第1章 质点力学(4-7)

1、本次课要求掌握内容：本次课要求掌握内容：1、如何求解变力所做的功？、如何求解变力所做的功？2 2、什么是保守力？保守力、什么是保守力？保守力做功有什么特点？做功有什么特点？3、什么叫、什么叫势能函数？如何确定质点在势能函数？如何确定质点在某一位置所具有某一位置所具有 势能的大小？势能的大小？势能与保守力有什么关系？势能与保守力有什么关系？4 4、 何谓质点系的何谓质点系的动能定理动能定理？它与质点系的功能原理？它与质点系的功能原理 由什么区别？由什么区别？ 5、机械能守恒定律？、机械能守恒定律？1-4 1-4 动能定理动能定理 机械能守恒定律机械能守恒定律 cosrF 定义定义: 功等于功等于

2、力与位移的标积力与位移的标积。 rF rFW /一、功一、功 功率功率 1） 恒力的功恒力的功rFW FF FllF rdW =F.drdzdxdyF(x)F(y)F(z)=+dzdxddrijk=+yF(x)F(y)F(z)=+Fijk=WFdr. dz+F(x) dxF(y) dyF(z)= 功在直角坐标系中：功在直角坐标系中： bardFdWW2) 变力的功变力的功abFrd bardF cos badsF rdds cos FF 在国际单位制中，功的单位是焦耳在国际单位制中，功的单位是焦耳J J。dsFrdFdW cos 微分形式微分形式即即 功等于功等于力沿路径的线积分力沿路径的线积

3、分。是力的空间积累。是力的空间积累。 rdFdW 3）功的几何意义：）功的几何意义： badsFW abasbsds Fos 功在数值上等于功在数值上等于 图曲线下的面积。图曲线下的面积。)(sF 4) 合力的功合力的功某质点同时受某质点同时受nFFF,21 的作用的作用,则合力的功为则合力的功为: BArdFW合合 BAnrdFFF)(21 BAnBABArdFrdFrdF21nWWW 21结论：结论：合力对物体所做的功等于其中合力对物体所做的功等于其中各个分力各个分力分别分别 对该物体所对该物体所做功的代数和做功的代数和。注意：注意：1、功是过程量，与路径有关。、功是过程量，与路径有关。

4、2、功是标量，但有正负。、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。、合力的功为各分力的功的代数和。5) 质点系内质点系内力做功之和力做功之和设设 m1、m2 组成一个封闭系组成一个封闭系 统统 or1r2 m1m2dr1dr2r12F2F12211rdFrdFdW 1111 F 1rdrm：对对质质点点2222 2rdFrm：对对质质点点121211)(rdFrdrdFdW 21FF 0121 rdFdW即即：2rd1rd12rd这一对内力在这一对内力在dt 时间内所做的功为时间内所做的功为: 2112 rdrdrd （ 内力内力 做功之和不为零）做功之和不为零）012 rd注

5、意：在经典力学中，两质点的注意：在经典力学中，两质点的相对位移相对位移 不随参考系改变。不随参考系改变。12rd6）功率）功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功所以，所以，瞬时功率瞬时功率等于力与质点速度的标积等于力与质点速度的标积单位：瓦特单位：瓦特 WrdFdW vFdtrdFP tWP 平平均均功功率率：dtdWtWPt 0lim瞬时功率：瞬时功率：例例1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下在下列情况下,求质点从求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：(1). 质点的运动质点的运动轨道为抛物线轨道为抛

6、物线yx42 (2). 质点的运动质点的运动轨道为直线轨道为直线64 xy解解: 由题意可知由题意可知,质点在质点在( (xy)xy)平面运动平面运动 所以有所以有: )( 2211,dyFdxFrdFdWWyyxyxxba XYO23125. 2yx42 64 xyab做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF JdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx8 .104242)(: ) 1 (491322,121212211 JdydxxdyydxdyFdxFWyyxxyxyxyx25.214)6(2142)(: )2(49132,221212211 ),( 2211,dyF

7、dxFrdFWyyxyxxba 例例2、质量为质量为2kg的质点在力的质点在力i tF12(SI)的作用下，的作用下，从静止出发从静止出发，沿，沿x轴正向作变速直线运轴正向作变速直线运动。求动。求前三秒内前三秒内该力所作的功。该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量） vdttFdxW 122000032120tdttdtmFadtvvttt 而而：JtdttdtttW7299363124303302 例例3 3、一陨石从距地面高为一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功

8、万有引力的功是多少？是多少？解：取地心为原点，建立如图示解：取地心为原点，建立如图示 的坐标的坐标 （引力与矢径方向相反）引力与矢径方向相反） RhRrdFW 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrGMmRhR11 2（此时作功与路径无关）（此时作功与路径无关）abhRorF7 7）保守力做功）保守力做功典型的保守力：典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力. .与保守力相对应的是耗散力（与保守力相对应的是耗散力（非保守力）。非保守力）。典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力保守力与非保守力保守力与非保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的某些力对质点做功的大小只与

9、质点的始末位置有关始末位置有关，而与路径无关而与路径无关。这种力称为这种力称为保守力保守力。或定义为：质点或定义为：质点在某力的作用下在某力的作用下沿任意一闭合回路运动一周做功为零沿任意一闭合回路运动一周做功为零。即：即：0 rdFW这种力就是这种力就是保守力。保守力。重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点. baGrdgmW可见，重力是保守力。可见，重力是保守力。xyzOab gmrd bazzmgdz bazzkdzjdyidxkmg)()(bamgzmgz 初态量初态量末态量末态量引力的功引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运

