第1章数据在计算机中的运算及表示形式

1、微型计算机原理微型计算机原理教师：马光喜教师：马光喜手机：手机箱：邮箱：n教学时数：54学时n实验学时：18学时n平时成绩：40%（作业、考勤、纪律）n期末成绩：60%（闭卷考试）第第1 1章章数据在计算机中的运算及表数据在计算机中的运算及表示形式示形式 本章主要内容本章主要内容(1) 进位记数制进位记数制(2)不同进位制数之间的转换不同进位制数之间的转换(3) 二进制数的算术运算和逻辑运算二进制数的算术运算和逻辑运算(4)数据在计算机中的表示形式数据在计算机中的表示形式(5) 二进制信息的计量单位二进制信息的计量单位1.1 进位记数制进位记数制n计算机中全部信息（包

2、括指令和数据）都是采用二进制数，计算机中全部信息（包括指令和数据）都是采用二进制数，为了书写方便，又经常采用十六进制。人们在日常生活中又为了书写方便，又经常采用十六进制。人们在日常生活中又广泛采用十进制。广泛采用十进制。n二进制、十六进制、十进制都是进位记数制。二进制、十六进制、十进制都是进位记数制。1.1.1 进位记数制及其基数和权进位记数制及其基数和权n进位记数制：用一组固定的数字符号和特定的规则表进位记数制：用一组固定的数字符号和特定的规则表示数的方法。示数的方法。l基数和权基数和权l在进位记数制中，一种进位制所允许选用的基本数在进位记数制中，一种进位制所允许选用的基本数字符号的个数称为

3、这种进位制的字符号的个数称为这种进位制的基数基数。l同一个数字符号处在不同的数位时，它所代表的数同一个数字符号处在不同的数位时，它所代表的数值是不同的，每个数字符号所代表的数值等于它本值是不同的，每个数字符号所代表的数值等于它本身乘以一个与它所在数位对应的常数，这个常数叫身乘以一个与它所在数位对应的常数，这个常数叫做位权，简称做位权，简称权权（weight）。）。n不同进位制的基数不同不同进位制的基数不同 十进制：基数十进制：基数10，数字符号，数字符号09 二进制：基数二进制：基数2，数值符号，数值符号0，1n同一进制，不同数位其权值不同。同一进制，不同数位其权值不同。1.1.2 几种常用的

4、进位记数制几种常用的进位记数制1. 十进制十进制任何一个十进制数，都可以用一个多项式来表示：任何一个十进制数，都可以用一个多项式来表示：等式右边的表示形式，称为十进制数的等式右边的表示形式，称为十进制数的多项式表示法，多项式表示法，也叫按权展开式也叫按权展开式；等号左边的形式，称为十进制的位置记数法。位置记等号左边的形式，称为十进制的位置记数法。位置记数法是一种与位置有关的表示方法，同一个数字符号数法是一种与位置有关的表示方法，同一个数字符号处于不同的数位时，所代表的数值不同，即其权值不处于不同的数位时，所代表的数值不同，即其权值不同。同。21012312.253 101 102 102 10

5、5 10 2. 二进制二进制二进制数的基数为二进制数的基数为2，即它所用的数字符号个数只有两，即它所用的数字符号个数只有两个（个（“0”和和“1”）。它的计数进位规则为）。它的计数进位规则为“逢二进一逢二进一”。二进制数只有两种数字符号，因而便于数字系统与电二进制数只有两种数字符号，因而便于数字系统与电子计算机内部的表示与存储。子计算机内部的表示与存储。它的另一个优点是运算规则的简便性，而运算规则的简它的另一个优点是运算规则的简便性，而运算规则的简单，必然导致运算电路的简单以及相关控制的简化单，必然导致运算电路的简单以及相关控制的简化 。 3. 八进制八进制 八进制数的基数八进制数的基数R8，

6、每位可能取八个不同的数字符，每位可能取八个不同的数字符号号07中的任何一个，进位规则是中的任何一个，进位规则是“逢八进一逢八进一”。l1位八进制对应位八进制对应3位二进制位二进制l八进制：八进制： 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7l二进制：二进制：000，001，010，011，100，101，110，1114. 十六进制十六进制十六进制数的基数十六进制数的基数R16，每位用十六个数字符号，每位用十六个数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F中的一中的一个表示，进位规则是个表示，进位规则是“逢十六进一逢十六进一”。 与二进制转换时候，其每位对应与二进制

