JBtM，230-yJ=24.1MPaIzC截面下边缘actIzC截面上边缘(JBC二MC(230-yC)二12.05MPaIz所以二cmax二52.4

23、咗二c1tmax二26.2咗"J安全7.19题图7.19所示梁由两根36a工字梁铆接而成。铆钉的间距为s=150mm,直径d=20mm,许用剪应力=90MPa。梁横截面上的剪力Q=40KN,试校核铆钉的剪切强度。解：查表，单个工字梁的截面参数为：4Qlz=15760cm；A=76.3cm2；h=36cm两个工字梁重叠以后对中性轴的惯性矩hlz=2Z1+(/A厂8096.2cm4两个工字梁重叠后对中性轴的静矩*2Sz二ydA二yA二1373.4cm2A设工字梁翼板的宽度为b,贝忡性层上的剪应力为*Izb每一对铆钉分担的剪力为*QSsz10.2kNIz铆钉的剪应力为Q二16.2MPar9

24、0MPa2A所以安全8.5用积分法求题图8.5中各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。已知抗弯刚度EI为常数(1) 求支座反力Ra=¥，向上，Rb=¥，向下(2) 以A为原点，写出弯矩方程：M(x)=0xl(3) 求挠曲线方程EIM°x3CxD6l带入边界条件yA=yB=°得Mol6,D=0故转角方程和挠曲线方程为El(2T6)，八6EIMox(x2MolM°l6El3El,ycMol16El8.7写出题图8.7所示各梁的边界条件。其中（b）图的k为弹簧刚度（N/m）(a)EAbMJ.c厂B4I-J题图8.7解:Ya0,RaRBl1-

25、生Rrb2qlliqL2EA2EA当x=l时，qlliYb=2EA边界条件:Ya=°,2EAqll18.12用叠加法求题图8.12所示各梁截面A的挠度和截面B的转角。已知EI为常数。(f)解:题图8.12先假设，CD段为刚性，则AC段可视为在C段固定的悬臂梁。在M二步作用下，Zql2丁=qal24EI；B12EI再将AC视为刚性，则查表可得:Ml3EI36EI厂02因此:3qi24EI5ql324EI卫(12a51)24EI由于截面C的转动，使截面A有一向上挠度，为:%=%15qal224EI题图8.15解：用叠加法，首先P在C点引起的直接挠度由表查得:PlYcBC3EI510125

26、0mm1260300-6.17mmqal2因此：Ya二Ya1Ya2二24EI(6a5l)yA2二日C1*日C2H=8.15一直角拐如题图8.15所示。AB段横截面为圆形，BC段为矩形;A端固定，B端为滑动轴承，C端的作用力P=60N;已知材料的E=210GPa,G=80GPa。试求C端的挠度。yc13210000然后P在B点的等效转矩下引起AB杆发生扭角为:=Tb1abPlBC1ABGI二D3=7.16rad32所以,C点的总挠度为yc二yci-Ibc=-8.32mm8.19如题图8.19所示悬臂梁AD和BE的抗弯刚度均为EI=24*106Nm2，由钢杆CD相连接。CD杆的l=5m,A=3*2

27、0-4,E=200GPa。若P=50kN，试求悬臂梁AD在D点的挠度。题图8.19解：设CD杆上的轴力为F,则由F引起C和D点的挠度分别为:FlAdyD3EI(1)FlBc3EI(2)由P引起D点的挠度为:yc2PlBc(3“BE一Ibc)6EI(3)CD杆的伸长为:ICDFlCDEA几何相容关系为:Icd二yci一yD(5)将式(1)(4)式代入式(5)得:FIcdEAPl；c(3Ibe6EIIbcFl3EIFlAd3EI-Ibc1AD1CDEA5Pl2BC6EI2lBc3EI10523P6241065223X：10932410611因此:Fl3AD儿晁DPIAd_50械103沃2333EI

28、3324106-0.0505m二50.5mm8.21题图8.21所示四分之一圆环，其平均半径为R,抗弯刚度为EI试用用莫尔定理求截面B的垂直位移与水平位移。解：(1)求弯矩方程在四分之一圆环上取一截面m-m，求截面上的弯矩方程。在外力作用下：MC-PR(1-Cos，)水平单位力作用下：Mi(>)R(1-Cos：)水平单位力作用下：M2C)二-RSin(2) 用莫尔积分求位移水平位移：Xb=iMCMC)0El3322(1-Cos：)2d：=0.356(向右)EloElyB二imc)m2(：)0ElPR3ElJI0°(1Cos)Snd：PR32EI(向下)8.23外伸梁受力作用如题

29、图8.23所示，梁的抗弯刚度为EI,使用图形互乘法计算外伸端D的挠度。ACBdbeaa题图8.23解：(1)求支座反力R+Rb=qa,3M(B)二2aR2qa2qa|二05Raqa,Rb494qa(2)画弯矩图实际载荷和在D点单位力的弯矩图如下所示:垂直位移:3qa(3)图形互乘法cl1a*5qa22438qac2C3C4yD3a14153a13a3qa25412a1a,qa2522aqa2qa40103qa3-qa61za5qa33a9(qaEl38540四1qa3)=467qa424EI9.7在题图9.7所示各单元中，使用解析法和图解法求斜截面ab上的应力，应力单位为MPa。(C)解：如图

30、所示,；x=100MPa,；y=50MPaxy二0,：=60。（1）解析法a+cra-bxyxy二一=cos2：-xysin2：a22y/10050100-50o二(cos120-0)MPa二62.5MPa22:x2Jysin2xycos2=(10050sin120°0)MPa=21.7MPa（2）图解法作应力圆如下图所示。从图中可量的D点的坐标，此坐标便是和：.的数值。9.8已知如题图9.8所示各单元的应力状态（应力单位为MPa）。试求（1）主应力之值及其方向，并画在单元体上；（2）最大剪应力之值。解:(b)±202-1020230-20所以二i=30MPa,；2=0,匚3=-20MPa，方向如上图所示tan2：xy2*204”=-10-203二arctan3Tmax3020225MPa9.11钢制受力构件，其危险点应力状态如题图9.11所示，已知门=160MPa，试用第三强度理论校核其强度。V如题图9.11解：x二_40MPa,xy二_