10、动时两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以，以M所在处为原点所在处为原点, M 指向指向 m 的方向为矢径的正方向的方向为矢径的正方向。m受的受的引力方向与矢径方向相反引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力可见万有引力是保守力。rabrFMmdrab rrdrFdrrdFrdFrdFWba cos barrrrGMmdrrGMmWba11 12弹力的功弹力的功kxF可见，弹性力也是保守力。可见，弹性力也是保守力。)2121(22abxxkxkxkxdxWba 222121bakxkx 弹簧弹簧x自然长度自然长度xFo.a.b1. 势能势能ab)()(bEaEWPPab 式中式中Ep(a

11、) 、 Ep(b) 分别为分别为a、b两位置对应的势能。两位置对应的势能。 pPPPPabEaEbEbEaEW )()()()(而而：二、二、势能和势能曲线势能和势能曲线 在在保守力保守力的作用下，质点从的作用下，质点从a 运动运动，到到b b 点所做的功与路径无关，而只与这两点所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个点的位置有关。可引入一个只与位置有关只与位置有关的函数的函数. . 把这个把这个由位置决定的函数由位置决定的函数定义为定义为势能势能( (势能函数势能函数) )，用，用E Ep p 表示。那么表示。那么a点的点的函数值减去函数值减去b点的函数值所得的新函数就点的函数

12、值所得的新函数就是该保守力所做的功。即是该保守力所做的功。即rdFWaEarp 零势能点保)(那么，任意点那么，任意点(如如a点）的势能：点）的势能： 但上式只定义了势能的差，为了确定势能的值就需但上式只定义了势能的差，为了确定势能的值就需选定一参考点为势能零点选定一参考点为势能零点（如（如b点），即点），即0)( bEP保守力保守力做正功做正功等于相应等于相应势能的减少势能的减少；保守力保守力做负功做负功等于相应等于相应势能的增加势能的增加。 pEW 保保因此，因此，势能只具有相对意义势能只具有相对意义。 因此，某一处的因此，某一处的势能大小等于保守力将质点从该势能大小等于保守力将质点从该点

13、移动到零势能点点移动到零势能点时保守力所做的功时保守力所做的功。所以，保守力所以，保守力做功做功等于相应等于相应势能增量的负值势能增量的负值。重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点）mgyymgmgdyEyP )0(0引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）rGMmdrrMmGErP12弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）22021)210(kxkxdxkxExp 几种典型的保守力的势能公式：几种典型的保守力的势能公式：注意：注意：1、只有保守力的系统，才可引入相应的势能。、只有保守力的系统，才可引入相应的势能。2、计算势能必须规

14、定零势能参考点计算势能必须规定零势能参考点。3、势能仅有相对意义势能仅有相对意义，它与零势点的选取有关。，它与零势点的选取有关。4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的，不为单个物体所具有。不为单个物体所具有。2. 势能与保守力的关系势能与保守力的关系 dllFlFBA 保守力保守力沿某一给定的沿某一给定的 l 方向的分力等于方向的分力等于此保守力相应的此保守力相应的势能函数沿势能函数沿l 方向的空间变化率方向的空间变化率。dlFdlFldFdElPcos保守力所做元功保守力所做元功势能是保守力对路径的线积分势能是保守力对路径的线积分dldEFp

15、l 一般说来，势能是位置的函数，若用一般说来，势能是位置的函数，若用EP ( x,y,z)表示。那么，表示。那么，zEF,yEF,xEFpzpypx kzEjyEixEkFjFiFFpppzyx)()()( pE)kzjyix( pE 质点在某点所受的保守力质点在某点所受的保守力等等于相应于相应势能梯度的负值势能梯度的负值。勃勒算符勃勒算符（微分矢量算符）（微分矢量算符）pEF )(kzjyix 3*、势能曲线、势能曲线几种典型的几种典型的势能曲线势能曲线:（d）原子原子相互作用相互作用 势能势能曲线曲线势能曲线势能曲线: 势能随势能随位置变化的曲线位置变化的曲线.（a）重力势能重力势能曲线曲

16、线（b）弹性势能弹性势能曲线曲线（c）引力势能引力势能曲线曲线hEpOmgh)h(EP (a)xEpO2p21)(kxxE (b)rEpOrmMGrE )(p(c)r0EpOr原子相互作用原子相互作用势能曲线势能曲线(d)1、指出了指出了质点在轨道上质点在轨道上任意位置所具有的任意位置所具有的势能值势能值。2、势能曲线上任意一点的势能曲线上任意一点的斜率的负值斜率的负值，表示表示质点在该质点在该处所受的处所受的保守力的大小保守力的大小 。rpEar ABEbrcr曲线上升，曲线上升，斜率为正斜率为正, ,表示表示Fr 沿沿r 的负方向的负方向; ;曲线下降，曲线下降，斜率为负斜率为负, , 表