7、转换时候，其每位对应4位二进制数。位二进制数。在编程时，为了书写方便，常用十六进制表示。在编程时，为了书写方便，常用十六进制表示。1.2 不同进位制数之间的转换不同进位制数之间的转换1.2.1 二进制数转换为十进制数二进制数转换为十进制数u按权展开，例如按权展开，例如(101015.101)2 (252321202-12-3)10 (328210.50.125)10 (43.625)10u同样的方法也可将八进制数转换为十进制数。同样的方法也可将八进制数转换为十进制数。p这种用以实现数制转换的方法，称为多项式替代法。这种用以实现数制转换的方法，称为多项式替代法。 1.2.2 十进制数转换为二进制

8、数十进制数转换为二进制数1. 十进制整数转换为二进制整数十进制整数转换为二进制整数 除除2取余，例如十进制数取余，例如十进制数29的转换。的转换。 2 921 4余数1 （B0 ） 72232120余数0 （B1 ）余数1 （B2 ）余数1 （B3 ）余数1 （B4 ） 29D=11101B n采用采用“除除8取余取余”或或“除除16取余取余”的方法，即可将一个的方法，即可将一个十进制整数转换为八进制整数或十六进制整数。十进制整数转换为八进制整数或十六进制整数。n这种数制转换的方法称为基数除法或这种数制转换的方法称为基数除法或“除基取余除基取余”法。法。可概括为：可概括为：“除基取余，直至商为

9、除基取余，直至商为0，注意确定高、低，注意确定高、低位位”。2. 十进制小数转换为二进制小数十进制小数转换为二进制小数 乘乘2取整取整 例例 把把0.625转换成二进制数转换成二进制数 把把0.625乘乘2取整取整0.625 21.250B-1=1 0.25 2 0.50B-2=00. 5 2 1.0B-3=1 0.625=0.101Bn在十进制小数转换成二进制小数时，整个计算过程可能在十进制小数转换成二进制小数时，整个计算过程可能无限地进行下去，这时，一般考虑到计算机实际字长的无限地进行下去，这时，一般考虑到计算机实际字长的限制，只取有限位数的近似值就可以了。限制，只取有限位数的近似值就可以

10、了。 n上述这种数制转换方法称为基数乘法或上述这种数制转换方法称为基数乘法或“乘基取整乘基取整”法。法。可概括如下：可概括如下：“乘基取整，注意确定高、低位及有效位乘基取整，注意确定高、低位及有效位数。数。”u如果一个数既有整数部分又有小数部分，则用前述如果一个数既有整数部分又有小数部分，则用前述的的“除基取余除基取余”及及“乘基取整乘基取整” 结合求解。结合求解。计算机中常用的进位计数制计算机中常用的进位计数制 计数制 基数 数 码 进位关系二进制 2 0、1 逢二进一八进制 8 0、1、2、3、4、5、6、7 逢八进一十进制 10 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 逢十进一十六进制

11、16 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 A、B、C、D、E、F 逢十六进一计数制的书写规则计数制的书写规则（1）在数字后面加写相应的英文字母作为标识。 如：二进制数的100可写成100B 十六进制数100可写成100H（2）在括号外面加数字下标。 如：（1011）2 表示二进制数的1011 （2DF2）16 表示十六进制数的2DF2 n数值转换重点要掌握以下内容：1、进制：二、十、十六2、转换：十转二：由二进制数的位权决定二进制位权是：1、 2、 4、 8 、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、32768、65536例：187转为

12、二进制为1011 1011187-128=59 59-64=-5 59-32=27 27-16=11n4位2进制 与10进制、 16进制 的关系2进制 10进制 16进制 2进制 10进制 16进制0000 0 0 1000 8 8 0001 1 1 1001 9 90010 2 2 1010 10 A0011 3 3 1011 11 B0100 4 4 1100 12 C0101 5 5 1101 13 D0110 6 6 1110 14 E0111 7 7 1111 15 F二与十六进制的关系：4位2进制等于1位16进制例：110 1101 0010B= 6D2H例：3AB4H=0011

13、1010 1011 0100 B十转十六：十二十六十六转十：十六二十（1 1）十六进制加法）十六进制加法 十六进制数的运算按照逢十六进一的十六进制数的运算按照逢十六进一的规则进行，即当两个一位数之和规则进行，即当两个一位数之和S S小于小于1616时，与十进制数同样处理，如两个一位时，与十进制数同样处理，如两个一位数之和数之和S16S16时，则应该用时，则应该用S-16S-16及进位及进位1 1来取代来取代S S。 十六进制的加法十六进制的加法 15C3H 15C3H 3D45H3D45H 5308H 5308H 十六进制数的运算十六进制数的减法十六进制数的减法 十六进制数的减法与十进制数类似