17、示表示Fr 与与r的方向相同的方向相同; ;曲线处在极大或极小值时，曲线处在极大或极小值时，斜率为零斜率为零, ,即即Fr=0. .表示表示质点质点处处于于平衡状态。平衡状态。势能曲线提供的信息势能曲线提供的信息drdEFr 即：即：势能曲线取势能曲线取极小值极小值的的平衡位置是平衡位置是A点点稳定平衡稳定平衡A势能曲线取势能曲线取极大值极大值的的平衡位置是平衡位置是B点点不稳定平衡不稳定平衡B3、势能曲线势能曲线有极值时有极值时，质点质点处于处于平衡位置平衡位置。4、用势能曲线还可分析用势能曲线还可分析质点的运动范围质点的运动范围. 势井势井势垒势垒rpEar ABEbrcr 当系统总机械能

18、当系统总机械能(E)为常量时，在势能曲线图上是一平行于横为常量时，在势能曲线图上是一平行于横坐标的直线。由于动能不能为负值，所以坐标的直线。由于动能不能为负值，所以质点的势能质点的势能Ep 不可能大不可能大于于总机械能总机械能E，因此从图中便可知道质点的运动范围，因此从图中便可知道质点的运动范围. 例例4 有一保守力有一保守力 F = (-AxBx2)i，沿沿 x 轴作用于质点上，式中轴作用于质点上，式中A、B 为常量，为常量，x 以以m计，计，F 以以 N计。计。 （1）取）取 x =0 时时EP = 0，试计算质点在任意，试计算质点在任意位置处所具有的势能；位置处所具有的势能； （2）求质

19、点从）求质点从x = 2m运动到运动到 x =3m时势时势能的变化。能的变化。 解：解：由题意可知，此质点在保守力作用下只由题意可知，此质点在保守力作用下只 沿沿x x 轴运动，因此有：轴运动，因此有：dxdEFpx dxFExxxp 21 32023B2A )1(xxdxBxAxExp BAdxBxAxEp31925 )2(322 1). 质点的质点的动能动能及及动能定理动能定理 :221mvEk 三三、动能、动能 动能定理动能定理质点的质点的动能动能: 质点的质点的动能定理动能定理:质点受外力作用质点受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化)mv(dba 221 bads)dtd

20、vm( bamvdv badsFW 222121abmvmv abdSFvt功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量kKaKbabEEEmvmvW 222121末态动能末态动能初态动能初态动能 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。外力外力做正功做正功等于相应等于相应动能的增加动能的增加；外力外力做负功做负功等于相应等于相应动能的减少动能的减少。 动能定理确定了动能定理确定了过程量过程量与与状态量的增量状态量的增量之间的关系之间的关系. .2）质点系的动能定理）质点系的动能定理 初初末末内内外外kkEEWW iiiikikv

21、mEE221ni, 2 , 1 质点系统的动能质点系统的动能因为因为 已证明了系统已证明了系统内力内力 做功之和为做功之和为121rdFdW 所以质点系中的内力所以质点系中的内力 做功之和不为零做功之和不为零.因此因此质点系的动能定理质点系的动能定理:合力对质点系所做的总功等于质点系总动能的增量。合力对质点系所做的总功等于质点系总动能的增量。 0KKEEWWWt 保保守守内内力力非非保保守守内内力力外外质点系的动能定理质点系的动能定理PPPE)EE(Wt 0保保守守内内力力)EE()EE(WWPPKKtt00 非非保保守守内内力力外外0 EEWW 非非保保守守内内力力外外质点系在运动过程中，它

22、所受质点系在运动过程中，它所受外力的功外力的功与系统与系统非保守非保守内力的功的总和内力的功的总和等于其等于其机械能的增量机械能的增量。称为称为功能原理功能原理四、四、 机械能守恒定律机械能守恒定律令系统的机械能为：令系统的机械能为：pkEEE 1) 质点系的功能原理质点系的功能原理（1 1）它们的表达式中，各质点的速度都必须是相对于它们的表达式中，各质点的速度都必须是相对于 同一参照系的同一参照系的. .（3 3）解题时）解题时, ,功能原理功能原理一般应用于一般应用于质点系统质点系统, , 而而动能定理动能定理一般应用于一般应用于单个质点单个质点. .（2）功能原理功能原理是指是指: 外力

23、外力与与非保守内力非保守内力对系统所做的对系统所做的 总功总功等于系统等于系统机械能的增量机械能的增量. (此时成对的保守内力此时成对的保守内力 所做的功已为势能的变化取代所做的功已为势能的变化取代) ) 功能原理与质点动能定理功能原理与质点动能定理比较比较： 而而动能定理则指动能定理则指: : 合外力合外力对质点所做的功等于对质点所做的功等于 质点质点动能的增量动能的增量.(此时作用在质点上的力都是外力此时作用在质点上的力都是外力)那么，系统的机械能保持不变那么，系统的机械能保持不变. 在在只有保守内力做功只有保守内力做功的情况下，质点系的的情况下，质点系的机械能保机械能保持不变持不变。2)

24、 机械能守恒定律机械能守恒定律0 非非保保守守内内力力外外若若系系统统WW00 非非保保守守内内力力外外和和或或WW恒恒量量则则 2211pkpkEEEE机械能守恒定律机械能守恒定律例例5 一质量为一质量为m=2kg的物体的物体从静止开始从静止开始，沿四分，沿四分之一的园弧从之一的园弧从A滑到滑到B。测得物体在。测得物体在B处的速度处的速度v=6m/s,已知园弧的半径为已知园弧的半径为R=4m。问：物体在下滑过程中。问：物体在下滑过程中摩擦力做的功摩擦力做的功是多少？是多少？(见教材见教材p76./1-19)解：解： 物体在物体在下滑过程中有下滑过程中有摩擦力摩擦力和重力做功和重力做功，改变物

25、体的动能。，改变物体的动能。根据根据动能定理有：动能定理有：kAkBGfEEWW mgRRdmgrdgmWWmvWGGf 202cos 021 而而即即：)(4 .42)48 . 926221 2JWf 负号负号表示摩擦力做负功。表示摩擦力做负功。例例6 由水平桌面、由水平桌面、光滑铅直杆光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为轻弹簧、理想滑轮以及质量为m m1 1和和m m2 2的滑块组成如的滑块组成如下图所示装置，弹簧的劲度系数为下图所示装置，弹簧的劲度系数为k k，自然长度等于，自然长度等于水平距离水平距离BCBC，m m2 2与桌面间的摩擦系数为与桌面间的

26、摩擦系数为 ，最初，最初m m1 1静止静止于于A A点，点，ABABBCBCh h，绳已拉直，现令滑块，绳已拉直，现令滑块m m1 1落下落下, ,求求它下落到它下落到B B处时的速率处时的速率(见教材见教材p76./1-21)联立上述两式，得联立上述两式，得: : 212221122mmkhghmmv 解解: : 取取B B点为重力势能零点点为重力势能零点，弹簧原长弹簧原长h h为弹性势能零点为弹性势能零点. .在这个系统中滑块在这个系统中滑块2 2与与桌面间的摩擦力为非保守内力。桌面间的摩擦力为非保守内力。)(21)(21212212lkghmvmmghm 式中式中 l为弹簧在为弹簧在A

27、 A点时比原长的伸长量点时比原长的伸长量，则，则 hBCACl)12( 则由功能原理，有则由功能原理，有0 EEWW 非非保保守守内内力力外外其实，此题也可用牛顿运动定律求解。其实，此题也可用牛顿运动定律求解。m2m2 gNfFm1 gm1FTa(2) 对它们分别对它们分别 列方程列方程:amFTgm11 sin 2amfF FFkxTgmf , 2 研究的对象是滑块研究的对象是滑块1 1与滑块与滑块2.2. 其受力图如下示。并建立以其受力图如下示。并建立以 滑块滑块1 1运动方向为正的坐标系。运动方向为正的坐标系。Ay 点点下下滑滑的的距距离离从从为为Amyyhhyh122 sin 其中其中

28、联立解之得：联立解之得：2121sinmmgmkxgma 为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量xhyhhx 22 vdvdymmgmkxgm 2121sin 即即： hhdyyhhyhhyhhmmkdymmgmgmv0222221021212 21 两边积分得两边积分得 212221122 mmkhghmmv 与方法与方法1 1结果一致结果一致。实际上功能原理是由牛顿运动定律实际上功能原理是由牛顿运动定律导出的，只是导出的，只是运用功能原理解题时不需考虑中间变化过运用功能原理解题时不需考虑中间变化过程程。因而，。因而，运用功能原理解题比运用牛顿运动定律解题运用功能原理解题比运用牛顿运动定律解题方便得多

29、方便得多。 例例7 设地球半径为设地球半径为R 。一质量为。一质量为m的的物体，从静止开始在物体，从静止开始在距地面距地面 R 处自由下落处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。求：它到达地球表面时的速度。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：GM=vRGMmGMmR2221=+R0+mvMRRmab地球地球解：解：系统系统只有保守内力做功，所以机械能守恒只有保守内力做功，所以机械能守恒）（选无穷远处为零势点 02 RGMmEa 212mvRGMmEb 例例8 一链条，总长为一链条，总长为l ，放在，放在光滑光滑的桌的桌面上，其中一端下垂，长度为面上，其中一端下垂，长度为a，如图所示。，如图所示

30、。假定开始时链条静止。求链条假定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边刚刚离开桌边时的速度时的速度。 ala解：解：选桌面为零势能点。选桌面为零势能点。ala 地球和物体组成的系统除受地球和物体组成的系统除受重力外所受合外力为零。因此，重力外所受合外力为零。因此，系统机械能守恒。系统机械能守恒。20aaglmE 开开始始时时机机械械能能：2212mvlmgEt 终终了了时时机机械械能能：)(2122 02tEEmvlmgaaglm )(22allgv 则得：则得：本次课要求掌握内容：本次课要求掌握内容：1、什么是、什么是冲量？冲量？什么是什么是动量？动量定理及其守恒定律动量？动量定理及其守恒定律3

31、 3、什么是碰撞？、什么是碰撞？ 碰撞过程中有什么特点碰撞过程中有什么特点 ？ 1-5 冲量与冲量与动量动量2、如何运用、如何运用动量定理或动量守恒定律解题？动量定理或动量守恒定律解题？ 一、冲量、动量一、冲量、动量 dtFId (力连续变化时力连续变化时)Fott12tx+tFx图线与坐标轴所围的面积。图线与坐标轴所围的面积。：冲量冲量在数值上等于在数值上等于xIxxIF=dttt21yyIF=dttt12 冲量是一个过程量，描写的是在冲量是一个过程量，描写的是在t1 到到t2 这段时间间隔这段时间间隔内内,力的时间累积作用。则力的时间累积作用。则冲量是冲量是力对时间的累计量力对时间的累计量