14、，够十六进制数的减法与十进制数类似，够减时可以直接相减，不够减时服从向高位借减时可以直接相减，不够减时服从向高位借1 1为为1616的规则。的规则。 十六进制的减法示例十六进制的减法示例 3DA6H3DA6H 0FC3H0FC3H 2DE3H 2DE3H1.3 二进制数的算术运算与逻辑运算二进制数的算术运算与逻辑运算1.3.1 二进制数的算术运算二进制数的算术运算n加法运算规则：逢二进一加法运算规则：逢二进一n减法运算规则：借一当二减法运算规则：借一当二n乘法运算规则：乘法运算规则：000, 010 , 100 ,111 例如：例如：1101x1010=1101110二进制的乘法可以归结为：二

15、进制的乘法可以归结为：“加加”和和“移位移位”。n除法运算：乘法的逆运算。除法运算：乘法的逆运算。 以二进制的乘法及减法规则实现。以二进制的乘法及减法规则实现。1.3.2 二进制数的逻辑运算二进制数的逻辑运算n逻辑运算与算术运算有着本质上的差别，它是按位进行的，逻辑运算与算术运算有着本质上的差别，它是按位进行的，其运算的对象及运算结果只能是其运算的对象及运算结果只能是0和和1这样的逻辑量。这样的逻辑量。n这里的这里的0和和1并不具有数值大小的意义，而仅仅具有如并不具有数值大小的意义，而仅仅具有如“真真”和和“假假”、“是是”和和“非非”这样的逻辑意义。这样的逻辑意义。n二进制数的逻辑运算实际上

16、是将二进制数的每一位都看成逻二进制数的逻辑运算实际上是将二进制数的每一位都看成逻辑量时进行的运算。辑量时进行的运算。n基本的逻辑运算有基本的逻辑运算有逻辑逻辑“或或”、逻辑、逻辑“与与”和逻辑和逻辑“非非”三三种，常用的还有种，常用的还有逻辑逻辑“异或异或”运算。运算。 (1) “或或”运算（逻辑加，逻辑和；运算符号运算（逻辑加，逻辑和；运算符号+，V） A BC = A + B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1(2) “与与”运算（逻辑乘，逻辑积；运算（逻辑乘，逻辑积； 运算符号运算符号 ） A BC = A B 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1(3) “非非”运

17、算（运算符号运算（运算符号 ， ） A C = 0 1 1 0A(4) “异或异或”运算运算n“异或异或”又称模又称模2加，其运算规则是：加，其运算规则是：0和任何数相和任何数相“异异或或”该数不变，该数不变，1和任何数相和任何数相“异或异或”该数变反。可简该数变反。可简述为述为“相同得相同得0，不同得，不同得1”。其运算符号为。其运算符号为“ ”。如。如下所示：下所示： 0 00 0 11 1 01 1 10n例例 0110 10011111n“异或异或”运算常用于将一个已知二进制数的某些位变反运算常用于将一个已知二进制数的某些位变反而其余各位不变。例如，欲使而其余各位不变。例如，欲使101

18、01100的最低两位变反的最低两位变反而其余各位不变，就可以用而其余各位不变，就可以用00000011与之进行与之进行“异或异或”运算来完现。即：运算来完现。即：n 1 0 1 0 1 1 0 0 n 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1.3.3 移位运算移位运算1.1.逻辑移位逻辑移位n逻辑左移：逻辑左移： 将操作数的所有位同时左移，最高位移出原操作数之外，将操作数的所有位同时左移，最高位移出原操作数之外，最低位补最低位补0。逻辑左移一位相当于无符号数乘。逻辑左移一位相当于无符号数乘2。 例如，将例如，将01100101逻辑左移一位后变成逻辑左移一位后变成110

19、01010，相当于，相当于 （101）102202 。 n逻辑右移：逻辑右移： 将操作数的所有位同时右移，最低位移出原操作数之外，将操作数的所有位同时右移，最低位移出原操作数之外，最高位补最高位补0。逻辑右移一位相当于将无符号数除以。逻辑右移一位相当于将无符号数除以2。例如，。例如，将将10010100逻辑右移一位后变成逻辑右移一位后变成01001010，相当于，相当于148274 。n循环左移：循环左移：将操作数的所有位同时左移，并将移出的将操作数的所有位同时左移，并将移出的最高位送到最低位。循环左移的结果不会丢失被移动最高位送到最低位。循环左移的结果不会丢失被移动的数据位。的数据位。例如，