32、. 1. 1. 冲量冲量 21ttdtFI二、质点的动量定理二、质点的动量定理dtpddtvmdamF )( pddtF动量定理的微分形式动量定理的微分形式dtFId pdId 元冲量元冲量2 2、动量、动量 （描述质点运动状态，矢量描述质点运动状态，矢量）vmp 质点的动量质点的动量质点系的动量质点系的动量 iiivmpppddtF 或或： 212112ppttpppddtF1221ppdtFItt 作用于物体上的作用于物体上的合外力的冲量合外力的冲量等于等于物体物体动量的增量动量的增量质点的动量定理质点的动量定理pddtF 由由： 21ttdtFI其中其中为力的冲量为力的冲量.动量定理的积

33、分形式动量定理的积分形式12vmvmI 或或： zzttzzyyttyyxxttxxmvmvdtFImvmvdtFImvmvdtFI121212212121(4) (4) 动量是状态量动量是状态量，而冲量则是过程量而冲量则是过程量。动量定理给出了过程。动量定理给出了过程量与状态量之间的关系。因此，应用动量定理解题时量与状态量之间的关系。因此，应用动量定理解题时无须考无须考虑过程中瞬息即变的相互作用及它产生的加速度虑过程中瞬息即变的相互作用及它产生的加速度。在应用动量定理时在应用动量定理时要注意以下几点要注意以下几点： (2) 具有具有因果关系因果关系。冲量是原因，动量增量是结果。冲量是原因，动

34、量增量是结果。(3)(3)具有矢量性具有矢量性、瞬时性瞬时性和和相对性相对性。任何。任何冲量的分量冲量的分量 只改变它自己方向上的只改变它自己方向上的动量分量动量分量。其。其分量表示式如下：分量表示式如下： 它仅适用于惯性系它仅适用于惯性系，表达式中的，表达式中的v 必须对同一惯性系必须对同一惯性系。 因此，在某一时间内，若有一因此，在某一时间内，若有一恒力的冲量恒力的冲量与一与一变力的冲量相等变力的冲量相等，那么，这一个那么，这一个恒力就恒力就称为这一称为这一变变力的平均冲力力的平均冲力。即。即tdttFFFtt 21)(_变变恒恒力力平平动量定理变为：动量定理变为：则则平均冲力平均冲力：1

35、2vmvmtF 平平 21)(ttdttFtF变变恒恒力力1212ttpp Fttt120F45o 30o nv2v1解：解：取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力取球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。影响。设挡板对球的冲力为设挡板对球的冲力为 则有则有：F12vmvmdtFI 例例1 1 质量为质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s的速率飞来，被板推挡后，又以的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。的速率飞出。设两速度在垂直设两速度在垂直于板面的同一平面内于板面的同一平面内，且它们与板，且它们与板面法线的面法线的夹角分别为夹角分别为45o和和30o，求：求：（1

36、）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量；（2）若若撞击撞击时间为时间为0.01s，求板施于球的平求板施于球的平均冲力的大小和方向均冲力的大小和方向。取如图示坐标系，将上式投影，有：取如图示坐标系，将上式投影，有：)45cos(30cos12mvmvdtFIxx 45sin30sin12mvmvdtFIyy N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFF)(007. 0061. 0 )1(sNjijIiIIyx 小小球球得得到到的的冲冲量量： 为平均冲力与为平均冲力与x方向的夹角。方向的夹角。6.54 1148.0tan xyFF45o 30o nv2v1yxtFItFIFyyxx ,

37、 )2(：小小球球受受到到板板的的的的冲冲力力 代入数据得：代入数据得：三三、质点系的动量定理质点系的动量定理设由两个质点组成的系：设由两个质点组成的系：m1、m21F2F受外力：受外力：f受内力：受内力：对质点对质点“1”对质点对质点“2”fFdtpd 11fFdtpd 22f m1m21F2Fff 2121)(FFdtppdff 2121)(FFdtppd 内力是成对出现的内力是成对出现的0 ffnnFFFpppdtd 2121)(一般言之：一般言之：设系统有设系统有n 个质点个质点，则：，则：FdtPd 上式为动量定理的微分形式上式为动量定理的微分形式.令令:PddtF 或或:nippp

38、pp 21niFFFFF 21则有则有: 2121 PPttPddtF两两边边积积分分：得动量定理的积分形式得动量定理的积分形式.121PPInii 质点系的动量定理质点系的动量定理:质点系所受质点系所受外力的总冲量外力的总冲量等于质等于质 点系的点系的总动量的增量总动量的增量注意注意:只有质点系的外力才能改变质点系的总动量只有质点系的外力才能改变质点系的总动量.内力内力只能改变质点系个别质点的动量，只能改变质点系个别质点的动量，不能改变质不能改变质点系的总动量点系的总动量。ox证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t 时刻已有时刻已有x长的柔绳落至桌长的柔绳落至桌面，随后的面，随后的dt

39、时间内将有质量为时间内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳的柔绳以以dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率动量变化率为：为：dtdtdxdxdtdpF 0例例 2 一质量均匀分布的柔软细绳铅直一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，面上。试证明：在绳下落的过程中，任任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍桌面上的绳重量的三倍。(见教材见教材p77./1-23

40、)根据动量定理，根据动量定理，桌面对柔绳的冲力桌面对柔绳的冲力为：为：20vdtdtdxdxdtdpF 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力 F = -F 即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222 而而 而此时已落到桌面上的柔绳的而此时已落到桌面上的柔绳的重量为重量为 mg=Mgx/L所以所以 F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg四四、质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律FdtPd 即：即：若质点系所受若质点系所受合外力为零合外力为零，则质点系的则质点系的总动总动量保持不变量保持不变。-质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律cvmpniii 1 0外外iFF如果如果1

41、）使用时要注意）使用时要注意动量守恒动量守恒定律的条件定律的条件. 动量守恒定动量守恒定律中各质点的速度必须相对于律中各质点的速度必须相对于 同一同一惯性系惯性系.。或系统内力远大于外力或系统内力远大于外力外外 0 F2)2) 动量守恒动量守恒并不意味着并不意味着系统内各质点的动量保持不系统内各质点的动量保持不 变变. .内力内力能改变系统内各质点的动量能改变系统内各质点的动量. .运用运用动量守恒动量守恒定律时要定律时要注意以下几点注意以下几点: 若系统所受的合外力不等于零，但若系统所受的合外力不等于零，但所受的所受的合力合力在在哪个方向的分量为零哪个方向的分量为零，则哪个方向的动则哪个方向

42、的动量守恒量守恒。3）动量守恒式是矢量式动量守恒式是矢量式，在应用时常用其分量式：，在应用时常用其分量式： 恒量恒量ixp 恒恒量量iyp 恒恒量量izp0 iixF0 iiyF0 iizFmML 例例3 人与船的质量分别为人与船的质量分别为m m 及及M M，船长为船长为L L ，若人从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。若人从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。（忽略水对船的阻力忽略水对船的阻力） 船和人组成的系统动量守恒。建立如图示的坐标。即船和人组成的系统动量守恒。建立如图示的坐标。即 由动量守恒由动量守恒: :m mM M x xL Lu ul lv v因此不管人的行走速度如何变化因

43、此不管人的行走速度如何变化, ,结果是相同的。结果是相同的。umMmv 0 )uv(mMvLmMmudtmMmvdtxt 0 设人相对于船的速度设人相对于船的速度为为u,u,船相对于岸的速船相对于岸的速度为度为v .v .ox解：解：五、五、碰撞碰撞物体在物体在短时间内短时间内发生相互作用的过程。发生相互作用的过程。碰撞过程的特点碰撞过程的特点：弹性碰撞弹性碰撞： Ek=0碰撞过程中两物体的机械能（动能）碰撞过程中两物体的机械能（动能）完全没有损失完全没有损失。非弹性碰撞非弹性碰撞： Ek0碰撞过程中两物的机械能（动能）要碰撞过程中两物的机械能（动能）要损失一部分损失一部分。完全非弹性碰撞完全

44、非弹性碰撞： Ek0 且且损失的能量损失的能量值最大值最大碰后两物体合为一体，以共同的速度运动。碰后两物体合为一体，以共同的速度运动。1 1）碰撞的）碰撞的分类：分类：1）各个物体的动量明显改变；各个物体的动量明显改变；2）系统的总动量系统的总动量( (总角动量总角动量) )守恒守恒。正碰正碰：若两物体若两物体碰撞前的速度碰撞前的速度在两物的在两物的中心连线上中心连线上。 那么，碰撞时相互作用的力和那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也碰后的速度也 都在这一连线上都在这一连线上。（。（对心碰撞对心碰撞）斜碰斜碰：两物体碰撞前后的速度都不在两物的中心连线上两物体碰撞前后的速度都不在两物的中心连线

45、上。 （非（非对心碰撞对心碰撞）2）恢复系数）恢复系数1m2m10v20v1v2v1m2m1m2m1F2F碰撞时碰撞时系统动量守恒系统动量守恒2021012211vmvmvmvm 201012vvvve 恢复系数恢复系数2120102011)()1(mmvvmevv 2120102022)()1(mmvvmevv 1 e0 e10 e完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞一般的非弹性碰撞一般的非弹性碰撞2201021212210)vv()mm(mm)e(EEEkkk 系统的能量损失为：系统的能量损失为：弹性碰撞后两球的速度分别为：弹性碰撞后两球的速度分别为： 21101201222120

46、21021122mmvmvmmvmmvmvmmv 碰撞后两球的速度相等。碰撞后两球的速度相等。2120210121mmvmvmvv 碰撞后的速度由实验测定。碰撞后的速度由实验测定。 3)3) 证明，证明，两个质量相同两个质量相同的粒子，在一个平面的粒子，在一个平面内内发生非对心弹性碰撞发生非对心弹性碰撞. .若碰前一个粒子静止，若碰前一个粒子静止，那么那么碰后两个粒子的速度相互垂直碰后两个粒子的速度相互垂直。 0v1v2v粒粒子子质质量量相相同同证证明明： (2) 222120vvv (3) )(221222120vvvvv 即即： 2121001vvvvvv ）得得：由由（0 :3)()2(