20、将例如，将10010100循环左移一位后变成循环左移一位后变成00101001。n循环右移循环右移：将操作数的所有位同时右移，并将移出的：将操作数的所有位同时右移，并将移出的最低位送到最高位。它也不会丢失被移动的数据位。最低位送到最高位。它也不会丢失被移动的数据位。例如，将例如，将10010100循环右移一位后变成循环右移一位后变成01001010。2. 算术移位算术移位 算术移位是把操作数当作带符号数进行移位，所以在算术移位是把操作数当作带符号数进行移位，所以在算术移位中，必须保持符号位不变算术移位中，必须保持符号位不变。否则将发生溢出。否则将发生溢出。 与逻辑移位类似，算术移位可分为与逻辑

21、移位类似，算术移位可分为算术左移、算术右算术左移、算术右移、循环左移和循环右移移、循环左移和循环右移。循环左移和循环右移的操作。循环左移和循环右移的操作与前述逻辑移位时的情况相同，都是不丢失移出原操作与前述逻辑移位时的情况相同，都是不丢失移出原操作数的位，而将其返回到操作数的另一端。数的位，而将其返回到操作数的另一端。1.4 数据在计算机中的表示形式数据在计算机中的表示形式电子计算机实质上是一个二进制的数字系统，在机器电子计算机实质上是一个二进制的数字系统，在机器内部，二进制数总是存放在由具有两种相反状态的存储内部，二进制数总是存放在由具有两种相反状态的存储元件构成的寄存器或存储单元中，即二进

22、制数码元件构成的寄存器或存储单元中，即二进制数码0和和1是是由存储元件的两种相反状态来表示的。由存储元件的两种相反状态来表示的。另外，对于数的符号另外，对于数的符号（正号（正号“”和负号和负号“”）也只能也只能用这两种相反的状态来区别。也就是说，只能用用这两种相反的状态来区别。也就是说，只能用0或或1来来表示。表示。1.4.1 机器数与真值机器数与真值n例例1. 正二进制数正二进制数N1=+1011001，在计算机中可表示为：在计算机中可表示为：01011001符号位数值位 例例2. 负二进制数负二进制数N1=-1011001，在计算机中可表示为：在计算机中可表示为：11011001符号位数值

23、位定义：一个数（连同符号）在机器中加以数码化后的表示形式，定义：一个数（连同符号）在机器中加以数码化后的表示形式，称为称为机器数机器数；而把机器数所代表的实际值称为机器数的；而把机器数所代表的实际值称为机器数的真值真值。机器数的符号机器数的符号 在算术运算中，数据是有正有负的，将这类数据称为带符号数。 为了在计算机中正确地表示带符号数，通常规定每个字长的最高位为符号位，并用0表示正数，用1表示负数。 机器数中小数点的位置机器数中小数点的位置 在机器中，小数点的位置通常有两种约定： 一种规定小数点的位置固定不变，这时的机器数称为“定点数”。 另一种规定小数点的位置可以浮动，这时的机器数称为“浮点

24、数”。1.4.2 常见的机器数表示形式常见的机器数表示形式1. 原码原码n约定数码序列中的最高位为符号位，符号位为约定数码序列中的最高位为符号位，符号位为0表示该数表示该数为正数，为为正数，为1表示该数为负数；其余有效数值部分则用二表示该数为负数；其余有效数值部分则用二进制的绝对值表示。进制的绝对值表示。n例如：例如： 真值真值x x原原 0.1001 0.1001 0.1001 1.1001 1001 01001 1001 11001n定点数又有定点数又有定点小数定点小数和和定点整数定点整数之分，下面分别给出定点之分，下面分别给出定点小数和定点整数的原码定义。小数和定点整数的原码定义。 若定

25、点小数原码序列为若定点小数原码序列为x0. x1x2 xn ,则则 x原原= x 0 x1 1-x -1x0式中式中x代表真值，代表真值，x原原为原码表示的机器数。为原码表示的机器数。例如：例如： x0.1011，则则x原原 =0.1011 x0.1011，则则x原原 =1-(-0.1011)=1+0.1011=1.1011=1+0.1011=1.1011 若定点整数原码序列为若定点整数原码序列为x0 x1 x2 xn ，则，则 x原原= x 0 x2n 2n - x -2nx0n例如：例如： x1011，则则x原原=01011 x1011，则则x原原=24 (1011)=10000+1011

26、=11011n对于原码表示，具有如下特点：对于原码表示，具有如下特点： 原码表示中，真值原码表示中，真值0有两种表示形式。有两种表示形式。n以定点小数的原码表示为例：以定点小数的原码表示为例： +0原原=0.000 -0原原=1-(-0.000)=1+0.000=1.000 在原码表示中，符号位不是数值的一部分，它们仅是在原码表示中，符号位不是数值的一部分，它们仅是人为约定（人为约定（“0为正，为正，1为负为负”），所以符号位在运算），所以符号位在运算过程中需要单独处理，不能当作数值的一部分直接参过程中需要单独处理，不能当作数值的一部分直接参与运算。与运算。带符号数的原码、反码、补码表示带符号

27、数的原码、反码、补码表示1原码原码:正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。当机器字长为8位二进制数时： X1011011 X原码01011011 Y1011011 Y原码11011011 1原码00000001 1原码10000001 127原码01111111 127原码11111111 原码表示的整数范围是： （2n-11）（2n-11），其中n为机器字长。 则：8位二进制原码表示的整数范围是127127 16位二进制原码表示的整数范围是3276732767 n原码表示法也称为符号原码表示法也称为符号数值表示法，数值表

28、示法， X原原=符号位符号位+|X|。 符号位用符号位用0-正数，符号位用正数，符号位用1-负数，其余负数，其余位表示数的大小。位表示数的大小。n例例:X=+0.1011 X原原=01011 X=-0.1011 X原原=11011n缺点：缺点： 运算（加、减法）复杂，低效运算（加、减法）复杂，低效n0有两个表示有两个表示 +0: 00000 0: 10000n原码表示简单直观，而且容易由其真值求得，相互转原码表示简单直观，而且容易由其真值求得，相互转换也较方便。但计算机在用原码做加减运算时比较麻换也较方便。但计算机在用原码做加减运算时比较麻烦。烦。n比如当两个数相加时，如果是同号，则数值相加，

29、符比如当两个数相加时，如果是同号，则数值相加，符号不变；如果是异号，则数值部分实际上是相减，此号不变；如果是异号，则数值部分实际上是相减，此时必须比较两个数绝对值的大小，才能确定谁减谁，时必须比较两个数绝对值的大小，才能确定谁减谁，并要确定结果的符号。并要确定结果的符号。n这在手工计算时是容易解决的，但在计算机中，为了这在手工计算时是容易解决的，但在计算机中，为了判断同号还是异号，比较绝对值的大小，就要增加机判断同号还是异号，比较绝对值的大小，就要增加机器的硬件设备，并增加机器的运行时间。器的硬件设备，并增加机器的运行时间。2. 补码补码定点小数补码定义如下：定点小数补码定义如下： 若定点小数

30、的补码序列为若定点小数的补码序列为X0 . X1Xn ，则，则式中，式中，x 代表真值，代表真值， 为补码表示的机器数为补码表示的机器数。 若定点整数的补码序列为若定点整数的补码序列为 ，则，则n例如：例如： x=+0.1011, 则则x补补=0.1011 x=-0.1011, 则则x补补=2+(-0.1011)=10.0000-0.1011=1.0101 对于补码表示，具有如下特点：对于补码表示，具有如下特点： 与原码表示不同，补码的符号位是数值的一部分，因与原码表示不同，补码的符号位是数值的一部分，因此在补码运算中符号位像数值位一样直接参加运算。此在补码运算中符号位像数值位一样直接参加运算

31、。 在补码表示中，真值在补码表示中，真值0只有一种表示，即只有一种表示，即000。n由原码转换为补码的规律，当由原码转换为补码的规律，当x0时，原码与补码的表时，原码与补码的表示形式完全相同；示形式完全相同；n当当x0时，从原码转换为补码的变化规律为：时，从原码转换为补码的变化规律为：“符号位符号位保持不变（仍为保持不变（仍为1），其他各位求反，然后末位加），其他各位求反，然后末位加1”，简称简称“求反加求反加1”。n例如：例如：x0.1010，则则x原原0.1010，x补补0.1010 x0.1010，则则x原原1.1010，x补补1.0110n容易看出，当容易看出，当x0时，若把时，若把x

32、补补除符号位外除符号位外“求反加求反加1”，即可得到，即可得到x原原。也就是说，。也就是说，对一个补码表示的数，再对一个补码表示的数，再次求补，可得该数的原码。次求补，可得该数的原码。3补码补码 正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1（数值位按位变反，末位加一）。（1）X1011011 （2） Y1011011 （1）根据定义有： X原码01011011X补码01011011（2） 根据定义有： Y原码11011011 Y反码10100100 Y补码10100101 补码表示的整数范围是2n-1（2n-11），其中n为机器字长。 则：8位二进制补码表示的整数范围是128127 16位二进制补码表示的整数范围是3276832767 当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。 n补码（补码（twos complement）：）： 即即X大写字母大写字母 数字数字61H-7Ah 41H-5AH 30H-39Hn键盘输入：A5B9$ 回车、换行nA-0100 0001 41Hn5-0011