47、21 vv式式比比较较得得和和(1) 210vvv 21 vv 例例1 1 如图是一种测定子弹速度的方法。如图是一种测定子弹速度的方法。子弹水平地射入一端固定在弹簧上的木快内，子弹水平地射入一端固定在弹簧上的木快内，由弹簧压缩的距离求出子弹的速度由弹簧压缩的距离求出子弹的速度。已知。已知子子弹质量是弹质量是0.02kg0.02kg，木块质量是木块质量是8.98kg8.98kg。弹簧。弹簧的的劲度系数是劲度系数是100N/m100N/m，子弹射人木块后，子弹射人木块后，弹簧被压缩弹簧被压缩10cm10cm。设木块与平面间的动摩擦。设木块与平面间的动摩擦系数为系数为0.2，求，求子弹的速度子弹的速

48、度。(与教材与教材p76/1-28类似类似)Mmk动量守恒定律的动量守恒定律的应用应用mvv0M m+()=Mmk已知已知：m =0.02kgM =8.98kgk = 100N/m。求求v0.= 0.2x =10cm解解: 弹簧被压缩前系统动量守恒。弹簧被压缩前系统动量守恒。mvv0M m+=弹簧弹簧压缩后压缩后系统的机械能系统的机械能:压缩前压缩前系统的机械能系统的机械能:压缩过程摩擦力的功压缩过程摩擦力的功：(系统运动速度系统运动速度)221kxEEp 后后 221vmMEEk 前前 gxmMWf v0=2gxM m+()x21+k212mM m+()22=10.18104v0= 319m

49、/s由功能原理得由功能原理得: 2022121 mMmvmMkxgxmM 所以所以0vmMh例例2 2：质量质量 M 的沙箱，悬挂在线的下端，质量的沙箱，悬挂在线的下端，质量 m速率速率 的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆的子弹水平地射入沙箱，并与沙箱一起摆至某一高度至某一高度 h 为止。为止。试从高度试从高度 h 计算出子弹的速计算出子弹的速率率 ; ;在此碰撞过程中系统的机械能守恒吗在此碰撞过程中系统的机械能守恒吗？0v0v解：解：从子弹以从子弹以v v0 0 击中沙箱到获得击中沙箱到获得共同速度可看作在平衡位置完成共同速度可看作在平衡位置完成的的完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。水平方向受

50、。水平方向受外力为外力为0，由动量守恒有，由动量守恒有vMmmv)(0 子弹射入沙箱后子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，只有重力作功，子弹，沙箱、地球组成的沙箱、地球组成的系统机械能守恒系统机械能守恒。ghMmvMm)()(212 mghMmv2)( 0 解解两两方方程程得得：由于是完全非弹性碰撞由于是完全非弹性碰撞，所以，所以，碰撞过程中碰撞过程中机械能不守恒。机械能损失为：机械能不守恒。机械能损失为：220)(2121vMmmvEk ghMmmM)( vMmmv)(0 例例3 3 一质量为一质量为m m 的球，从质量为的球，从质量为M M的圆的圆弧形槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为弧形

51、槽中自静止滑下，设圆弧形槽的半径为R R（如图）。若（如图）。若所有摩擦都可忽略所有摩擦都可忽略，求小球，求小球刚离开圆弧形槽时，刚离开圆弧形槽时，小球和弧形木块的速度小球和弧形木块的速度各是各是多少？多少？(见教材见教材p77/1-26)MRMmRgmmv212=MV212+0=+mvMV解：设解：设m 刚离开圆弧轨道时的速度为刚离开圆弧轨道时的速度为 v M 的速度为的速度为V .由题意可知由题意可知,整个过程系统整个过程系统机械能守恒机械能守恒.(选地面为零势点选地面为零势点)系统水平方向动量守恒系统水平方向动量守恒;联立解之得：联立解之得：MRMmmMMgRvmMMgRv 2 22mM

52、MgRmvMmV 2六六# #、火箭飞行原理火箭飞行原理( (自学）自学） 火箭是宇宙航行的运载工具，其飞行火箭是宇宙航行的运载工具，其飞行原理是原理是质点系动量定理和动量守恒定律质点系动量定理和动量守恒定律的重要应用。的重要应用。mv中国航天udv中国航天v+dmv+dvdmm+t 时刻时刻dtt+时刻时刻1) 1) 火箭推力的计算火箭推力的计算: : 设火箭在外层高空飞行，并忽略重力和空设火箭在外层高空飞行，并忽略重力和空气阻力的作用。为计算火箭的推力，气阻力的作用。为计算火箭的推力，考察任考察任一时刻一时刻t 到到t+dt 之间的元过程之间的元过程。如下图示。如下图示。经过经过dt 时间

53、时间, 火箭向后喷出火箭向后喷出质量为质量为dm 的燃气的燃气在在t+dt 时刻时刻, 火箭质量减为火箭质量减为(m + dm), 速度增为速度增为dvv 则此时则此时燃气对地速度为燃气对地速度为udvv 设在设在t 时刻时刻, 火箭的质量为火箭的质量为m, 速度为速度为v其其喷气喷气速度相对于火箭速度相对于火箭为为u本身为负值）本身为负值）增加而减小，所以增加而减小，所以随随注意：因为注意：因为(0 dmtmmv中国航天udv中国航天v+dmv+dvdmm+t 时刻时刻dtt+时刻时刻则在则在 dt 时间内质量为时间内质量为dm 的的燃气燃气动量变化动量变化：udmdmdvudmvdmdmu

54、dvvdp )(由动量定理由动量定理,可得可得燃气受到火箭的推力为燃气受到火箭的推力为:dtdmuFF 则则, 火箭受到的推力为火箭受到的推力为: dtdmudtdpF （二阶无穷小量可略去）（二阶无穷小量可略去） 因此，因此， 火箭受到的推力为火箭受到的推力为正比于喷气速度正比于喷气速度 u 和和喷气喷气质量流量质量流量 dm/dt.2) 火箭速度公式火箭速度公式:udmmdv 0化简得化简得:mdmudv 若设若设开始时开始时火箭的质量为火箭的质量为m0 ，初速度为，初速度为 零；零； 燃燃料烧完后（料烧完后（t 时刻时刻）火箭的质量为火箭的质量为m，速度为，速度为v .则：则： mmvm

55、dmudv00mmlnuv0 (忽略重力和空气阻力忽略重力和空气阻力, 系统动量守恒系统动量守恒) )()(udvvdmdvvdmmmv ）（所以对系统有：所以对系统有： 0 : dm注意注意 上式表明上式表明：火箭每喷出质量为火箭每喷出质量为 dm 的气体时，的气体时，它的速度就增加了它的速度就增加了dv 。（假定喷气速度（假定喷气速度 u 不变）不变）nNNN,21nvvv,21并设各级火箭达到的速度分别为并设各级火箭达到的速度分别为设各级火箭的质量比为设各级火箭的质量比为11ln Nuv 212ln Nuvv 333ln Nuvv 最后火箭达到的速度为：最后火箭达到的速度为：)ln( l

56、n21niinNNNuNuv 则则 11iiiimmvvmdmudv11ln iiiNuvv1, 2 , 1 , 0 ni00 v 由于火箭的速度正比于由于火箭的速度正比于 u 或或 。但要提高。但要提高u 和和 这两个量目前在技术上还存在一定的困难这两个量目前在技术上还存在一定的困难(一般一般u：2500m/s,而第一宇宙而第一宇宙v1:7900m/s要求质量比要求质量比:24,但现只能达到但现只能达到10）。）。因此，一般采用多级火箭技术。因此，一般采用多级火箭技术。mm0lnmm0ln 例如：例如：火箭起飞时，从尾部喷出的火箭起飞时，从尾部喷出的气体的气体的速度为速度为3000 m/s3

57、000 m/s，每秒喷出的气体每秒喷出的气体质量为质量为600kg600kg。若火箭的质量为。若火箭的质量为 50t50t。求求火箭获得的加速度火箭获得的加速度。 解：已知解：已知mdmuvd dtvda 而：而：dtdmmudtdva )/( 36)600(1050300023sm kgmkgdtdmsmu31050,600,/3000 本次课要求掌握内容：本次课要求掌握内容：3、如何理解、如何理解“相对运动相对运动”？什么叫？什么叫伽利略变换式？伽利略变换式？ 什么叫力学相对性原理？什么叫力学相对性原理？1、如何、如何描述描述质点在有心力场中的运动状态该？质点在有心力场中的运动状态该？ 什

58、么是什么是质点的质点的角动量？角动量？1-61-6角动量定理、角动量守恒定律角动量定理、角动量守恒定律2、 角动量定理及角动量守恒定律是如何定义的角动量定理及角动量守恒定律是如何定义的？注意：注意：sinrFM 2）方向：）方向：Fr的方向的方向FrM 1）大小）大小:MF0 rmd sinrd Fd 一一 . . 力矩力矩 角动量（角动量（描述质点在有心力场的运动状态描述质点在有心力场的运动状态）1-61-6角动量定理、角动量守恒定律角动量定理、角动量守恒定律力矩：力矩：力对某点力对某点O的力矩等于力的作用点的矢的力矩等于力的作用点的矢 径径 与力与力 的矢量积的矢量积. FrFr（3）力）

59、力 的作用的作用线通过线通过o (即与矢径即与矢径 共线共线), 此时此时 0 sin如果物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点如果物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点这样的力称为有心力这样的力称为有心力。力心力心力矩为零的三种情况力矩为零的三种情况: :（1）力）力 等于零；等于零；F（2）力）力 的作用点在的作用点在0点点,即即 等于零等于零；r有心有心力力角动量角动量（对一定点的对一定点的）角动量方向角动量方向角动量大小角动量大小系统的总角动量系统的总角动量 sinsinrmvrpL iiiiiprLL)(mo rvLLrp 一个动量为一个动量为p的质点，相对于惯性系中某一的质点，

60、相对于惯性系中某一参考点参考点o的的角动量定义为：角动量定义为：vmrprL vmLr sinmvrL 2mrmvrvmr sinmvrL mvd d XYZOvmrL kmvdL 或：或：如质点作圆周运动：如质点作圆周运动：质点作直线运动：质点作直线运动：L注意注意： 角动量大小与所选的参考点有关，谈论角动量时角动量大小与所选的参考点有关，谈论角动量时必须指明是对哪个点而言。必须指明是对哪个点而言。例例1 1 一质量为一质量为m m的质点沿着一条空间曲线运动，该的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：曲线在直角坐标下的矢径为：j tbi tar sincos 其中其中a、b、